Bruit ` a fr´equence nulle

Dans cette partie, nous allons consid´erer un conducteur m´esoscopique coupl´e `a deux r´eservoirs contenant de multiples canaux de conduction (voir figure 1.8). L’expression du bruit `a fr´equence nulle dans l’un des r´eservoirs (L ou R) s’´ecrit [70] :

S_LL(RR)(0) = 2e 2 h X n Z dE "

Tn(E) fL(E)(1 − fL(E)) + fR(E)(1 − fR(E))

+Tn(E)(1 − Tn(E)) fL(E) − fR(E)
2

#

. (1.103)

Cette expression d´ecrit aussi bien les fermions que les bosons, en substituant les signes (+) par des signes (-) et les signes (-) par les signes (+). Une expression ´equivalente est obtenue dans l’approche du paquet d’onde. Dans cette approche les fr´equences sont consid´er´ees assez basses par rapport `a l’inverse du temps n´ecessaire pour qu’un ´electron traverse le syst`eme [71]. Cette m´ethode se base sur l’hypoth`ese que le courant est une superposition de pulses [72] :

I(t) =X

n

j(t − nτ)gn , (1.104)

o`u j est le courant associ´e `a une pulse et gn un facteur d’occupation. Ce facteur prend la

valeur 1 si l’´electron passe de la gauche vers la droite du syst`eme et prend la valeur -1 si l’´electron passe de la droite vers la gauche.

An l’absence d’une tension appliqu´ee, et dans la limite des hautes temp´eratures (~ω ≪

kBT ), la contribution du bruit thermique dans l’expression (1.103) domine. L’utilisation

de la relation fi(1 − fi) = −kBT ∂fi/∂E permet de retrouver l’expression standard du

bruit thermique [57] :

S(0) = 4GkBT , (1.105)

o`u G est la conductance de Landauer. Le th´eor`eme de fluctuation-dissipation permet aussi de retrouver ce r´esultat. Dans l’autre limite, et pour une tension appliqu´ee V et une temp´erature nulle, c’est la contribution du bruit hors-´equilibre qui domine. Ce qui correspond `a une r´eduction du bruit, qui devient dans ce cas le bruit de grenaille quantique [73, 74] : SLL(RR)(0) = 4e2 h eV X n Tn(1 − Tn) . (1.106)

Dans la limite d’une transmission parfaite, le bruit s’annule. Ce qui conduit `a un compor- tement de la conductance en marche d’amplitude 2e2_{/h [75, 76, 77]. Pour une transmission}

faible on retrouve la formule de Schottky du bruit. La r´eduction du bruit dans le cas d’un conducteur `a un canal corr´espond `_{a la formule de Schottky multipli´e par un facteur 1−T :}

S_{LL(RR)(0) = 2ehIi(1 − T ) .} (1.107)

Notons enfin que dans le r´egime interm´ediaire ~ω ≈ kBT , il n’est pas possible de

dissocier les deux contributions du bruit.

Transition entre deux r´egimes de bruit

Dans l’hypoth`ese o`u le coefficient de transmission n’a pas de d´ependance significative en ´energie, il est possible de calculer les int´egrales de l’´equation (1.103) analytiquement. Cette

Figure_{1.9 –Bruit de grenaille en fonction de la conductance dans un point contact. D’apr`es [77].}

hypoth`ese est justifi´ee si T (dTn/dE)−1 ≫ eV . Donc il faut choisir une basse tension et

des potentiels chimiques qui ne permettent pas une transmission r´esonnante. Ceci permet d’´ecrire une expression du bruit `a fr´equence nulle valable pour toutes les valeurs de la tension et tous les r´egimes de temp´erature [72] :

S_LL(RR)(0) = 4e 2 h " 2kBT X n Tn2+ eV coth  _eV 2kBT  X n Tn(1 − Tn) # . (1.108)

Dans la limite des faibles transmissions, cette expression se r´eduit au bruit de grenaille quantique :

S_{LL(RR)(0) = 2ehIi coth} eV

2kBT



. (1.109)

Figure_{1.10 –Bruit en fonction du courant pour deux diff´erents r´egimes de temp´erature. La courbe (a)}

correspond au cas haute temp´erature et faible tension, et la courbe (b) correspond `a une tension appliqu´ee non nulle et une basse temp´erature. D’apr`es [78].

Dans la figure 1.10 le bruit est mesur´e par une pointe STM sur la surface d’un m´etal. Deux courbes sont trac´ees, `a haute et `a basse temp´erature. A haute temp´erature, le facteur

de Fano qui est le rapport entre le bruit `a fr´equence nulle et le courant, n’est significatif que pour un courant important. A basse temp´erature la formule de Schottky s’illustre `a travers la lin´earit´e du bruit en fonction du courant.

Corr´elations crois´ees `a fr´equence nulle

Il s’agit des corr´elations de courants mesur´ees dans des terminaux diff´erents. Pour deux terminaux gauche (L) et droite (R), le sc´enario de mesure est d’imaginer un nouveau r´eservoir L + R pour lequel on mesure l’auto-corr´elation S_(L+R)(L+R). Les corr´elations crois´ees sont alors obtenues par la relation suivante :

SLR(0) =



S_{(L+R)(0) − S}L(0) − SR(0)



/2 . (1.110)

Dans les exp´eriences de Hanbury-Brown et Twiss [79, 80], les corr´elations crois´ees ont per- mis de caract´eriser la statistique des excitations. Dans ces exp´eriences, des filtres ont ´et´e utilis´es sur une source de lumi`ere. Le faisceau monochromatique obtenu est divis´ee en deux composantes par une lame semi-r´efl´echissante. Les deux faisceaux r´esultants sont orient´es vers deux d´etecteurs de photons. Les corr´elations crois´ees entre les deux d´etecteurs ont ´et´e mesur´ees en fonction de la distance qui les s´epare. Le r´esultat trouv´e est toujours positif. L’explication est li´ee `a la nature bosonique des photons qui sont des particules indiscer- nables ob´eissant `a la statistique de Bose-Einstein. Ainsi plusieurs photons en moyenne occupaient le mˆeme ´etat transversal dans le faisceau initial. Apr`es la s´eparation en deux composantes, la d´etection d’un ensemble de photons dans l’un des capteurs implique la d´etection de photons dans l’autre capteur.

Plusieurs auteurs ont sugg´er´e la mise en place de ce type d’exp´erience pour les fer- mions. La nature fermionique des ´electrons impose qu’ils ne peuvent pas occuper un mˆeme ´etat. Les corr´elations crois´ees devraient ˆetre n´egatives. Dans la r´ef´erence [72], `a cause de la difficult´e de produire un faisceau d’´electrons dense, une suggestion d’exp´erience est pro- pos´ee en consid´erant un conducteur `a trois terminaux, commun´ement appel´e jonction en ”Y“. Les ´electrons sont alors inject´es dans le terminal 3 et d´etect´es au niveau des termi- naux 1 et 2. Le potentiel chimique du terminal 3 et plus ´elev´e que celui des deux autres terminaux. Les corr´elations crois´ees entre les terminaux 1 et 2 normalis´ees par la racine carr´ee du produit des auto-corr´elations s’´ecrivent :

S12 √ S11S22 = − √ T13T23 p (1 − T13)(1 − T23) , (1.111)

o`u T13 et T23 repr´esentent les coefficients de transmission des ´electrons du terminal 3

vers le terminal 1 et 2 respectivement. En accord avec ce r´esultat, plusieurs exp´eriences ont montr´e que le signe des corr´elations crois´ees permet de caract´eriser la statistique des porteurs de charge. Dans la r´ef´erence [81], en utilisant une grille m´etallique mince un faisceau ´electronique est scind´e en deux. Cette exp´erience est analogue `a l’exp´erience de Hanbury-Brown et Twiss. Une autre exp´erience est r´ealis´ee dans le r´egime de l’effet Hall quantique [82]. Un point de contact est plac´e au milieux de l’´echantillon jouant le rˆole d’un s´eparateur de faisceau de particules. L’´etat de bord incident se trouve ainsi divis´e en deux ´etats de bords transmis. Dans la r´ef´erence [83], des corr´elations crois´ees n´egatives ont ´et´e observ´ees dans des exp´eriences d’´emission de champ ´electronique.