Conductance diff´erentielle et bruit ` a fr´equence nulle

Commen¸cons d’abord par le r´egime stationnaire o`u, rappelons-le, les r´esultats que nous allons obtenir sont connus, ce qui nous permet de v´erifier la validit´e de notre approche.

Comportement `a faible temp´erature

A temp´erature nulle, l’int´egrale de l’´equation (4.10) peut ˆetre calcul´e analytiquement, le courant total s’´ecrit alors sous la forme suivante :

I(V ) = GqVB 2  _V VB − arctan  _V VB  . (4.19)

On remarque que pour τ = 1, c’est-`a-dire VB = 0, on retrouve la loi d’Ohm I(V ) =

V /(2Rq). A τ < 1 on observe une r´eduction du courant du type loi de puissance. Ceci

s’explique par le fait que le blocage de Coulomb dynamique persiste. Il faut noter aussi que dans le r´egime de forte r´etrodiffusion pour une tension V ≪ VBl’exposant de la loi de

th´eorie P (E) [154] pour un conducteur `a faible transmission. Dans notre cas, le courant devient

I(V ≪ VB) =

GqV3

6V_B2 . (4.20)

Dans le r´egime de faible r´etrodiffusion `_{a V ≫ V}B, on d´eduit le courant de r´etrodiffusion

donn´e par la relation suivante :

IB(V ) =

GqV

2 − I(V ) , (4.21)

qui peut ˆetre exprim´e sous la forme suivante quand V ≫ VB :

IB(V ≫ VB) ≃ GqV 2 _π 2 − VB V  . (4.22)

Le second terme correspond `a celui obtenu dans un cadre perturbatif [117] IB(V ) ∼ V2K−1,

qui ne d´epend pas de la tension lorsque K = 1/2.

Regardons maintenant le comportement de la conductance diff´erentielle. Celle-ci est obtenue en d´erivant le courant par rapport `a la tension. A temp´erature nulle on trouve :

G(V, ω = 0) = dI dV = Gq 2 " 1 − V 2 B V2_{+ V}2 B # , (4.23)

qui peut ˆetre r´e´ecrite en fonction du coefficient de transmission sous la forme suivante :

G(V, ω = 0) = Gq 2 T _eV 2~  . (4.24)

Pour une transmission parfaite τ = 1, la conductance diff´erentielle sera ´egale `a Gq/2 car

le conducteur est en s´erie avec une r´esistance R = Rq. Pour τ < 1, G(V, ω = 0) sera

inf´erieure `a Gq/2 dans le sens o`u eV est limit´e par ~ωC.

Figure _{4.4 –} Cot´e gauche : Conductance diff´erentielle en unit´e de e2_{/h, en fonction de eV /~ω}

C pour

diff´erentes valeurs de τ , `a kBT /~ωC = 0.001. Les valeurs correspondantes de VB sont les suivantes :

eVB/~ωC = 0.02 (ligne continue rouge), eVB/~ωC = 0.1 (ligne verte hachur´ee), eVB/~ωC = 0.22 (ligne

bleu hachur´ee) et eVB/~ωC= 0.5 (ligne noire en pointill´e). Cot´e droit : Toutes les courbes du cot´e gauche

se superposent en une seule courbe en consid´erant la variation en V /VB.

Sur la figure 4.4 nous avons trac´e la conductance diff´erentielle `a faible temp´erature. On remarque d’abord que l’anomalie de point z´ero est plus visible quand τ d´ecroˆıt. L’autre remarque importante, est la sensibilit´e aux faibles variations de τ . Ceci est dˆu au fait de la variation rapide de T (ω′) `a faibles fr´equences. En effet, la contribution majeure dans

l’´equation (4.10) est donn´ee par T (ω′) pour les fr´equences faibles. Vue ces remarques, on conclut donc que le r´egime de forte r´etrodiffusion est atteint rapidement pour les mˆemes valeurs de τ . Il faut noter aussi que dans la partie droite de la figure 4.4 toutes les courbes se superposent en une seule courbe si on normalise la tension par VB.

Regardons maintenant le bruit `a fr´equence nulle. A temp´erature nulle, il est obtenu `a partir de l’´equation (4.14) en int´egrant `a T = 0

S(V, ω = 0) = GqeVB 4      arctan  _V VB  −_V2V V_{+ V}B 2 B      . (4.25)

On peut montrer que le bruit `a fr´equence nulle ob´eit `a l’´equation (4.7) pour R = Rq. Ceci

confirme que l’anomalie de point z´ero est li´ee au bruit `a fr´equence nulle en pr´esence d’un environnement ´electromagn´etique.

Figure _{4.5 –} Le courant et le bruit `a fr´equence nulle en fonction de la transmission effective τ pour

eV /~ωC= 0.2 et `a kBT /~ωC= 0.001 Les fl`eches indiquent les valeurs correspondantes de eVB/~ωC.

Nous avons trac´e dans la figure 4.5 le bruit `a fr´equence nulle et le courant en fonction de la transmission effective τ `a basses temp´eratures. On remarque que les deux courbes poss`edent un comportement diff´erent. En effet, le fait que l’int´egrale d´efinissant le courant contient T (ω′) nous donne une courbe r´eguli`erement croissante. Par contre, dans l’expres- sion du bruit `a fr´equence nulle la quantit´e `_{a int´egrer contient le terme T (ω}′_{)[1 −T (ω}′_{)] qui}

rend le comportement non-monotone. Pour τ < 0.9 qui correspond `a une tension VB> V ,

les deux courbes convergent vers la mˆeme valeur. En utilisant ces grandeurs, nous pou- vons d´efinir le facteur de Fano par le rapport S(V, ω = 0)/I(V ). Le r´esultat est identique `

a celui obtenu dans un r´egime poissonien avec transfert de charge e ind´ependant `a travers le conducteur. Dans le cas o`u VB ≪ V , le transfert de charge n’est plus ind´ependant.Le

facteur de Fano est d´efini par le rapport S(V, ω = 0)/IB(V ), o`u IB(V ) est le courant de

r´etrodiffusion, ce facteur prend la valeur e∗ _{= e/2. Cette valeur est li´ee `a la conductance}

Comportement `a temp´erature interm´ediaire

Figure_{4.6 – Cot´e gauche : Conductance diff´erentielle en unit´e de e}2_{/h, en fonction de la temp´erature}

T en unit´e de ~ωC/kB pour diff´erentes valeurs de τ , `a kBT /~ωC = 0.001. Cot´e droit : Toutes les courbes

du cot´e gauche se superposent en une seule courbe en consid´erant la variation en kBT /eVB.

Ce r´egime correspond `a des temp´eratures proches de eV /kB. Sur la figure 4.6 nous

avons trac´e la conductance diff´erentielle en fonction de la temp´erature pour diff´erentes valeurs de τ . L’augmentation de la temp´erature ´elimine l’anomalie de point z´ero, le com- portement est similaire `a celui obtenu dans la th´eorie P (E) [154, 53]. Du cot´e droit de la figure 4.6, on voit de nouveau que toutes les courbes se superposent en une seule courbe si on consid`ere la variation en kBT /eVB.

Figure _{4.7 –} Le courant et le bruit `a fr´equence nulle en fonction de la transmission effective τ pour

eV /~ωC= 0.2 et `a kBT /~ωC= 0.2. Les fl`eches indiquent les valeurs correspondantes de eVB/~ωC.

Sur la figure 4.7 nous avons trac´e le courant et le bruit `a fr´equence nulle en fonction de τ . On remarque cette fois que les deux courbes sont r´eguli`erement croissantes avec des valeurs plus ´elev´ees du cot´e du bruit `a fr´equence nulle `a cause de la contribution du bruit thermique.

Comportement `a haute temp´erature

lin´eaire en V ainsi que la conductance qui vaut [168, 120] : G(V ≃ 0, ω = 0) = G₂q  1 − _4πkeVB BT Ψ′ ₁ 2 + eVB 4πkBT  , (4.26)

avec Ψ(x) = Γ′_{(x)/Γ(x), o`u Γ est la fonction d’Euler. Dans le cas de forte r´etrodiffusion}

et kBT ≫ eVB nous retrouvons la loi de puissance en T :

G = 2π 2_G qk2BT2 3e2_V2 B . (4.27)

Ce r´esultat est en accord avec le comportement d’un liquide de Tomonaga-Luttinger dans le r´egime de forte r´etrodiffusion [117, 128] o`_{u on a G ∼ T}2/K−2_{. Il est aussi en accord avec}

ce que pr´edit la th´eorie P (E) dans le r´egime tunnel.

La conductance diff´erentielle `a temp´erature et `a tension finies ob´eit `_{a la loi G ∼ T}αF (V /T )

o`<sub>u F (x ≫ 1) −→ constante. Ce qui implique que la temp´erature et la tension ne jouent</sub> pas des rˆoles sym´etriques. Dans le cas des faibles r´etrodiffusions ce comportement est viol´e. En effet, si on consid`ere la conductance diff´erentielle d´efinie par rapport au courant de r´etrodiffusion GB= Gq/2 − G, on obtient dans la limite kBT ≫ eVB le r´esultat suivant :

GB =

πGqeVB

16kBT

, (4.28)

qui diff`ere de celui que l’on obtient si on d´eveloppe l’´equation (4.23) dans la limite V ≫ VB:

GB=

GqVB2

2V2 . (4.29)

4.4.2 Conductance `a fr´equence finie et bruit non-sym´etris´e `a fr´equence