Mod´ elisation des propri´ et´ es radiatives des particules

Les propri´et´es radiatives des particules d’alumine (coefficients d’absorption et de diffu-sion) sont ici mod´elis´ees par la th´eorie de Mie. Nous rappellerons, dans un premier temps, les grandeurs essentielles calcul´ees par cette th´eorie exacte (efficacit´es d’extinction et de diffusion, fonction de phase) puis leur sensibilit´e `a l’indice de r´efraction sera ´etudi´ee.

G´en´eralit´es sur la th´eorie de Mie

Le formalisme de la th´eorie de Mie pour des particules sph´eriques est d´etaill´e dans de nombreux ouvrages [119, 121]. Il s’agit de r´esoudre, dans l’hypoth`ese de champ lointain, les ´equations de Maxwell pour une onde plane monochromatique en incidence sur une particule sph´erique dont les propri´et´es optiques diff`erent du milieu environnant. On ne s’int´eressera ici qu’`a introduire les grandeurs de base qui serviront pour notre ´etude et le sens physique qui s’y rattache. Les ph´enom`enes de diffusion et d’absorption sont, dans cette approche, produits par les interactions d’ondes ´electromagn´etiques avec la mati`ere. Deux param`etres importants sont `a prendre en compte pour sa mod´elisation :

– le rapport ˆm des indices du milieu diffusant et du milieu de propagation n_m : ˆ

m = ^{n + ik} n_m – le param`etre de taille x d´efini par :

x = ^2πnmr λ

o`u r est le rayon de la particule et λ la longueur d’onde du rayonnement dans le milieu.

Si x >> 1 et x | ˆm − 1| >> 1, les ph´enom`enes de diffusion peuvent ˆetre trait´es dans le cadre de l’optique g´eom´etrique.

Si x << 1 et x | ˆm − 1| << 1, on peut traiter l’absorption et la diffusion dans le cadre de l’approximation de Rayleigh (petites particules).

Entre ces deux domaines, la diffusion est trait´ee `a partir de la th´eorie g´en´erale de Mie.

La diffusion que nous traiterons sera suppos´ee ind´ependante : les particules diffusent ind´ependamment les unes des autres et leurs sections efficaces sont additives dans la limite

du milieu mince. On peut s’assurer d’une telle hypoth`ese `a partir des diagrammes des r´egimes de diffusion d´ependante et ind´ependante de Tien et Drolen ´etablis en fonction de deux crit`eres : le param`etre de taille et la fraction volumique de particules dans le milieu [122].

Sections efficaces et efficacit´es

Pour des particules quelconques, la section efficace de diffusion C_sc (respectivement d’absorption Ca) est, par d´efinition, la surface qui, ´eclair´ee avec un flux surfacique incident ϕ_i, recevrait un flux ´egal au flux diffus´e Φ_sc (respectivement absorb´e Φ_a) :

Φ_sc = C_scϕ_i

La section efficace d’extinction se d´efinit `a partir des sections efficaces de diffusion et d’absorption C_sc et C_a :

C_ext= C_sc+ C_a

Pour des sph`eres homog`enes d’indice isotrope, la th´eorie de Mie permet de calculer les sections efficaces d’extinction C_ext et de diffusion C_sc `a l’aide de coefficients a_n et b_n (coefficients des s´eries de Mie), issus d’une d´ecomposition du champ diffus´e ~E_S en une s´erie infinie d’harmoniques sph´eriques [121] :

C_ext = ^2π k2 ∞ X n=1 (2n + 1)Re {a_n+ b_n} (7.55) C_sc = ^2π k2 ∞ X n=1 (2n + 1)(|a_n|² + |b_n|²) (7.56) S₁(θ) = ∞ X n=1 2n + 1 n(n + 1)^{(anΠn(θ) + bnΛn=1(θ)) (7.57)} S₂(θ) = ∞ X n=1 2n + 1 n(n + 1)^{(anΛn(θ) + bnΠn(θ)) (7.58)} Bohren et Huffmann (1983) donnent la d´emonstration compl`ete de ces formules avec l’expression math´ematique des coefficients a<sub>n</sub> et b<sub>n</sub> et des fonctions Π<sub>n</sub>(θ) et Λ<sub>n</sub>(θ) [121]. Ces formules analytiques sont ici programm´ees `a partir de r´ecurrences ascendante et descendante.

Les efficacit´es d’absorption, de diffusion et d’extinction sont alors des grandeurs adi-mensionn´ees, rapports des sections efficaces correspondantes `a la surface apparente de la particule dans la direction du rayonnement incident. Dans le cas de particules sph´eriques de rayon r, elles valent :

Q_sc = ^Csc πr2 (7.59) Q_a = ^Ca πr2 (7.60) Q_ext = ^Cext πr2 (7.61)

Fonction de phase et param`etre d’asym´etrie

La quantit´e C_sc ne fournit des informations que sur la puissance diffus´ee dans toutes les directions de l’espace. Soit dΦ_sc le flux diffus´e dans un angle solide ´el´ementaire dΩ autour d’une direction donn´ee θ. On peut poser formellement :

dΦ_sc = dC_sc dΩ



ϕ_idΩ (7.62)

On peut montrer que dC_sc/dΩ, appel´e section efficace diff´erentielle de diffusion, a les dimensions d’une surface par unit´e d’angle solide et a pour expression :

dC_sc

dΩ ^{(θ) = R}

2I_sc(θ)

I_i ^(7.63)

R repr´esente la distance au centre diffusant (R >> 1 en champ lointain). I_iet I_screpr´esentent respectivement le flux incident surfacique (ou amplitude du vecteur de Poynting) et le flux surfacique diffus´e par unit´e d’angle solide. On appelle alors fonction de phase, la section efficace diff´erentielle normalis´ee par la section efficace de diffusion :

p = ¹ C_sc

dC_sc

dΩ ^{(θ) (7.64)}

Cette fonction est normalis´ee :

Z

4π

p dΩ = 1 (7.65)

La fonction de phase d´epend de l’angle de diffusion, de la longueur d’onde ainsi que du rayon de la particule consid´er´ee. Elle d´epend ´egalement, par l’interm´ediaire de l’indice de r´efraction, de la temp´erature consid´er´ee.

Le param`etre d’asym´etrie, quant `a lui, caract´erise le d´egr´e d’anisotropie de la diffusion : il s’agit de la valeur moyenne du cosinus directeur de l’angle de diffusion pond´er´e par la fonction de phase :

g = Z

4π

cos(θ)p(Ω) dΩ (7.66)

Soit, dans le cas d’une diffusion `a sym´etrie azimutale, comme c’est le cas pour des sph`eres :

g = 2π Z 1

−1

µp(µ) dµ (7.67)

o`u µ d´esigne cosθ. Cette valeur est utilis´ee pour la formulation analytique de certaines fonctions de phase tr`es particuli`eres.

Etude des efficacit´es

L’´etude des efficacit´es a ´et´e conduite, dans ce travail, pour des particules liquides de 0,5 µm et 40 µm de rayon en utilisant les relations formul´ees par Dombrovsky pour la d´ependance des propri´et´es optiques des particules `a la longueur d’onde et `a la temp´erature. Les r´esultats de cette ´etude sont illustr´es par les figures 7.6 et 7.7 sur lesquelles est ´

egalement repr´esent´e le param`etre d’asym´etrie. Pour chaque rayon, on repr´esente les ef-ficacit´es et le param`etre d’asym´etrie en fonction du param`etre de taille x = 2πr/λ avec une longueur d’onde λ comprise entre 0,5 et 8 µm, domaine de validit´e du mod`ele de Dombrovsky.

Pour un rayon de 0,5 µm, les efficacit´es repr´esent´ees montrent deux types de structures, classiques en diffusion de Mie : une structure d’interf´erence avec maxima et minima et une structure fine en ondelette tr`es irr´eguli`ere (d´enomm´ee ”ripple structure”). Les premi`eres structures sont dues aux interf´erences entre la lumi`ere incidente et la lumi`ere diffus´ee vers l’avant. Quant aux structures fines, elles sont associ´ees `a des modes de surface r´esonants se traduisant par une minimisation des d´enominateurs des coefficients a_n et b_n dans les expressions 7.55 et 7.56.

Pour les particules de 40 µm, on retrouve, pour l’efficacit´e d’extinction, la limite clas-sique de 2 aux grands param`etres de taille. Les structures d’interf´erence sont plus att´enu´ees du fait des longueurs d’onde consid´er´ees [0,5 µm ; 8 µm] et de l’ordre ´elev´e d’interf´erence. La dynamique du spectre des efficacit´es est par cons´equent plus faible pour les

parti-(a) (b)

(c) (d)

Fig. 7.6 – Efficacit´es d’extinction (a), de diffusion (b), d’absorption (c) et param`etre d’asym´etrie (d) pour une particule d’alumine de rayon r = 0,5 µm (T = 3000 K)

cules de 40 µm de rayon que pour les particules de 0,5 µm de rayon. Cette dynamique est ´

egalement pr´esente pour le param`etre d’asym´etrie qui est pratiquement toujours sup´erieur `

a 0,90 pour les particules de 40 µm de rayon, alors que, pour les particules de 0,5 µm, g varie de 0,2 `a 0,7. Les particules de grand param`etre de taille sont donc caract´eris´es par une forte diffusion vers l’avant. On constate ´egalement que l’efficacit´e d’absorption, dans le cas r = 0,5 µm, est quasiment dix fois plus faible que celle dans le cas r = 40 µm. Le calcul simple du facteur d’att´enuation A d’une onde ´electromagn´etique transmise par la

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 7.7 – Efficacit´es d’extinction (a), de diffusion (b), d’absorption (c) et param`etre d’asym´etrie (d) pour une particule d’alumine de rayon r = 40 µm (T = 3000 K)

particule permet de comprendre cet ´ecart : sur l’intervalle de longueur d’onde [0,5 µm ; 8 µm], avec un indice optique issu des donn´ees de Dombrovsky, le facteur A varie de 0,98 `

a 0,99 pour r = 0,5 µm, et de 0,22 `a 0,53 pour r = 40 µm. L’efficacit´e d’absorption des particules de 0,5 µm de rayon est ainsi tr`es inf´erieure `a celle des particules de 40 µm de rayon.

Cette comparaison succinte met en ´evidence les diff´erences de comportement radiatif entre les particules de diff´erents diam`etres. Cependant, plusieurs tailles de particules sont

observ´ees dans l’´ecoulement gazeux. La partie suivante pr´ecise justement quelles classes de taille sont consid´er´ees dans le calcul du rayonnement des particules. Plus g´en´eralement elle pr´esente la m´ethode utilis´ee pour prendre en compte la diffusion du milieu dans les transferts de chaleur du feu vers l’ext´erieur.