2.2.1
G´en´eralit´es
La litt´erature sur la mod´elisation des milieux diphasiques est extrˆemement abondante, et nous donnons ici un bref aper¸cu des di↵´erentes m´ethodes de moyennage existantes.
Nous d´efinissons un milieu diphasique comme une phase dite«continue», par exemple un liquide, qui contient un grand nombre de particules, par exemple des bulles, des gouttes ou des particules solides, qui constituent la phase «dispers´ee».
L’homog´en´eisation d’un tel milieu consiste `a d´efinir des grandeurs macro- scopiques moyennes, et `a ´ecrire des relations entre ces grandeurs d´ecrivant son comportement d’ensemble. Ces relations doivent bien entendu traduire la pr´esence des particules et leurs e↵ets physiques sur le mouvement, mais la notion d’individu disparaˆıt de la formulation. Pour prendre une analo- gie, un gaz est d´efini par sa temp´erature, son volume molaire et sa pression qui d´ecrivent son comportement macroscopique ; l’´equation d’´etat qui relie ces grandeurs est li´ee au mouvement des mol´ecules du gaz, mais ne fait pas intervenir le mouvement d’un individu en particulier.
Quelle que soit la nature des particules, cette homog´en´eisation n’a un sens que si la phase dispers´ee inclut un grand nombre d’entit´es. Il est clair qu’une phase liquide contenant une ou deux bulles ne peut ˆetre trait´e comme un milieu homog`ene ´equivalent.
2.2.2
Notion de fermeture
G´en´eralement, les m´ethodes de moyennage de milieux diphasiques consistent `a appliquer s´epar´ement un op´erateur de moyenne aux ´equations du mouve- ment dans les deux phases, et manipulent donc des grandeurs moyenn´ees sur chaque phase Nigmatulin (1978); Drew (1983). Certaines m´ethodes Batchelor (1970) manipulent directement des grandeurs moyennes d´ecrivant indistinc- tement la phase continue ou la phase dispers´ee.
Dans tous les cas, une ´etape suppl´ementaire doit compl´eter cette prise de moyenne : la fermeture du mod`ele. Elle traduit physiquement la mani`ere dont les interactions entre les deux phases influent sur le comportement global du milieu, et repr´esente donc essentiellement un couplage entre des ph´enom`enes microscopiques et macroscopiques.
Sur le plan math´ematique, l’´etape de fermeture fournit une ´equation suppl´e- mentaire destin´ee `a combler la perte d’information li´ee `a la prise de moyenne des ´equations microscopiques. Une loi de fermeture particuli`erement simple peut ˆetre obtenue pour des suspensions dites «dilu´ees», pour lesquelles le taux volumique des particules est faible.
2.2.3
Moyennage volumique
Le moyennage volumique, qui apparaˆıt comme le plus intuitif, consiste `a envisager un volume, appel´e «m´eso-volume», suffisamment petit devant les variations spatiales du mouvement d’ensemble, mais suffisamment grand pour contenir un grand nombre de particules (figure 2.1). Cette hypoth`ese est connue sous le nom de s´eparation des ´echelles.
Le point macroscopique x est alors d´efini par ce volume, et la prise de moyenne d’une grandeur g peut y ˆetre d´efinie par
hgi (x) = V1 Z
V
x0
x
Macro-´echelle M´eso-´echelle Micro-´echelle
x0
g(x)
x + dx
Figure 2.1 – D´efinition des di↵´erentes ´echelles intervenant dans le moyen- nage volumique. La macro-´echelle est celle qui int´eresse l’observateur et cor- respond aux variations des grandeurs moyenn´ees. L’´echelle microscopique correspond `a la taille des particules. La m´eso-´echelle doit ˆetre suffisamment grande pour contenir un grand nombre de particules, et suffisamment petite pour que du point de vue de l’observateur, les grandeurs macroscopiques y subissent une variation n´egligeable.
Le volume V peut repr´esenter le volume occup´e par une phase donn´ee dans le m´eso-volume, dans le cas d’un moyennage par phase, ou sur l’ensemble du m´eso-volume dans le cas d’un moyennage global.
Le moyennage volumique pr´esente un certain nombre d’inconv´enients : il n´ecessite en particulier la d´efinition suppl´ementaire de moyennes surfaciques pour tous les termes ´evalu´es aux interfaces entre les deux phases Nigmatulin (1978). Notons ´egalement que la fermeture par passage `a la limite dilu´ee n’apparaˆıt pas naturellement dans ce type de moyennage, contrairement au moyennage d’ensemble.
2.2.4
Moyennage d’ensemble
Le moyennage d’ensemble a ´et´e introduit initialement pour l’´etude du com- portement de suspensions solides en ´ecoulement de Stokes Batchelor (1972). Il a ´et´e appliqu´e plus r´ecemment avec succ`es tant dans le cadre des liquides `a bulles que des suspensions solides.
Le moyennage statistique ou moyennage d’ensemble consiste `a prendre des moyennes non plus sur un volume g´eom´etrique, mais sur l’ensemble des confi-
gurations possibles de M particules. Batchelor d´efinit une configuration CM
par l’ensemble des positions (r1, . . . rM) des centres de masse des M parti-
cules, suppos´ees identiques, et une densit´e de probabilit´e P (CM) telle que la
probabilit´e pour qu’une particule ait son centre dans un volume dr1 autour
du point r1, une autre dans un volume dr2 autour du point r2 etc. . ., est
dP = P (CM) dCM = P (r1, . . . rM) dr1. . . drM (2.2)
Le fait que les particules soient identiques impose la condition de normalisa-
tion Z
P (CM) dCM = M ! (2.3)
o`u l’int´egrale repr´esente une int´egration M fois sur le volume V contenant les M particules, par rapport aux variables (r1, . . . rM).
Une grandeur physique d´efinie en un point x quelconque du volume V peut alors ˆetre moyenn´ee par
hgi (x) = M !1 Z
g(x|CM)P (CM) dCM (2.4)
o`u g(x|CM) est la valeur que prend g(x) lorsque les particules sont dans la
configurationCM. Dans certaines configurations, x est dans la particule, dans
les autres x est dans le liquide. g peut ˆetre par exemple la pression, la vitesse etc . . .
L’expression de la moyenne (2.4) est inutilisable telle quelle, puisqu’elle n´e- cessite de connaˆıtre l’´ecoulement pour une position donn´ee des M particules. Il convient donc, au prix de certaines approximations, de leur substituer des expressions faisant intervenir un nombre de particules plus restreint (en pra- tique une ou deux).
L’approximation e↵ectu´ee est g´en´eralement la «limite dilu´ee», applicable `a des milieux o`u le taux volumique des particules est faible. Intuitivement, on voit bien que dans ce cas, un point du m´elange a une faible probabilit´e d’avoir un grand nombre de particules dans son voisinage. Pour formaliser ce raison- nement, plusieurs approches plus ou moins rigoureuses ont ´et´e envisag´ees. Notons R0 le rayon des particules, N le nombre de particules par unit´e de
volume, et = 4/3⇡R3
0N le taux volumique des particules.
L’argument de Batchelor sch´ematis´e figure 2.2 consiste `a d´ecomposer les configurations CM en plusieurs familles : celles o`u toutes les particules sont
tr`es ´eloign´ees du point x (figure 2.2.a), celles o`u une des particules est proche1
de x (figure 2.2.b), celles o`u 2 particules sont proches de x (figure 2.2.c), etc...
x
c
b
a
C
M=
+
+
+ . . .
x xFigure 2.2 – D´ecomposition de l’ensemble des configurationsCM intervenant
dans la moyenne (2.4) en sous-ensembles incluant 0, 1, 2 etc. . . particules au voisinage du point x.
La probabilit´e des configurations (b) est de l’ordre de , celle des configu- rations (c) d’ordre 2, etc. . . et l’on sent intuitivement que cette s´erie de
configurations introduit des raffinements de plus en plus n´egligeables sur la valeur de la moyenne (2.4).
La seule prise en compte des configurations (a) revient `a n´egliger totalement la pr´esence des bulles dans le calcul de la moyenne, et repr´esente le liquide seul ; la prise en compte suppl´ementaire des configurations (b) fait intervenir une particule seule en milieu infini et introduit une correction d’ordre par rapport au liquide pur. La prise en compte des configurations (c) n´ecessite d’´etudier l’´ecoulement autour de deux particules, et introduit des corrections d’ordre O( 2). On voit ainsi que l’on peut ramener l’´ecoulement autour de M
particules `a celui autour de une, deux particules selon le degr´e de pr´ecision recherch´e.
En utilisant cette m´ethode, Batchelor (1972) calcule la vitesse de chute des particules solides d’une suspension `a l’ordre , en ramenant le probl`eme `a l’´ecoulement autour de deux particules. Sur un sch´ema identique Van Wijn- gaarden (1976) calcule la vitesse acquise par les bulles dans un liquide soumis `a une acc´el´eration d’ensemble, et en d´eduit la correction au coefficient de masse ajout´ee `a l’ordre .
Une autre utilisation de ce moyennage est parfois utilis´e en le combinant avec un moyennage volumique pour calculer une rh´eologie moyenne d’un milieu diphasique. Ainsi, Batchelor and Green (1972) obtiennent une expression du tenseur des contraintes moyen `a l’ordre O( 2) dans une suspension de par-
ticules solides. Biesheuvel and Van Wijngaarden (1984) calculent un tenseur des contraintes moyen dans un liquide `a bulles et en d´eduisent une ´equation de conservation de la quantit´e de mouvement valable `a l’ordre O( ).
La m´ethodologie de Batchelor a ´et´e formalis´ee plus rigoureusement par Hinch (1977), qui applique sa m´ethode `a divers probl`emes de suspensions solides. Une application remarquable de cette m´ethode `a l’´etude de la propagation d’une onde acoustique lin´eaire a ´et´e e↵ectu´ee r´ecemment par Sangani (1991). Nous reviendrons sur cette ´etude ult´erieurement.
Pour conclure sur les m´ethodes de moyennage, ajoutons qu’il est difficile de trancher quant `a l’utilisation pr´ef´erentielle d’un moyennage volumique ou d’ensemble. Il nous semble que le moyennage d’ensemble fournit un cadre th´eorique plus rigoureux pour le passage `a la limite dilu´ee, et plus g´en´erale- ment pour la fermeture du syst`eme `a des ordres sup´erieurs en .