Soit un conducteur `a un canal, coh´erent et de transmission τ0 plac´e en s´erie avec
un environnement dissipatif d’imp´edance Z(ω) = R/(1 + iωRC) o`u C ici repr´esente la capacit´e effective qui inclut celle du conducteur (voir figure 4.3). Une premi`ere condition sur l’´energie impose que Z(ω) ≈ R. Ce qui nous permet de prendre l’approximation suivante :
Figure 4.2 – Conductance G en unit´e de e2/h en fonction de la tension V en unit´e de V
B. La ligne
solide noire correspond `a la courbe pr´edite par la formule ph´enom´enologique. La ligne rouge hachur´ee est celle obtenue dans le cadre de la th´eorie des liquides de Luttinger. Les courbes exp´erimentales sont trac´ees pour une temp´rature T = 0.17mK, les courbes th´eoriques sont trac´ees `a temp´erature nulle. De Jezouin et
col l.[161].
Figure 4.3 – En haut : Sch´ema repr´esentant un conducteur `a un canal de transmission τ0 en s´erie
avec une r´esistance. En bas : Profil du coefficient de transmission en fonction de la fr´equence ω/ωC et la
transmission effective τ .
Dans la figure 4.3, sur la partie sup´erieure on voit un sch´ema repr´esentant le syst`eme qu’on veut ´etudier. On note V la tension impos´ee par le g´en´erateur et I le courant qui tra- verse le circuit. Il faut noter que V est diff´erente de la tension aux bornes du conducteur. Celle-ci est ´egale `a KV dans la limite τ0≃ 1, comme c’est le cas dans le r´egime perturbatif.
Pour τ0< 1 l’expression de la tension aux bornes du conducteur est plus compliqu´ee.
Afin d’´etudier ce syst`eme, nous utilisons le mapping avec un liquide de Tomonaga- Luttinger de param`etre d’interaction K donn´e dans l’´equation (4.2). Une telle expression du param`etre K permet de le contrˆoler en changeant la valeur de R. Ce qui permet de mieux tester exp´erimentalement les pr´edictions th´eoriques. Le liquide de Tomonaga- Luttinger dont il est question est d´efini en pr´esence d’impuret´e d’amplitude de r´etrodiffusion
vB d´efinie ici comme une quantit´e sans dimension. L’Hamiltonien d’un tel syst`eme est
donn´e par l’expression suivante :
H = H0+
~ωFvB
4π√π eiφ(0,t)−ieKV t/~+ h.c. , (4.6)
o`u H0 est l’Hamiltonien cin´ematique. Les degr´es de libert´e de spin n’ont pas ´et´e inclus. Le
champ bosonique φ co¨ıncide avec la charge ´electrique transf´er´ee `a travers le conducteur
eφ(t) = Q(t). Il faut noter que cet Hamiltonien est valable pour des ´energies inf´erieures `a l’´energie de Fermi ~ωF, qui impose une seconde condition sur l’´energie. Par cons´equent, on
d´efinit une fr´equence de coupure “cut-off” ωC = min{ωRC, ωF}. La partie r´etrodiffusion
de l’Hamiltonien de l’´equation (4.6) est caract´eris´ee par l’amplitude de r´etrodiffusion vB.
Celle-ci n’est pas li´ee `a la transmission τ0, car en g´en´eral on ne peut pas lier param`etre
d’un syst`eme fortement corr´el´e `a un autre appartenant `a un syst`eme sans interaction. C’est pour cette raison que nous introduisons la transmission effective τ = 1/(1 + v2
B)
qui ne co¨ıncide pas avec τ0. Cette transmission effective doit ˆetre assez proche de 1, ce
qui correspond `a un vB faible, permettant ainsi l’´ecriture de l’Hamiltonien sous sa forme
bosonis´ee dans l’´equation (4.6). Il est cependant possible de d´epasser cette restriction sur
vB [127].
Nous introduisons aussi un autre param`etre non-universel VB[119]. Ce param`etre repr´esente
la tension de r´ef´erence pour le mod`ele, l’´energie de r´ef´erence correspondante est eVB,
et repr´esente la fronti`ere entre le r´egime de faible r´etrodiffusion et le r´egime de forte r´etrodiffusion. Cette ´energie est li´ee `a l’amplitude de r´etrodiffusion par la relation eVB ≃
~ωCv1/(1−K)
B . Pour des ´energies suffisamment plus ´elev´ees que eVB, il est possible d’uti-
liser une analyse perturbative du groupe de renormalisation dans la limite d’une faible r´etrodiffusion [128]. Dans le cas o`u les ´energies sont tr`es faibles par rapport `a eVB, l’ef-
fet de l’impuret´e devient important et un faible effet tunnel se manifestera. Dans ce cas, le blocage de Coulomb dynamique est toujours pr´esent pour τ < 1 et pour une ´energie inf´erieure `a eVB.
Une cons´equence tr`es importante du mapping, est une relation exacte et cruciale entre la conductance diff´erentielle G(V, ω = 0) = dI(V )/dV et la bruit `a fr´equence nulle
S(V, ω = 0) `a temp´erature nulle :
Rq|eV | dG(V, ω = 0) = 2R dS(V, ω = 0) . (4.7)
Ce qui est en accord avec l’´equation (4.3). Dans la limite R ≪ Rq, l’´equation (4.7) s’accorde
avec l’´equation du groupe de renormalisation (4.2) obtenue par Kindermann et Nazarov. Dans le cadre d’une solution Bethe-Ansatz, la statistique compl`ete de bruit (Full Counting statistics) est calcul´ee d’une mani`ere exacte. De plus, dans un travail de Golubev et coll. [162] ils ont ´etudi´e un conducteur multi-canaux connect´e `a un environnement ohmique. Le calcul effectu´e dans un r´egime perturbatif est en accord avec le r´esultat de la r´ef´erence [159]. Le mapping ´etant expos´e, nous nous int´eressons maintenant au cas o`u la valeur de la r´esistance de l’environnement correspond `a R = Rq. Le param`etre d’interaction devient
alors K = 1/2. Par cons´equent, le probl`eme du liquide de Tomonaga-Luttinger `a une impuret´e peut ˆetre r´esolu d’une mani`ere exacte [119] en utilisant la proc´edure de refer- mionisation [19, 20, 131] comme expos´e dans le chapitre 2. Cette m´ethode d’analyse non- perturbative s’appuie sur l’introduction de nouveaux fermions `a partir d’une construction purement math´ematique. Ces nouveaux fermions poss`edent l’amplitude de transmission suivante :
t(ω) = ω ω + ieVB/2~
, (4.8)
et par cons´equent un coefficient de transmission :
T (ω) = 4~ 2ω2 4~2ω2+ e2V2 B = τ 2ω2 τ2ω2+ (1 − τ)2ω2 C . (4.9)
Dans le cas o`u K = 1/2, le lien entre l’amplitude de r´etrodiffusion et l’´energie de r´ef´erence devient : eVB≃ ~ωCv2B. Dans la partie inf´erieure de la figure 4.3, nous exposons le profil
de T (ω). On remarque que pour τ = 1 la transmission est parfaite quelque soit la valeur de ω. D`es que la valeur de τ s’´ecarte de 1, T (ω) d´ecroit rapidement et tend vers z´ero `a faibles fr´equences.