Sommaire
1 Introduction . . . 82 2 POD appliqu´ee `a l’´ecoulement autour du profil NACA0012 84 2.1 Construction de la base POD . . . 84 2.2 D´etermination des coefficients de projection temporels POD . . 85 2.3 Troncature de la base POD . . . 85 3 Mod`ele r´eduit POD-Galerkin . . . 91 3.1 D´etermination des coefficients de pr´ediction temporels . . . 91 3.2 Proc´edure d’int´egration du mod`ele r´eduit . . . 92 3.3 Observations . . . 95 4 Am´elioration du mod`ele r´eduit POD-Galerkin par
assimila-tion s´equentielle de donn´ees . . . 96 4.1 Erreurs en moyenne quadratique des estimateurs . . . 97 4.2 Initialisation des filtres de Kalman . . . 97 4.3 Mod`ele r´eduit lin´eaire et filtres KF, EnKF et SR-EnKF . . . . 100 4.4 Reconstruction de l’´ecoulement u(x,y,t) avec le filtre EnKF . . 109 4.5 Observations . . . 111 4.6 Conclusion . . . 112
5 Application de l’algorithme EM dans le cas
d’observations manquantes . . . 113 5.1 Introduction . . . 113 5.2 POD sous-´echantillonn´ee . . . 113 5.3 Mod`ele `a espace d’´etat utilis´e . . . 114 5.4 Estimation de param`etres par algorithme EM . . . 116 5.5 Application au mod`ele r´eduit POD-Galerkin . . . 118 5.5.1 Erreur de reconstruction de l’algorithme EM . . . 120 5.5.2 RMSE de l’algorithme EM . . . 121 5.6 Observations . . . 132 5.7 Conclusion . . . 133
1 Introduction
Ce chapitre a pour objectif d’appliquer des m´ethodes issues de l’inf´erence bay´esienne au mod`ele r´eduit POD-Galerkin afin de reconstruire un ´ecoulement incompressible aux nombres de Reynolds 1000 et 2000 autour d’un profil NACA0012 aux diff´erents angles d’incidence suivants : 30◦,20◦,15◦,10◦.
Dans un premier temps, un mod`ele d’ordre r´eduit de l’´ecoulement est d´efini `a partir des champs de vitesses u(x,y,t) obtenus exp´erimentalement par PIV 2D-2C. Chacune de ces r´ealisations spatio-temporelles de l’´ecoulement u(x,y,t) peut se d´ecomposer sur la base compl`ete de fonctions orthonormales d´efinie par les fonctions POD sous la forme suivante : u(x,y,t) ≈ um+ NP OD X i=1 ai(t)Φi(x,y) (1.1)
avec um le champ moyen et ai = (u,Φi) = Z
Ω
u(x,y,t) · Φi(x,y)dx pour i = 1,2,..,∞ et NP OD le nombre de modes POD retenus.
La dynamique non lin´eaire des ´ecoulements est ici mod´elis´ee `a l’aide d’un mod`ele r´eduit bas´e sur des fonctions POD. Ainsi, en utilisant la convergence optimale ´energ´etique des fonctions de base POD, la projection de Galerkin des ´equations de Navier-Stokes sur la base POD va permettre de construire un syst`eme dynamique d’ordre r´eduit pour les coefficients temporels de la POD. Cette projection de Galerkin permet alors d’obtenir, `a partir d’un ensemble de r´ealisations de l’´ecoulement u(x,y,t), un mod`ele d’ordre r´eduit des ´equations de Navier-Stokes, capable de repr´esenter la dynamique de la configuration de d´epart. Il n’existe cependant aucune garantie que le mod`ele r´eduit ainsi construit soit efficace pour mod´eliser une dynamique d’´ecoulement. En effet, la projection de Galerkin des ´equations de Navier-Stokes incompressibles sur un sous-espace de dimension r´eduite obtenue par POD ne permet pas syst´ematiquement d’obtenir un mod`ele r´eduit pr´ecis. Ce probl`eme peut toutefois ˆetre r´esolu en calibrant le mod`ele r´eduit, c’est-`a-dire en ajustant les termes du syst`eme r´eduit pour que la solution du mod`ele soit la plus proche de la solution de r´ef´erence.
On se propose ici d’appliquer des m´ethodes issues de l’assimilation s´equentielle de donn´ees pour calibrer le mod`ele r´eduit POD-Galerkin. L’approche choisie ici est une ap-proche stochastique bas´ee sur la r`egle de Bayes o`u l’estimateur du vecteur d’´etat xk du mod`ele r´eduit `a l’instant k est issu de la th´eorie de l’estimation probabiliste. Le but est d’obtenir une repr´esentation de l’incertitude sur la valeur d’un ´etat cach´e xk `a partir de la connaissance des observations yk obtenues s´equentiellement. Dans un cadre bay´ e-sien, cette incertitude, conditionnellement `a la connaissance des observations collect´ees, est quantifi´ee par la densit´e de probabilit´e p(x0:k|y1:k) appel´ee densit´e de probabilit´e a posteriori, avec x0:k l’ensemble des ´etats cach´es de l’instant 0 `a k et y1:k l’ensemble des observations collect´ees de l’instant 1 `a k. Le m´ecanisme d’inf´erence permettant de calculer cette densit´e est bas´e sur la r`egle de Bayes :
p(x0:k|y1:k) ∝ p(y1:k|x0:k)p(x0:k) (1.2)
On suppose que sont d´efinis un mod`ele d’´evolution Xk de l’´etat, reliant deux ´etats succes-sifs xk−1 et xk repr´esent´e par la densit´e p(xk|xk−1) et un mod`ele de mesure Yk, reliant une
mesure yk `a l’´etat cach´e xk, repr´esent´e par la densit´e p(yk|xk). Ainsi, les ´etats cach´es et les observations sont reli´es par un mod`ele stochastique qui permet de prendre en compte les caract´eristiques essentielles du ph´enom`ene observ´e :
Xk= fk(Xk−1,Wk−1) (1.3)
Yk = hk(Xk) + Vk (1.4)
o`u Wk et Vk sont des bruits blancs gaussiens. Les d´ependances statistiques entre les ´etats cach´es et les observations sont repr´esent´ees sur la figure 4.1.
Figure 4.1 – D´ependances entre les variables al´eatoires du mod`ele `a espace d’´etat discret. `
A partir du mod`ele stochastique ainsi d´efini, la densit´e a posteriori peut ˆetre ´ecrite sous la forme : p(x0:k|y1:k) ∝ p(x0) t Y k=1 p(yy|xk)p(xk|xk−1) (1.5)
Dans le cas o`u les mod`eles d’´evolution et de mesure sont lin´eaires `a bruits gaussiens, la densit´e a posteriori est gaussienne, de moyenne et matrice de covariance calcul´ees r´ecursivement `a l’aide des ´equations de Kalman. Dans le cas de mod`eles non lin´eaires, des approximations peuvent ˆetre obtenues `a partir de simulations de nombres al´eatoires, telles que le filtrage particulaire ou les M CM C (Markov Chain Monte Carlo).
Ce chapitre est organis´e de la mani`ere suivante. La projection de Galerkin est tout d’abord rappel´ee et appliqu´ee `a l’´ecoulement autour du profil NACA0012 , en consid´erant une projection sur la base des fonctions propres POD. Le mod`ele r´eduit POD-Galerkin de dynamique non control´ee est alors construit. Afin de r´eduire l’ordre du mod`ele r´eduit, les coefficients temporels issus de la POD dont l’indice est sup´erieur `a un certain seuil sont n´eglig´es. Le mod`ele r´eduit POD-Galerkin est ensuite appliqu´e aux fonctions propres de la POD pour les diff´erentes conditions d’´ecoulement. Des techniques d’inf´erence bay´esienne sont alors appliqu´ees au mod`ele r´eduit afin d’am´eliorer sa repr´esentativit´e pour diff´erentes dynamiques d’´ecoulement. La premi`ere de ces techniques est le filtre de Kalman lin´eaire. Les filtres de Kalman d’ensemble et Kalman d’ensemble ”Square-Root”, bas´es sur des m´ethodes de type Monte-Carlo, sont ensuite utilis´es. La derni`ere partie de ce chapitre est consacr´ee `a l’inf´erence bay´esienne du mod`ele r´eduit POD-Galerkin dans le cas d’observa-tions manquantes. Ces donn´ees manquantes sont issues d’un sous-´echantillonnage de la POD sur l’ensemble complet des champs mesur´es. L’algorithme EM est ensuite appliqu´e afin de reconstruire les coefficients de pr´ediction temporels.