L’objet de ce chapitre ´etait de trouver dans la litt´erature un mod`ele d´ecrivant correctement la propagation d’une onde acoustique dans un liquide `a bulles. Le mod`ele de Caflish et al. (1985) r´epond `a cette demande et concentre l’essentiel de la physique du probl`eme, pourvu que :
– le milieu ne soit pas anim´e d’un mouvement d’ensemble d’une part, – la densit´e de bulles ne soit pas trop ´elev´ee.
La premi`ere contrainte est v´erifi´ee pour des proc´ed´es de type «batch». La seconde peut-ˆetre mise en d´efaut dans des zones o`u les bulles ont une ten- dance naturelle `a se concentrer (voir chapitre 5). Dans l’´etude bibliographique e↵ectu´ee plus haut, nous avons mentionn´e l’existence de quelques mod`eles permettant de relaxer les contraintes d´ecrites ci-dessus.
Sous l’hypoth`ese de perturbations de faible amplitude, la lin´earisation du mod`ele conduit `a une ´equation particuli`erement simple, que l’on peut r´esu- mer sous la forme d’une relation de dispersion. Dans une g´eom´etrie mono- dimensionnelle ferm´ee, nous avons pr´ecis´e les solutions analytiques ce cette ´equation, qui repr´esentent des ondes stationnaires amorties. Ces r´esultats ser- viront de r´ef´erence pour une comparaison ult´erieure avec les r´esultats non- lin´eaires. Notons que la relation de dispersion lin´eaire se g´en´eralise facilement `a des populations de bulles monodisperses et non uniformes dans l’espace, ce que nous envisagerons au chapitre 5.
Mais dans sa forme originale, le mod`ele de Caflish est non-lin´eaire et donc ap- plicable `a des perturbations acoustiques d’amplitude ´elev´ee. Nous avons ana- lys´e physiquement ces non-lin´earit´es, et montr´e qualitativement qu’`a basse fr´equence, elles devaient conduire `a un raidissement de l’onde. Cet e↵et non- lin´eaire est en partie compens´e par la dispersion et la dissipation, et cet ´equi- libre entre les trois ph´enom`enes a ´et´e montr´e plus formellement en r´eduisant le mod`ele de Caflish `a une ´equation de KdVB.
Pour aller plus loin dans la recherche des solutions du mod`ele de Caflish, nous d´ecrirons dans le chapitre suivant une m´ethode num´erique susceptible de fournir des solutions pour une population de bulles monodisperse et uniforme dans l’espace. Le code obtenu sera ensuite utilis´e au chapitre 4 pour valider les d´eveloppements analytiques e↵ectu´es ici, et pour d´ecrire des r´egimes d’ondes stationnaires non-lin´eaires.
Notons enfin que nous avons propos´e une interpr´etation ´energ´etique du mo- d`ele de Caflish, en mettant l’accent sur la puissance calorifique moyenne dissip´ee par les bulles. Ce r´esultat sera ´egalement exploit´e `a partir des r´e-
sultats de simulation non-lin´eaires pour localiser les zones de l’espace o`u les bulles dissipent le maximum d’´energie.
Chapitre 3
M´ethode num´erique
3.1
Introduction
Si l’on s’interroge sur les particularit´es de la cavitation acoustique en tant que ph´enom`ene de propagation d’onde acoustique, l’une d’entre elles est l’am- plitude ´elev´ee des oscillations de pression. A ce titre l’hypoth`ese de pertur- bations de faible amplitude paraˆıt extrˆemement restrictive, et on peut se demander de quelle mani`ere la non-lin´earit´e des oscillations des bulles se r´epercute sur la forme des ondes propag´ees.
Il nous a donc paru important de pouvoir d´eterminer les solutions du mod`ele de Caflish pr´esent´e au chapitre pr´ec´edent dans un cadre strictement non- lin´eaire. L’objet du pr´esent chapitre est de pr´esenter une m´ethode num´erique r´epondant `a cette demande.
La r´esolution num´erique du mod`ele de Caflish proprement dit a ´et´e e↵ec- tu´ee par Watanabe and Prosperetti (1994) pour l’´etude de la propagation des chocs. La m´ethode employ´ee est une m´ethode type di↵´erences finies dont le d´etail n’est pas pr´ecis´e par les auteurs. Toujours dans le cadre des chocs, Matsumoto and Kameda (1993); Kameda and Matsumoto (1995) ont ´ega- lement d´evelopp´e une m´ethode de di↵´erences finies semi-implicite pour r´e- soudre un mod`ele plus complet prenant en compte le mouvement relatif des deux phases.
Dans le cadre d’une exp´erience de cavitation acoustique, nous nous int´e- ressons `a des g´eom´etries ferm´ees, incluant des r´eflexions de l’onde sur des surfaces solides mat´erialisant les parois d’un r´ecipient, ou des surfaces libres du type liquide-air ambiant. Plusieurs logiciels de types ´el´ements finis per-
mettent de traiter ce probl`eme dans le cadre de l’acoustique lin´eaire, avec ´eventuellement des couplages fluide-structure Decarpigny (1984). Un objec- tif ambitieux serait donc la r´e´ecriture de ce type de code en rempla¸cant les ´equations de l’acoustique lin´eaire par celles de Caflish.
Le code de calcul pr´esent´e ci-dessous a ´et´e con¸cu comme un premier pas dans cette voie. Notons que le mod`ele de Caflish ´etant non-lin´eaire, il est moins facilement manipulable que les ´equations de l’acoustique lin´eaire, et donc `a priori bien plus consommateur de temps calcul.
Pour rendre le probl`eme abordable, deux hypoth`eses majeures seront faites sur la population de bulles :
– toutes les bulles ont le mˆeme rayon d’´equilibre R0.
– elles sont uniform´ement r´eparties dans le milieu, avec une densit´e N . La restrictivit´e de ces hypoth`eses sera rediscut´ee ult´erieurement.
La m´ethode utilis´ee est celle des ´el´ements finis, qui permet de transformer le mod`ele de Caflish en probl`eme semi-discret. Le syst`eme d’´equations obtenu est donc un syst`eme d’´equations di↵´erentielles, que nous r´esoudrons par des m´ethodes classiques.