Mod` eles utilis´ es - Le vibrato : pr´ esentation du probl`eme

Le vibrato : pr´ esentation du probl`eme

11.2 Mod` eles utilis´ es

11.2.1 Mod`ele complet du vibrato sur une note

Nous nous intéressons dans cette section à la modélisation du trajet de la fréquence fondamen-tale f0 quand un vibrato est présent. La fréquence fondamentale f0(t) instantanée à l’instant t s’écrit : f0(t) = f₀^c(t) + p(t) X k=1 Avib(k)(t) cos(φ(k)(t)) + b(t) où : • fc

0(t), est la composante continue, représentant la hauteur du son, la note jouée : il s’agit de ce que nous voulons retrouver après suppression du vibrato sur le trajet de f0 (voir le chapitre 15).

• p(t), est le nombre d’harmoniques du vibrato pris en compte.

• Avib(k)(t), est l’amplitude instantanée de l’harmonique du vibrato de numéro d’ordre k. • φ(k)(t), est la phase instantanée de l’harmonique du vibrato de numéro d’ordre k. Nous avons :

φ(k)(t) = φ(k)(t− ∆t) + 2πk

t−∆t

fvib(t)dt

• ∆t, est la p´eriode d’´echantillonnage du trajet de f0.

• fvib(t), est la fréquence instantanée du premier harmonique du vibrato. • b(t), est un résidu de modélisation.

11.2.2 Mod`ele simplifi´e du vibrato sur une note

Dans cet exposé, nous avons essayé d’extraire seulement la (( fréquence fondamentale )) fvibdu vibrato1. De plus, si nous faisons l’hypothèse que la hauteur du son est stable sur une note, que les paramètres du vibrato (fréquence, amplitude, phase) ne changent pas sur une note, et qu’il n’y a pas de résidu de modélisation, nous avons, pour chaque note :

f0(t) = f₀^c+ Avibcos(2πfvibt + ϕvib)

où ϕvibest la phase à l’origine du vibrato ; et l’évolution de la phase du signal s(t) s’écrit :

φ(t) = 2π Z t 0 f0(t)dt = 2π f₀^ct + ^A^vib

2πfvibsin (2πfvibt + ϕvib)

Alors : s(t) = cos (φ(t))

11.2.3 Mod´elisation de la transition entre deux notes harmoniques

11.2.3.1 Pour la fr´equence

Nous modélisons le saut en fréquence entre deux sinuso¨ıdes de fréquences respectives f₀⁽¹⁾ et f₀⁽²⁾ par : f0(t) = f₀⁽¹⁾+ tanh t − a b + 1 c

où a représente le moment où le saut en fréquence a lieu, b la rapidité à laquelle ce saut se fait, et c l’amplitude du saut. Ainsi, c = ^f

(2) 0 − f0⁽¹⁾

2 ^{. Quand x tend vers} −∞, tanh(x) tend vers −1 ; et quand x tend vers +∞, tanh(x) tend vers +1 : ainsi, f0(t) passe de f₀⁽¹⁾ `a f₀⁽²⁾. La phase s’´ecrit :

φ(t) = 2π t Z 0 f0(t)dt + ϕ1= 2πf₀⁽¹⁾t + 2πct + 2πcb log_e cosh t − a b − loge h cosh−^a_bⁱ+ ϕ1

Pour une somme s(t) de L sinuso¨ıdes harmoniques, la fr´equence fondamentale variant comme indiqu´e ci-dessus, nous avons :

s(t) = L X l=1 Bl(t) cos 2πf₀⁽¹⁾lt + 2πclt + 2πcbl log_e cosh t − a b − loge h cosh−^a_bⁱ+ ϕl

Si, en plus, un vibrato est présent, de fréquence et d’amplitude fixes, nous obtenons : s(t) = L X l=1 Bl(t) cos 2π f₀⁽¹⁾lt + clt + cbl log_e cosh t − a b − loge h cosh−â_bⁱ+ lAvib fvib

sin (2πfvibt + ϕvib) + ϕl

Avec f₀⁽¹⁾ = 440 Hz (la3), f₀⁽²⁾ = 493,89 Hz (si3), a = 1,07 et b = 0,005, nous obtenons le trajet de la fondamentale pr´esent´e sur la figure 11.2.

Les variations d’amplitude (modulation, naissance ou mort d’un partiel) sont mod´elis´ees dans les Bl(t) : voir la section 11.2.3.2.

1. Voir la section 13.5.2, où nous montrons pour un signal sonore réel que les amplitudes des harmoniques du vibrato de numéros d’ordre supérieurs sont très petites, tellement petites que nous pouvons considérer que ces harmoniques du vibrato sont absents.

11.2.3.2 Pour l’amplitude

Nous faisons l’hypothèse que l’amplitude de chaque partiel passe de c1(amplitude au cours de la première note) à c2 (amplitude au cours de la seconde note), en s’approchant de 0 au (( moment )) de la transition. c1 et c2 peuvent être modulés (trémolo). Nous modélisons l’amplitude B(t) de chaque partiel ainsi :

B(t) = 1− tanh t − a1 b1 c1 2 ⁺ 1 + tanh t − a2 b2 c2 2

L’amplitude du partiel passe par son minimum entre a1et a2 (donc a2 est plus grand que a1). b1représente la rapidité de la chute de la première note, et b2la rapidité de l’attaque de la seconde note. Avec a1= 1,065, b1= 0,005, c1 = 0,022 et a2= 1,085, b2= 0,025, c2= 0,04, nous obtenons le trajet de l’amplitude présenté sur la figure 11.3.

1 1.05 1.1 1.15 440 445 450 455 460 465 470 475 480 485 490

Fig. 11.2 – Modèle du trajet de la fréquence d’un partiel lors d’un changement de note. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonnée : la fréquence en Hz 1 1.05 1.1 1.15 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Fig. 11.3 – Mod`ele du trajet de l’amplitude d’un partiel lors d’un changement de note. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonn´ee : l’amplitude

Considérons une portion de l’extrait de flûte flute.sf. Ce signal a été enregistré en salle anécho¨ıque, donc la réverbération est nulle : ainsi, la fin d’une note ne se superpose pas au début de la note qui suit. La portion de signal considérée couvre le premier changement de note : nous passons d’un la3 (fc

0 = 440 Hz) `a un si3 (fc

0 = 493,89 Hz). Elle est donnée sur la figure 11.4. Les figures 11.5 et 11.6 présentent respectivement le trajet en fréquence et le trajet en amplitude de la fondamentale pour cette portion du signal. La fréquence de la fondamentale et son amplitude ont été déterminées à partir du spectre d’amplitude calculé sur des fenêtres d’analyse larges de 6 millisecondes, ce qui représente à peu près 2,6 périodes pour la première note et 2,9 pour la se-conde. Puisque fe= 32000 Hz, chaque fenêtre d’analyse est large de 192 échantillons. L’échantillon fréquentiel p pour lequel nous avons le maximum du spectre d’amplitude entre 0 et 750 Hz est une première estimation de la fréquence fondamentale. La valeur xp du spectre d’amplitude pour l’échantillon fréquentiel p est une première estimation de l’amplitude de la fondamentale. Nous faisons passer un polynôme d’ordre 2 par les échantillons fréquentiels de numéros d’ordre p− 1, p et p + 1. L’endroit où sa dérivée s’annule nous donne une estimation plus précise de la fréquence fondamentale, et la valeur de ce polynôme à cet endroit nous donne une estimation plus précise de l’amplitude de la fondamentale.

11.2.4 Un exemple : influence du vibrato sur les performances du flux

spectral pour un son simul´e

Nous avons simulé un signal, avec ou sans vibrato, formé de 30 partiels harmoniques dont les amplitudes décroissent en ¹

l2, où l est le numéro d’ordre des harmoniques. Deux notes se succèdent. Lors de la transition, la fréquence fondamentale passe de 440 Hz à 480 Hz. Nous présentons les

1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.12 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

Fig. 11.4 – Signal de flûte réel (flute.sf) lors du premier changement de note. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonnée : l’amplitude des échantillons

1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.12 440 450 460 470 480 490 500 510

Fig. 11.5 – Trajet de la fréquence de la fonda-mentale pour le signal de flûte lors du premier changement de note. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonnée : la fréquence en Hz

1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.12 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Fig. 11.6 – Trajet de l’amplitude de la fonda-mentale pour le signal de flˆute lors du premier changement de note. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonn´ee : l’amplitude

résultats pour la fonction d’observation (( flux spectral calculé avec les spectres d’amplitude )) (voir la partie II, sections 2.4.3.1 et 2.4.3.2, page 27) sur les figures 11.7 (trajet de f0) et 11.8 (trajet du (( flux spectral ))) quand aucun vibrato n’est présent, et sur les figures 11.9 (trajet de f0) et 11.10 (trajet du (( flux spectral ))) quand un vibrato est présent. Nous constatons que la présence d’un vibrato rend le (( flux spectral )) inutilisable pour la segmentation en zones stables.

Les paramètres libres pour le (( flux spectral )) ont été fixés à tSIG= 1764 (T = 0,04 seconde) ; Q = 220 (0,005 seconde) ; tF F T = 4096 ; et la fenêtre de pondération utilisée est celle de Black-man. La fréquence du vibrato est fvib= 5 Hz, son amplitude Avib= 30 Hz et sa phase à l’origine ϕvib= 2,4125 rad. Pour le modèle de transition en fréquence utilisé, voir la section 11.2.3.1. Nous avons choisi a = 0,75 et b = 0,05. Le modèle de transition en amplitude décrit dans la section 11.2.3.2 n’a pas été utilisé.

Dans le premier cas (pas de vibrato), la fonction d’observation réagit nettement lors de la transition ; dans le second cas (vibrato présent), la fonction d’observation ne réagit pas de fa¸con significative lors de la transition.

0 0.5 1 1.5 440 445 450 455 460 465 470 475 480

Fig. 11.7 – Trajet de la fréquence fondamen-tale pour un son simulé. Présence d’une tran-sition. Pas de vibrato. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonnée : la fréquence en Hz

0 0.5 1 1.5 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fig. 11.8 – Trajet du (( flux spectral calcul´e avec les spectres d’amplitude )) pour le son si-mul´e (pas de vibrato). En abscisse : le temps en seconde 0 0.5 1 1.5 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510

Fig. 11.9 – Trajet de la fréquence fondamen-tale pour un son simulé. Présence d’une tran-sition. Vibrato présent. En abscisse : le temps en seconde ; en ordonnée : la fréquence en Hz

0 0.5 1 1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Fig. 11.10 – Trajet du (( flux spectral calculé avec les spectres d’amplitude )) pour le son si-mulé (vibrato présent). En abscisse : le temps en seconde

Chapitre 12

M´ethodes de d´etection du vibrato

`

a partir du son

12.1 Pr´eambule

Il est intéressant de détecter le vibrato et d’estimer ses paramètres sans passer par le trajet de f0. Ceci fait l’objet des méthodes proposées dans ce chapitre. La méthode décrite dans la deuxième section (section 12.2) de ce chapitre ne permet pas de détecter le vibrato sans extraire ses paramètres. Il est intéressant de détecter la présence de vibrato, sans passer par le trajet de f0, mais aussi sans estimer les paramètres du vibrato. Ceci fait l’objet de la méthode présentée dans la troisième section (section 12.3) de ce chapitre. La méthode décrite dans la quatrième section (section 12.4) de ce chapitre nécessite d’être adaptée pour être utilisée sur des sons réels. La cinquième section (section 12.5) de ce chapitre constitue une conclusion à ce chapitre.

12.2 Méthode basée sur la modélisation du spectre

com-plexe

12.2.1 Introduction

La méthode consiste à minimiser par les moindres carrés la distance – l’erreur – entre un spectre complexe calculé par transformée de Fourier pour une portion d’un signal sonore et un spectre complexe calculé en utilisant les estimations des paramètres inconnus de ce signal. Il s’agit de déterminer les valeurs des paramètres inconnus du signal telles que cette distance soit minimale. Ces paramètres, pour le modèle que nous utilisons, sont la partie réelle al de l’amplitude complexe de chaque harmonique (dont le numéro d’ordre est l), la partie imaginaire blde l’amplitude complexe de chaque harmonique, l’excursion Aviben Hz du vibrato, la fréquence fvib en Hz du vibrato, la phase à l’origine ϕvib du vibrato et la fréquence fondamentale f0 en Hz.

12.2.2 Influence du vibrato sur le spectre d’amplitude

Nous avons simul´e le signal suivant :

s(t) = 60 X l=1 cos ϕl+ 2π(lf₀^c)t +^lA^vib fvib sin (2πfvibt)

Il s’agit donc de la somme d’harmoniques (de numéro d’ordre l, l variant de 1 à 60 ; de fréquences lfc

0, avec fc

0= 300 Hz ; d’amplitudes 1 et de phases aléatoires uniformément distribuées entre 0 et 2π) pour lesquels un vibrato de fréquence fvib = 5 Hz, de phase à l’origine nulle et d’amplitude lAvib Hz, avec Avib = 15, est présent. Ce signal est échantillonné à fe = 44100 Hz. Il faut remarquer que l’amplitude du vibrato étant lAvib Hz pour l’harmonique de numéro d’ordre l, le signal est à tout moment harmonique.

Dans le document Segmentation et indexation des signaux sonores musicaux (Page 113-118)