L’algorithme EM est ici appliqu´e au mod`ele r´eduit quadratique et lin´eaire afin de comparer son efficacit´e selon l’ordre du mod`ele r´eduit. L’erreur E de reconstruction est donn´ee sur la figure 4.75 avec, `a gauche, l’erreur pour le cas lin´eaire et `a droite pour le cas quadratique. La RMSE de l’algorithme EM est ´egalement donn´ee figure 4.76 afin de quantifier sa qualit´e d’estimation selon le sous-´echantillonnage et l’ordre du mod`ele r´eduit. Les figures 4.77 `a 4.80 repr´esentent les coefficients a1(t),a2(t),a5(t),a10(t) reconstruits en utilisant l’algorithme EM en fonction des sous-´echantillonnages des donn´ees.
Figure 4.75 – Erreur E - Mod`ele r´eduit POD-Galerkin lin´eaire et quadratique - Cas α = 20◦ `a Re = 1000 - avec (l1,l2) = (10,10)
Figure 4.76 – RMSE - Cas α = 20◦ Re = 1000 - avec τvide = 75%
Figure 4.77 – a1(t) - Cas α = 20◦ Re = 1000 avec τvide=75% et (l1,l2) = (10,30)
Figure 4.79 – a5(t) - Cas α = 20◦ Re = 1000 avec τvide=75% et (l1,l2) = (10,30)
Figure 4.80 – a10(t) - Cas α = 20◦ Re = 1000 avec τvide=75% et (l1,l2) = (10,30)
5.6 Observations
La qualit´e de reconstruction des coefficients de pr´ediction temporels diff`ere selon les sous-´echantillonnages des coefficients de projection temporels. Pour les cas 1,2 et 3, l’er-reur de reconstruction est de l’ordre de 10−3 sur l’ensemble des coefficients. Pour les cas 4,5,6,7,8, l’erreur de reconstruction est de l’ordre de 10−3 `a 10−2. Pour les cas 1,2,3,4, cette erreur ne pr´esente pas de tendance particuli`ere, contrairement aux cas 5,6,7,8,9 o`u elle croˆıt syst´ematiquement en fonction du nombre de coefficients. Dans ces cinq cas, l’erreur sur les premiers coefficients est de l’ordre de 10−3 et de l’ordre de 10−2 sur les derniers coefficients. Le sous-´echantillonnage utilis´e pour les cas 6 et 7 et les cas 3 et 4 conduit `a des erreurs de reconstruction de niveaux ´equivalents. Les croissances de l’erreur de reconstruction pour les cas 6 et 7 sont ´egalement de mˆeme nature. Sur l’ensemble des cas, le sous-´echantillonnage (l1,l2) = (2,2) est celui qui donne l’erreur de reconstruction globalement la plus faible, inf´erieure `a 0.003 dans chaque cas. Le sous-´echantillonnage (l1,l2) = (10,30) est celui que donne l’erreur de reconstruction la plus importante. Pour le cas α = 20◦ et Re = 1000, l’erreur de reconstruction est la plus importante pour le sous-´echantillonnage par paquets (l1,l2) = (10,30) avec des valeurs comprises entre 0.004 et 0.023. Pour le cas α = 30◦ Re= 1000, l’erreur de reconstruction est la plus importante pour le sous-´echantillonnage par paquets (l1,l2) = (10,30) avec des valeurs comprises entre 0.008 et 0.024. Pour les deux cas 1, 2, la RMSE de l’algorithme EM est la plus
faible des 8 cas test´es. Dans les cas 3 et 4, cette RMSE augmente, celle du cas 3 est com-prise entre 10−2 et 10−1 et celle du cas 6 est comprise entre 10−2 et 10−1. Dans chaque cas, les sous-´echantillonnages r´eguliers (l1,l2) = (2,2) et (l1,l2) = (10,10) fournissent une erreur de reconstruction inf´erieure aux sous-´echantillonnages par paquets (l1,l2) = (2,6) et (l1,l2) = (10,30). La RMSE correspondant au cas 1 est comprise entre 10−3 et 10−1 et la RMSE correspondant au cas 2 est comprise entre 10−3 et 10−2. Pour les cas 3, 4 elle conserve cet ordre de grandeur mais avec des valeurs sensiblement plus ´elev´ees. Ce comportement de la RMSE se retrouve ´egalement dans les cas 5,6,7 et 8 o`u la RMSE est davantage concentr´ee dans l’intervalle [10−2, 10−1] pour les sous-´echantillonnages par paquets que pour les sous-´echantillonnages r´eguliers.
La comparaison de l’efficacit´e sur le mod`ele r´eduit POD-Galerkin lin´eaire et quadra-tique sur dix coefficients de projection temporels indique une erreur de reconstruction l´eg`erement inf´erieure dans le cas lin´eaire. Les RMSE sont du mˆeme ordre de grandeur. Cependant, le temps de calcul est nettement inf´erieur dans le cas de l’utilisation du mo-d`ele r´eduit lin´eaire que dans le cas quadratique. Il n’y a pas de diff´erences significatives au niveau de la reconstruction des coefficients de pr´edictions temporels. Dans le cas de l’utilisation du mod`ele POD-Galerkin lin´eaire, aucune divergence ou amortissement de l’amplitude n’est constat´e. La relation de phase n’est cependant plus respect´ee dans le cas du sous-´echantillonnage par paquets (l1,l2) = (10,30).
5.7 Conclusion
L’algorithme EM a ´et´e appliqu´e au mod`ele r´eduit POD-Galerkin lin´eaire sur des coefficients de projection temporels issus d’une POD sous-´echantillonn´ee `a diff´erents taux de vide τvide correspondant au pourcentage d’observations manquantes dans l’intervalle d’assimilation. Le comportement de l’algorithme EM varie selon le sous-´echantillonnage choisi et impacte donc sur la qualit´e de la reconstruction des diff´erents coefficients de pr´ediction temporels. Dans les cas α = 20◦ Re = 1000 et α = 30◦ Re = 1000, les intervalles (l1,l2) = (2,2), (l1,l2) = (10,10) et (l1,l2) = (2,6) permettent d’obtenir des RMSE faibles. Dans ces cas, l’estimateur du maximum de vraisemblance est fiable. Les coefficients de pr´ediction temporels sont reconstruits sans perte de phase et d’amplitude. Le mod`ele r´eduit est stabilis´e et aucune divergence n’est constat´ee au cours de l’intervalle d’assimilation des observations. Cependant, dans le cas o`u (l1,l2) = (10,30), la RMSE augmente par rapport aux autres cas et l’erreur de pr´ediction instantan´ee ´egalement. Cela se caract´erise sur l’´evolution temporelle des coefficients par une perte de la phase et d’amplitude. Dans le cas α = 30◦ Re = 1000, davantage de coefficients sont utilis´es, ce qui permet de mettre en ´evidence une augmentation de l’erreur de pr´ediction entre les coefficients de projection et de pr´ediction temporels en fonction de l’indice des coefficients. Cette augmentation peut ˆetre li´ee `a l’utilisation du filtre de Kalman lin´eaire dans la maximisation de la vraisemblance. Une alternative consisterait `a utiliser une m´ethode de maximum de vraisemblance non lin´eaire avec le filtre EnKF. L’efficacit´e de l’algorithme EM pour la reconstruction de donn´ees manquantes d´epend de la taille des intervalles l1 et l2. Davantage de tests sont `a faire sur la taille de ces intervalles pour caract´eriser au mieux l’efficacit´e de la reconstruction `a l’aide de l’algorithme EM. L’utilisation du mod`ele r´eduit quadratique ne semble pas am´eliorer la pr´ecision de la reconstruction, cependant la comparaison n’a ´et´e r´ealis´ee que sur les 10 premiers coefficients de projection temporels. Il serait n´ecessaire de comparer les deux mod`eles avec un nombre de coefficients plus ´