3.1 Introduction
Cette section est consacr´ee `a la mod´elisation POD-Galerkin des ´equations de Navier-Stokes qui permet de d´efinir un mod`ele r´eduit (ou ROM) en tant que syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires de petite dimension (Bourguet, 2008). La m´ethode conduisant d’un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles `a un syst`eme d’´equations polynomiales diff´erentielles ordinaires par projection de Galerkin est d’abord d´ecrite d’un point de vue g´en´eral. Elle consiste en une projection de Galerkin des ´equations de Navier-Stokes pour les ´ecoulements incompressibles sur une base de dimension r´eduite issue d’une d´ ecompo-sition aux valeurs propres tronqu´ee. L’application de cette technique aux ´equations de Navier-Stokes sous l’hypoth`ese d’incompressibilit´e est ensuite d´etaill´ee. Enfin des strat´ e-gies de stabilisation sont propos´ees afin de pallier l’instabilit´e structurale des syst`emes dynamiques issus de l’approche POD-Galerkin.
3.2 Construction du mod`ele r´eduit POD-Galerkin
Dans cette section, le principe de construction du mod`ele r´eduit par projection de Ga-lerkin est tout d’abord rappel´e. Son application au cas d’´equations aux d´eriv´ees partielles est ensuite d´ecrite.
Dans le cas g´en´eral, le syst`eme physique `a approximer est un op´erateur diff´erentiel F tel que si la variable al´eatoire H(Ω × [0,T ])d est solution de ce syst`eme alors :
F (u) = 0 (3.1)
L’approximation ˜u de u sur un sous-espace de dimension finie n est alors : u ≈ ˜u =
n
X
i=1
aiφi (3.2)
o`u les modes φi forment une base orthonorm´ee de H(Ω × [0,T ])d et les coefficients ai sont les coefficients `a d´eterminer. Dans le cas g´en´eral, ˜u n’est pas solution du probl`eme :
F (u) 6= 0 (3.3)
La projection de Galerkin s’exprime comme :
(F (˜u),ψi) = 0 (3.4)
o`u les fonction ψi sont les fonctions de pond´erations et (.,.) est le produit scalaire sur H(Ω × [0,T ])d. La projection de Galerkin consiste `a consid´erer comme fonction de pon-d´erations les fonctions de bases du sous-espace de projection utilis´ees pour approximer u. Le probl`eme physique de dimension infinie est alors approxim´e par le probl`eme `a n dimensions suivant : (F ( n X i=1 aiφi),φj) = 0 et j = 1,...,n (3.5)
Le r´esidus F (˜u) est alors orthogonal `a l’espace de projection Vec{φ1,..,φn} de dimension n. Le probl`eme de la mod´elisation de dimension r´eduite des ´equations de Navier-Stokes revient `a approcher le syst`eme suivant :
∂u ∂t = F (u) sur Ω C(u) = 0 sur Γ u(x,0) = u0(x)
o`u u ∈ H et F,G sont des op´erateurs diff´erentiels et u0 la condition initiale. La variable al´eatoire u est approxim´ee par une d´ecomposition aux valeurs propres tronqu´ees `a NPOD dimensions et la projection de Galerkin du syst`eme sur cette base POD est alors :
( POD X j=1 d dtajφj,φi) = (F ( Npod X j=1 ajφj),φi) ( POD X j=1 aj(0)φj,φi) = (u0,φi)
Comme les modes POD φi sont orthonorm´es, le syst`eme est ´equivalent au syst`eme d’´ equa-tions diff´erentielles ordinaires suivant :
d dtai = (F ( NPOD X j=1 ajφj),φi) ai(0) = (u0,φi)
Ce syst`eme d’EDO (Equations Diff´erentielles Ordinaires) constitue le mod`ele r´eduit POD-Galerkin. Les conditions aux limites impos´ees explicitement dans le mod`ele ini-tial sont v´erifi´ees implicitement par la base POD. Le second membre du syst`eme est ensuite exprim´e comme un polynˆome quadratique `a coefficients constants.
3.3 Projection de Galerkin des ´equations de Navier-Stokes pour
les ´ecoulements incompressibles
Le syst`eme physique `a approximer est ici constitu´e des ´equations de Navier-Stokes incompressibles : ∇.u = 0 ∂u ∂t + (u.∇)u = − 1 ρ∇p + ν∆u
o`u u d´esigne le vecteur vitesse, p la pression, ρ la masse volumique, ν la viscosit´e cin´ e-matique du fluide et µ sa viscosit´e dynamique. Les conditions aux limites sont suppos´ees stationnaires mais non homog`enes en espace. Le vecteur d’´etat approxim´e par la POD est le vecteur vitesse u. La POD tronqu´ee du vecteur d’´etat u doit satisfaire les conditions aux limites. La d´ecomposition de Reynolds de u est adopt´ee :
u = ¯u + ∞ X i=1 aiφi ≈ ¯u + POD X i=1 aiφi (3.6)
o`u ¯u est le champ moyen. De plus on a :
∇.¯u = 0 et φi = 1 λiT
Z T 0
Donc si u v´erifie l’´equation de continuit´e alors les modes POD la v´erifient ´egalement. La projection de Galerkin de l’´equation de conservation de la quantit´e de mouvement s’´ecrit :
(∂u
∂t,φi) + ((u.∇)u,φi) = −( 1
ρ∇p,φi) + (ν∆u,φ) (3.8)
Dans le cas d’´ecoulements incompressibles, le produit scalaire spatial sur L2 est le suivant :
(a,b) = 3 X i=1 Z Ω aibidx (3.9)
En int´egrant par parties via les formules de Green, l’´equation devient :
(∂u ∂t,φi) + ((u.∇)u,φi) = 1 ρ(p,∇.φi) − 1 ρ[pφi] − ν(∇u,(∇φ) t) + ν[(∇u)φi] (3.10) avec [a] =R
Γa.ndx o`u n est la normale ext´erieure `a la fronti`ere. Chaque mode POD v´erifie l’´equation de continuit´e donc le terme (p,∇.φi) s’annule. En introduisant la d´ecomposition aux valeurs propres tronqu´ee, le mod`ele r´eduit POD-Galerkin est le suivant :
d dtai = Di+ NP OD X j=1 Lijaj + NP OD X j=1 NP OD X k=1 Cijkajak ai(0) = (u0− ¯u, φi)
avec Di, Lij, Cijk d´efinis de la mani`ere suivante :
Di = −((¯u.∇)¯u,φi) − ν(∇¯u,(∇φi)t) + ν[(∇¯u)φi]
Lij = −((¯u.∇)φj,φi) − ((φj.∇)¯u,φi) − ν(∇φj,(∇φi)t) + ν[(∇(φj)φi] Cijk = −((φj.∇)φk,φi)
3.4 Traitement du terme de pression
Dans le cas de conditions aux limites homog`enes sur la vitesse ou encore si des condi-tions aux limites p´eriodiques sont prescrites, le terme de pression peut s’annuler sur les fronti`eres mais, dans le cas g´en´eral, ce terme n’est pas nul. Dans le cas g´en´eral, la contri-bution de la pression sur la fronti`ere est g´en´eralement n´eglig´ee avant la projection de Galerkin (Bergmann and Cordier, 2008). La prise en compte du terme de pression est cependant important pour la stabilit´e et la pr´ecision du mod`ele r´eduit (Noack et al., 2005a). De plus, l’utilisation du mod`ele r´eduit POD-Galerkin ne permet pas de faire de pr´ediction de la pression en tant que variable du syst`eme physique, ce qui constitue une limitation importante de cette approche dans l’utilisation du ROM pour le contrˆole. Des approches existent afin de prendre en compte le terme de pression qui sont fond´ees sur une approximation directe du terme (∇p, Φi) en utilisant les coefficients temporels ai issus de la POD du vecteur d’´etat (Galletti et al., 2004) et (Noack et al., 2005a)
3.5 Identification des coefficients d’un mod`ele d’ordre r´eduit
par identification polynomiale
Une derni`ere mani`ere de construire le mod`ele d’ordre r´eduit consiste `a identifier les coefficients plutˆot que de les calculer analytiquement `a partir des expressions issues de la projection des op´erateurs du syst`eme dynamique sur les modes POD. Une fois l’expression du mod`ele d’ordre r´eduit d´efinie, les coefficients Di, Lij et Cijk sont d´etermin´es comme les solutions d’un probl`eme inverse. L’hypoth`ese d’un mod`ele d’ordre r´eduit permet de calculer les coefficients comme les solutions d’un probl`eme moindres carr´es lin´eaire. La m´ethode a d´ej`a ´et´e employ´ee par exemple par Perret et al. (2006) pour obtenir un mod`ele d’ordre r´eduit au maximum de degr´e 2 `a partir de donn´ees exp´erimentales.
Afin d’identifier les param`etres Di, Lij et Cijk, on r´esout le syst`eme AX = B o`u les matrices A, B et X sont d´efinies par :
A = 1 · · · ai(t1) · · · ai(t1)aj(t1) · · · ai(t1)aj(t1)ak(t1) .. . ... ... ... 1 · · · ai(tp) · · · ai(tp)aj(tp) · · · ai(tp)aj(tp)ak(tp) .. . ... ... ... 1 · · · ai(tNs) · · · ai(tNs)aj(tNs) · · · ai(tNs)aj(tNs)ak(tNs)
X = Di · · · Lij · · · Cijkt et B = ˙ai(t1), · · · ˙ai(tp) · · · ˙ai(tNs)t
Le nombre de param`etres Ntotal = N0 + N1 + N2 + N3 `a d´eterminer est le suivant, ∀i ∈ [1,N ] :
• N0=1 pour les coefficients constants Di • N1=N pour les coefficients constants Lij
• N2=N (N + 1)/2 pour les coefficients constants Cijk
La r´esolution de ce syst`eme est un probl`eme de minimisation d’erreur quadratique et la d´etermination des coefficients Di, Lij et Cijk peut se faire en r´esolvant le syst`eme AX = B par SVD. Les coefficients a(t) peuvent ˆetre d´etermin´es `a l’aide de m´ethodes d’int´egration avec un pas de temps constant. Cependant, si l’intervalle entre deux clich´es est trop important, alors les d´eriv´ees temporelles des amplitudes modales risquent d’ˆetre mal ´evalu´ees. Par cons´equent, le second membre du probl`eme est peu pr´ecis et ceci est d’autant plus grave que la matrice A est en g´en´eral mal conditionn´ee, ce qui rend la r´esolution du probl`eme extrˆemement sensible aux perturbations du second membre.
Le type de m´ethodes le plus couramment utilis´e pour contrˆoler le mod`ele r´eduit au cours du temps est bas´e sur une calibration a posteriori des coefficients du mod`ele r´ e-duit. De nombreuses m´ethodes de calibration `a l’aide de m´ethodes variationnelles ont ´et´e entreprises dans la litt´erature. Elles consistent `a ajouter aux membres lin´eaires et qua-dratiques du mod`ele r´eduit des termes qui vont assurer une repr´esentativit´e optimale des coefficients temporels de r´ef´erence. Ces termes de calibration sont d´etermin´es a posteriori `
a l’aide d’un probl`eme de minimisation sous contrainte tout en respectant la formulation du syst`eme d’EDO issu de la projection de Galerkin. Parmi les travaux entrepris `a cet effet, on peut citer Galletti et al. (2005) qui utilisent une m´ethode d’optimisation par
mod`ele direct et adjoint pour d´eterminer ces coefficients sous la contrainte non lin´eaire d’optimisation du mod`ele r´eduit. Couplet et al. (2005) proposent une technique de cali-bration bas´ee sur la minimisation d’une fonctionnelle lin´eaire conduisant `a des r´esultats similaires mais avec des coˆuts num´eriques inf´erieurs. Cordier et al. (2009) ont propos´e une am´elioration de cette m´ethode en utilisant une m´ethode de calibration bas´ee sur la r´ egu-larisation de Tikhonov. Bergmann and Cordier (2008) utilisent des m´ethodes `a r´egions de confiance (appel´ee TRPOD) pour contrˆoler le mod`ele r´eduit autour d’un cylindre en r´egime laminaire.
La proc´edure de calibration utilis´ee dans le cadre de ce travail est bas´ee sur des techniques issues de l’assimilation de donn´ees. Ces techniques permettent de reconstituer l’´etat d’un syst`eme dynamique en combinant l’information contenue dans les ´equations d’´evolution spatio-temporelle du syst`eme dynamique consid´er´e et l’information physique contenue dans les observations de ce syst`eme au cours du temps. Ces m´ethodes sont couramment utilis´ees dans des domaines tels que l’oc´eanographie et la m´et´eorologie o`u il est n´ecessaire d’introduire des donn´ees d’observations dans la mod´elisation afin de prendre en compte la sp´ecificit´e spatio-temporelle du ph´enom`ene physique ´etudi´e et pouvoir ainsi faire l’analyse historique de ce ph´enom`ene ou encore de la pr´evision.