2.5 Ondes non-lin´eaires
2.5.1 Approche physique
2.5.1.1 Compressibilit´e du liquide `a bulle
L’acoustique lin´eaire suppose que les variations de densit´e du milieu autour de la valeur d’´equilibre sont faibles et proportionnelles aux variations de pres- sion autour de la valeur d’´equilibre, ce qui sous-entend que la compressibilit´e du milieu, donc la vitesse du son, est ind´ependante de l’amplitude de la per- turbation. Pour des amplitudes plus ´elev´ees, cela n’est plus vrai car l’´equation d’´etat ne peut plus ˆetre lin´earis´ee autour du point d’´equilibre et des termes d’ordre sup´erieur apparaissent.
Le principe est le mˆeme pour l’acoustique d’un liquide `a bulles, la non- lin´earit´e ne provenant plus d’une ´equation d’´etat, mais des oscillations des bulles. La compressibilit´e globale du milieu est approximativement celle des bulles. Ecrivons la vitesse du son par sa d´efinition c2 = dp/d⇢, la densit´e
moyenne du milieu liquide-bulle ´etant ⇢l(1 ) :
1 c2 = d⇢ dp = ⇢l d dp = 4⇡ 3 N ⇢l dVg dp
o`u Vg est le volume d’une bulle qui voit infiniment loin d’elle la pression
moyenne p. A basse fr´equence (et pour des amplitudes mod´er´ees), on peut consid´erer que la bulle r´eagit de mani`ere quasi-statique aux variations de pression `a l’infini, et n´egliger le mouvement radial du liquide10. Dans ces
conditions, aux termes de tension superficielle et de viscosit´e pr`es, la pression `a l’infini de la bulle et la pression dans le gaz sont ´egales, et, en supposant un comportement polytropique de ce dernier, la vitesse du son devient
1 c2 = 4⇡ 3 N ⇢l ⌘ p1/⌘0 Vg0 p1+1/⌘ = 0⇢l ⌘ p1/⌘0 p1+1/⌘ (2.73)
Il apparaˆıt que la vitesse du son d´epend de p, donc de l’´etat de compression du milieu. Plus pr´ecis´ement, la vitesse du son est une fonction croissante de la pression. Physiquement, on peut dire qu’une bulle d´ej`a comprim´ee est moins compressible qu’une bulle en d´etente, et que la raideur du milieu (et donc la vitesse du son) est plus importante lorsque celui-ci est en compression.
10. Ce faisant, nous n´egligeons le premier membre de l’´equation de Rayleigh, ou encore l’´energie cin´etique du liquide, et donc le caract`ere dispersif de l’onde
2.5.1.2 Ondes cin´ematiques et raidissement
L’´equation qui d´ecrit une onde se propageant dans le sens des x positifs, avec une c´el´erit´e c(p) d´ependant de la pression, s’´ecrit :
@p
@t + c(p) @p
@x = 0 (2.74)
Les solutions de cette ´equation sont appel´ees«ondes cin´ematiques» Whitham (1974), et interviennent dans de nombreux domaines (dynamique des gaz, trafic routier). Cette ´equation peut s’´ecrire sous forme dite«caract´eristique»
dp
dt = 0 sur les courbes dx
dt = c(p)
et il s’ensuit que p est constante sur ces courbes. La pente c(p) de chaque courbe ne d´ependant que de p, elle est donc constante, et ces courbes carac- t´eristiques sont par cons´equent des droites.
La figure 2.12 montre alors la situation lorsqu’une source acoustique est pla- c´ee en x = 0 : certaines caract´eristiques coupent l’axe des x, et sont issues du milieu au repos, par cons´equent p = p0 le long de ces derni`eres, et leur
pente dx/dt vaut c(p0). Les autres caract´eristiques coupent l’axe des t, et la
pression, et donc la pente de ces derni`eres est impos´ee par la pression de la source.
Les solutions de l’´equation peuvent alors ˆetre exprim´ees sous forme param´e- trique :
p(x, t) = f (⌧ ) (2.75)
x = c(f (⌧ ))(t ⌧ ) (2.76)
o`u f (⌧ ) repr´esente l’´evolution temporelle de la pression impos´ee par la source. Cela signifie qu’une caract´eristique est enti`erement d´etermin´ee par son inter- section ⌧ avec l’axe des t, sa pente ´etant alors donn´ee par c(f (⌧ )).
Puisque la pente d’une caract´eristique d´epend de la pression `a la source, celle-ci variant au cours du temps, certaines caract´eristiques convergent les unes vers les autres. Pour la figure 2.12 o`u c(p) est une fonction croissante de p, c’est le cas lorsque la source impose une pression croissante au cours du temps. La cons´equence sur les formes d’ondes est illustr´ee figure 2.13, o`u l’on examine l’´evolution d’une onde sinuso¨ıdale (1) : les parties de l’onde o`u la pression est plus ´elev´ee se propagent plus vite, et rattrapent les parties o`u la pression est plus faible, ce qui tend `a«raidir» la partie compressive de l’onde.
x = c(f(⌧ ))(t ⌧) p = p0 p0 pa p0 p0 + pa ⌧ t x ⌧ f (⌧ ) u = 0
Figure 2.12 – Courbes caract´eristiques de l’´equation (2.74) avec une source sinuso¨ıdale commen¸cant par une phase de d´epression. Les courbes en gras correspondent `a p = p0, dx/dt = c(p0). Les deux lignes en pointill´e corres-
1 2 3 4 0 c(pmin)t c(pmax)t c(0)t pmax pmin x
Figure 2.13 – M´ecanisme de raidissement d’une onde sinuso¨ıdale : la partie compressive de l’onde se propage plus vite.
Si ce raidissement se poursuit, un paradoxe apparaˆıt : il arrive un moment (3) o`u le profil devient multivalu´e et pr´esente des pentes infinies, ce qui correspond au point du plan (x, t) de la figure 2.12 o`u deux caract´eristiques convergentes se coupent.
En fait, `a partir du moment o`u les d´eriv´ees deviennent infinies, une disconti- nuit´e (ou «choc») est form´ee. L’onde tend asymptotiquement vers un profil en dent de scie not´e (4). Math´ematiquement, l’´equation (2.74) n’est plus valable sous cette forme d`es l’apparition de pentes infinies.
La propagation de chocs dans les liquides `a bulles est une r´ealit´e physique sur laquelle nous reviendrons. Le ph´enom`ene de raidissement d´ecrit ci-dessus est une cons´equence de la non-lin´earit´e du probl`eme, et d´ecoule simplement de la d´ependance de la vitesse du son par rapport `a l’´etat de compression. L’´equation (2.74) rend compte de ce ph´enom`ene mais est incompl`ete quant `a la prise en compte des ph´enom`enes dissipatifs d’une part et de la dispersion d’autre part.
Les ph´enom`enes dissipatifs proviennent des di↵´erentes causes d’amortisse- ment du mouvement de la bulle, et tendent `a limiter le raidissement des parties compressives de l’onde. La dispersion provient du mouvement du li- quide autour de la bulle, et tend `a s´eparer les unes des autres les di↵´erentes composantes harmoniques de l’onde.
Chacun ces deux e↵ets ajoute un terme suppl´ementaire `a l’´equation (2.74). Ces termes correctifs, ainsi que la vitesse de propagation c(p) sont explicit´es rigoureusement dans la section suivante, et conduisent `a une ´equation de Korteweg-de Vries-Burgers.