𝑧2(𝑓1(𝑢, 𝑧) + 𝑖𝑓2(𝑢, 𝑧)) (2. 21)
Avec 𝜒2= 𝑒2⁄𝜋ℏ𝑣𝐹, 𝑢 = 𝜔 𝑘𝑣⁄ 𝐹 et 𝑧 = 𝑘 2𝑘⁄ 𝐹 où 𝑣𝐹 et 𝑘𝐹 correspondent à la vitesse et au moment de Fermi. 𝑓1(𝑢, 𝑧) =1 2+ 1 8𝑧(𝑔(𝑧 − 𝑢) + 𝑔(𝑧 + 𝑢)) 𝑔(𝑥) = (1 − 𝑥2) ln |1 + 𝑥 1 − 𝑥| 𝑓2(𝑢, 𝑧) = { 𝜋 2𝑢, 𝑧 + 𝑢 < 1 𝜋 8𝑧[1 − (𝑧 − 𝑢)2], |𝑧 − 𝑢| < 1 < 𝑧 + 𝑢 0, |𝑧 − 𝑢| > 1
La formulation du modèle de Lindhard est bien plus étoffée que celle du modèle de Drude et en pratique elle est donc moins simple d’exploitation. Néanmoins, on constate que l’extension à tous les moments transférés est directement intégrée dans le modèle : nul besoin d’y ajouter une relation de dispersion. Par contre, l’information sur la largeur des structures 𝛾 n’est pas présente et par conséquent, oubliée du modèle. C’est d’ailleurs sur cette lacune que la plupart des modèles basés sur le modèle de Lindhard travaillent.
Page 73 Chapitre 2 Le modèle de Mermin reprend le développement du modèle de Lindhard en prenant en compte les largeurs 𝛾 des différents pics constituant l’ELF [20]. Les fonctions attachées d’un indice 𝑀 sont propres au modèle de Mermin.
𝜖𝑀(𝑘, 𝜔; 𝐸𝑝, 𝛾) = 1 +(1 + 𝑖𝛾 ℏ𝜔) (𝜖𝐿(𝑘, 𝜔 + 𝑖𝛾) − 1) 1 +( 𝑖𝛾 ℏ𝜔) (𝜖𝐿(𝑘, 𝜔 + 𝑖𝛾) − 1) 𝜖𝐿(𝑘, 0) − 1 (2. 22)
Dans la littérature, ce modèle est parfois mentionné comme étant le plus raffiné. Nous voulions donc comparer les résultats qu’il fournit à ceux du modèle de Drude que nous utilisions jusqu’alors.
2.2.9 COMPARAISON DES MODELES DIELECTRIQUES
Rappelons que les sections efficaces différentielles s’expriment avec la fonction diélectrique. Nous avons présenté ici trois fonctions diélectriques et nous voulons évaluer les différences qu’elles induisent sur les grandeurs d’intérêt dans le transport des particules. Notons également que quel que soit le modèle employé, ils coïncident tous lorsque 𝑞 = 0 :
OELF = ELF(𝑘 → 0) = Im [−𝜖 1 𝐷(𝑘 = 0, 𝜔)] = Im [− 1 𝜖𝐿(𝑘 = 0, 𝜔)] = Im [− 1 𝜖𝑀(𝑘 = 0, 𝜔)]
Ainsi, l’OELF que nous avons au préalable déterminée est commune à tous les modèles diélectriques. Les différences que nous allons mettre en évidence entre ces modèles sont donc uniquement dues à leur écriture et non aux paramètres que nous y injectons.
Commençons par comparer les sections efficaces différentielles. Nous l’avons compris : cette quantité est la brique élémentaire de la description des interactions avec laquelle tous
Chapitre 2 Page 74 les autres observables qui nous intéressent se déduisent. La figure suivante présente le cas d’électron incident dans un matériau de silicium.
FIGURE 2. 9 : COMPARAISON DE SECTIONS EFFICACES DIFFERENTIELLES D’UNE INTERACTION COULOMBIENNE INELASTIQUE ELECTRON-SILICIUM CALCULEES AVEC LES MODELES DIELECTRIQUES DE DRUDE, LINDHARD E T MERMIN. LE CAS DE DEUX ENERGIES INCIDENTES EST PRESENTE : 10 EV ET 1 KEV.
Discutons en premier lieu des électrons les moins énergétiques : les trois modèles présentent des résultats particulièrement éloignés et notamment le modèle de Drude comparé aux modèles de Lindhard et de Mermin. Un facteur 3 à 4 sépare les prédictions de ce modèle des deux autres. Bien qu’ayant la même base, les modèles de Lindhard et de Mermin diffèrent également. Leur écart est cependant moins notable qu’avec le modèle de Drude : il est causé par l’intégration de la largeur des structures électroniques dans le modèle de Mermin.
A mesure que les énergies incidentes considérées sont importantes, les modèles de Drude et de Mermin se rapprochent. Le cas des électrons de 1 keV présenté ci-dessus souligne l’impact de la non-prise en compte du paramètre 𝛾 : alors que le pic du plasmon est parfaitement formé avec les modèles de Drude et Mermin, il est complètement étouffé avec le modèle de Lindhard.
Page 75 Chapitre 2 Regardons maintenant ce qu’il en est avec des protons incidents.
FIGURE 2. 10 : COMPARAISON DE SECTIONS EFFICACES DIFFERENTIELLES D’UNE INTERACTION COULOMBIENNE INELASTIQUE PROTON-SILICIUM CALCULEES AVEC LES MODELES DIELECTRIQUES DE DRUDE, LINDHARD ET M ERMIN. LE CAS DE DEUX ENERGIES INCIDENTES EST PRESENTE : 10 KEV ET 100 KEV.
Globalement, nous arrivons au même constat : aux basses énergies, le modèle de Drude sous-estime grandement les sections efficaces différentielles par rapport aux modèles de Lindhard et de Mermin. Aux plus hautes énergies, les modèles se rejoignent, bien qu’encore une fois, le pic du plasmon ne soit pas correctement restitué avec le modèle de Lindhard. Jusqu’à présent, nous avons comparé le comportement des différents modèles diélectriques exposés dans ce manuscrit pour un unique matériau : le silicium. Etant l’élément le plus courant dans l’électronique, nous avons concentré nos interprétations dessus. Néanmoins, nous avons étudié de nombreux autres matériaux tels que le cuivre, le tungstène, le dioxyde de silicium et l’aluminium que l’on retrouve également dans l’électronique, bien qu’en plus faibles quantités.
La comparaison des sections efficaces différentielles a permis de mettre en évidence les différences entre les trois modèles diélectriques étudiés. Toutefois, sans référence, il n’est pas possible de conclure sur la pertinence de ces modèles. Pour cela, nous allons utiliser une autre grandeur : les pouvoirs d’arrêt. Comme nous l’avons déjà mentionné, cette
Chapitre 2 Page 76 quantité a l’avantage d’être relativement simple à évaluer expérimentalement et bénéficie d’une importante concentration d’articles faisant état de leurs mesures. A cet effet, des bases de données ont été réalisées en concaténant le maximum de mesures expérimentales disponibles dans la littérature. Notons par exemple celles de SRIM [18] et de MSTAR [21]. La figure suivante compare les prédictions des pouvoirs d’arrêt pour des protons dans du silicium déduites des modèles diélectriques avec les mesures expérimentales correspondantes.
FIGURE 2. 11 : POUVOIRS D’ARRET DE PROTONS DANS DU SILICIUM. COMPARAISON DES RESULTATS DES MODELES DIELECTRIQUES, DE L’OUTIL SRIM ET DE NOMBREUSES MESURES EXPERIMENTALES
Constatons dans un premier temps sur le Fig. 11 les variations des mesures expérimentales aux basses énergies. Cette région est par conséquent relativement mal définie. Toutefois, il apparaît tout de suite que le modèle de Drude devient inopérant au-dessous d’une cinquantaine de keV. Son comportement est très différent de ceux de Lindhard et de Mermin. Les sections efficaces différentielles nous le prédisaient mais nous ne pouvions rien conclure puisque nous ne disposions alors pas de références expérimentales. Or ici, les pouvoirs d’arrêt calculés avec les modèles de Lindhard et de Mermin aux basses énergies s’accordent davantage aux mesures que le modèle de Drude. Aux hautes énergies, les
Page 77 Chapitre 2 modèles de Mermin et de Drude convergent, au détriment du modèle de Lindhard qui tend à sous-estimer les pouvoirs d’arrêt.
Concernant le cas d’électrons incidents, la figure suivante nous amène à des constats relativement similaires.
FIGURE 2. 12 : POUVOIRS D’ARRET D’ELECTRONS DANS DU SILICIUM. COMPARAISON DES RESULTATS DES MODELES DIELECTRIQUES, DES MESURES DE LUO ET AL. [22] ET DE L’OUTIL ESTAR [23]
De la même manière, le modèle de Drude sous-estime les pouvoirs d’arrêt aux basses énergies mais dans le cas des électrons, la définition des basses énergies est différente de celle des protons. Le coude des pouvoirs d’arrêt se situe ici autour de la centaine d’eV, ce qui définit également la limite de validité du modèle de Drude. Aux plus hautes énergies, on constate également le décalage grandissant du modèle de Lindhard avec les modèles de Mermin et de Drude qui eux, convergent. En plus d’échouer aux hautes énergies, nous pouvons dire ici que le modèle de Lindhard échoue globalement à toutes les énergies.
Le tableau suivant fait le point sur les domaines de validité des trois modèles diélectriques que nous venons d’étudier dans le cas d’un matériau cible de silicium.
Chapitre 2 Page 78
Modèle e- : 𝑻 < 𝟏𝟎𝟎 𝐞𝐕 p+ : 𝑻 < 𝟓𝟎 𝐤𝐞𝐕
e- : 𝑻 > 𝟏𝟎𝟎 𝐞𝐕
p+ : 𝑻 > 𝟓𝟎 𝐤𝐞𝐕
Drude Non valide Non valide Valide
Lindhard Non valide Non valide Non valide
Mermin Valide Non valide Valide
TABLE AU 2. 3 : BILAN SUR LA VALIDITE DES MODELES DIELECTRIQUES COMPARES DANS UN MATERI AU DE SILICIUM
Avec nos comparaisons sur les sections efficaces différentielles et sur les pouvoirs d’arrêt, il apparaît que le modèle de Mermin est le plus pertinent pour décrire les interactions Coulombiennes inélastiques, quelle que soit la particule incidente (électron ou proton). Néanmoins, malgré un gain évident sur les protons de basses énergies avec le modèle de Mermin, nous ne parvenons pas à reproduire correctement les pouvoirs d’arrêt dans cette gamme en énergie. Nous verrons par la suite comment remédier à cela.
Notons également que dans la suite de ce manuscrit, lorsqu’il sera fait mention de la théorie diélectrique, nous sous-entendrons l’emploi du modèle de Mermin.