Indice de voisement – Deuxi` eme forme, calcul´ e avec le spectre complexe

Les fonctions d’observation

2.4 Fonctions d’observation bas´ ees sur les variations du contenu spectralspectral

2.4.2 Indice de voisement – Deuxi` eme forme, calcul´ e avec le spectre complexe

2.4.2.1 M´ethode Cette fois nous avons :

ˆ S_(m)^{(2N +1)}(k) = s ^S(k)^ˆ Pm+N j=m−N _S(j)ˆ 2 pour k∈ [m − N . . . m + N] et : ˆ W^{(2N +1)}(k) = s ^{W (k)}^ˆ P+N j=−N _{W (j)}ˆ 2 pour k∈ [−N . . . N]

La corr´elation s’´ecrit alors :

C(m) = 2N +1 X j=1 ˆ W^{(2N +1)}(j) ˆP_(m)^{(2N +1)}(j)

Les corrélations avec les lobes secondaires et dans le cas où le signal est un bruit normal sont montrés sur les figures 2.11, 2.12, 2.13 et 2.14. Nous constatons que les corrélations avec les lobes secondaires sont nulles, mais que dès qu’un petit bruit est présent nous obtenons les mêmes résultats qu’avec l’indice de voisement deuxième forme calculé avec les spectres d’amplitude. Nous avons pris les mêmes valeurs pour les paramètres que ci-dessus (section 2.4.1.5). Les paramètres libres sont les mêmes que pour l’indice de voisement deuxième forme calculé avec les spectres d’amplitude (section 2.4.1.6).

La fonction d’observation implémentée sous matlab est la (( valeur absolue de la dérivée de 1− R )), soit :

dV^(C)(i)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig. 2.11 – Corrélations sur un spectre com-plexe entier. En abscisse : la fréquence ; en ordonnée : la corrélation. Une sinuso¨ıde, de fréquence 400 Hz, est présente. Pas de bruit

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig. 2.12 – Corrélations sur un spectre com-plexe entier. En abscisse : la fréquence ; en or-donnée : la corrélation. Seul un bruit normal (m = 0, σ = 1) est présent 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig. 2.13 – Corrélations sur un spectre com-plexe entier. En abscisse : la fréquence ; en ordonnée : la corrélation. Une sinuso¨ıde, de fréquence 400 Hz, et un bruit normal (m = 0, σ = 10−7) sont présents 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig. 2.14 – Corrélations sur un spectre com-plexe entier. En abscisse : la fréquence ; en ordonnée : la corrélation. Une sinuso¨ıde, de fréquence 400 Hz, et un bruit normal (m = 0, σ = 0,5) sont présents

2.4.2.2 Perspectives

Premièrement, plus N est grande, plus les performances sont bonnes, c’est-à-dire plus les corrélations sont proches de 0 quand nous utilisons les spectres complexes et un signal non bruité et corrélons avec des portions de spectre loin de la zone d’influence de la sinuso¨ıde. De la même fa¸con, plus N est grande, plus les corrélations avec le bruit (et les lobes secondaires quand nous utilisons le spectre d’amplitude) sont petites.

Cependant, si une perturbation (c’est-à-dire une modulation d’amplitude ou de fréquence) vient déformer les lobes principaux, plus N est grande, plus la corrélation avec ces lobes principaux est petite.

La premi`ere solution serait de trouver un compromis.

Une autre solution serait d’étudier l’influence de ces perturbations sur les lobes principaux et d’essayer d’améliorer les indices de voisement en conséquence. Quelques travaux ont été faits en ce sens, qui ne sont pas présentés dans cet exposé.

Deuxièmement, cette fonction d’observation nous permet de déterminer dans quelles bandes de fréquences le signal, avec des sons (( simples )) (c’est-à-dire monophoniques, harmoniques et non modulés), est plutôt voisé et dans quelles autres il ne l’est plutôt pas. Nous allons voir que les (( flux spectraux )) (voir ci-dessous la section 2.4.3) peuvent être calculés sur toutes les fréquences ou par bandes de fréquences. Le voisement nous permet de régler automatiquement le paramètre libre (( position de la césure )) pour les (( flux spectraux )).

2.4.2.3 Conclusion

Le comportement de la fonction d’observation est très différent en ce qui concerne les lobes secondaires suivant que nous la calculons avec le spectre d’amplitude ou le spectre complexe : le spectre complexe donne de meilleurs résultats. Cependant, en présence de bruit, même de variance faible, cet apport n’est plus visible. Utiliser l’une ou l’autre de cette version de cette fonction d’observation ne semble donc pas déterminant.

2.4.3 Les (( flux spectraux ))

2.4.3.1 D´efinition(s) du terme (( flux spectral ))

Un flux spectral est la somme échantillon fréquentiel par échantillon fréquentiel de la valeur absolue de la différence entre deux spectres d’amplitude, entre deux enveloppes spectrales, ou entre un spectre d’amplitude et une enveloppe spectrale.

Les spectres d’amplitude sont calculés par fft (voir ci-dessous la section 2.4.3.2) ; les enveloppes spectrales à partir de la modélisation ar (voir dessous la section 2.4.3.3), du cepstre (voir ci-dessous la section 2.4.3.4) ou des maximums locaux du spectre d’amplitude (voir la section 12.3.5, dans la partie III).

2.4.3.2 1oAvec les spectres d’amplitude

Nous calculons le spectre d’amplitude sur une portion pondérée de largeur T du signal (T vaut quelques dizaines de millisecondes : c’est-à-dire que tSIG vaut quelques centaines d’échantillons), puis sur une portion pondérée du signal décalée de quelques millisecondes (c’est-à-dire de Q échantillons) par rapport à la première. Les spectres d’amplitude sont calculés pour tF F T échantillons fréquentiels. Nous appelons le premier spectre d’amplitude

_Sˆ₁

et le second _Sˆ₂

. Nous avons donc _Sˆ₁_(m) et _Sˆ₂_(m) pour m variant de −tF F T 2 ^{+ 1 `a} tF F T 2 ^. Nous normalisons les spectres d’amplitude

_Sˆ₁ et

_Sˆ₂

pour qu’ils aient la mˆeme ´energie comme nous l’indiquons page 13, avec a =−^t^{F F T}₂ + 1 et b = ^t^{F F T}

2 ^{. Nous obtenons} _Sˆnorm 1 et _Sˆnorm 2 .

Il s’agit de calculer : F = tF F T 2 X m=0 _Sˆnorm 1 (m) − _Sˆnorm 2 (m)

Aux moments des transitions, c’est-`a-dire aux changements de notes, la fonction d’observation F , ou (( flux spectral )), croˆıt, puisque le signal n’est plus stationnaire.

2.4.3.3 2oAvec l’enveloppe spectrale bas´ee sur la mod´elisation ar

Introduction L’enveloppe spectrale d’un spectre d’amplitude est une fonction lisse enveloppant ses pics (voir la figure 2.15), correspondant chacun à une sinuso¨ıde. Une petite variation de l’ampli-tude ou de la fréquence (due à un trémolo ou à vibrato, entre autres) de ces sinuso¨ıdes ne modifie pas énormément, d’une portion du signal à la suivante, l’enveloppe spectrale, alors que le spectre d’amplitude lui est très différent. Les effets du vibrato et du trémolo, ainsi que ceux du bruit, sont donc moins importants sur les enveloppes spectrales que sur les spectres d’amplitude. Nous espérons en utilisant les enveloppes spectrales plutôt que les spectres d’amplitude augmenter la robustesse de la fonction d’observation (( flux spectral )).

spectre

enveloppe spectrale

fe/2 0

d’amplitude

Fig. 2.15 – Spectre d’amplitude et enveloppe spectrale lui correspondant

Il existe plusieurs moyens permettant d’obtenir l’enveloppe spectrale d’un spectre d’amplitude. Tout d’abord il y a la modélisation auto-régressive (ar) : voir la section 2.2.6.1. Le choix de l’ordre des modèles pose un problème : il ne doit pas être trop élevé pour ne pas avoir une résonance trop importante pour les sinuso¨ıdes présentes dans le signal. De plus, le temps de calcul devient rapidement très grand quand l’ordre augmente. Cette méthode est celle qui a été implémentée dans le programme segmentation.

Mais nous pouvons aussi considérer le cepstre (voir ci-dessous la section 2.4.3.4), ou, encore, interpoler, linéairement ou d’une autre fa¸con, entre les pics les plus grands (le problème étant de choisir les pics correspondant réellement à des sinuso¨ıdes : voir la section 12.3 de la partie III) d’un spectre d’amplitude obtenu par transformée de Fourier ; etc.

Méthode Ici, nous appelons la densité spectrale de puissance définie dans la section 2.2.6.1, page 18, l’enveloppe spectrale.

Les deux formes de la fonction d’observation Il y a deux versions possibles de cette fonction d’observation :

• Nous calculons la valeur absolue de la dérivée de F1ÂR = tF F T 2 X m=0 _S(m)ˆ −_SÂR(m) , où _Sˆ est le spectre d’amplitude calculé pour une portion du signal large de quelques dizaines de millisecondes et où ˆSAR est l’enveloppe spectrale calculée pour la même portion. m est le numéro d’ordre des échantillons fréquentiels. Dans les zones où le signal est composé de sinuso¨ıdes (signal voisé), la différence F₁ÂR entre le spectre d’amplitude et l’enveloppe spectrale est plus grande que dans les parties où il est transitoire (signal non voisé).

• Cette version ressemble plus au flux spectral décrit ci-dessus (voir la section 2.4.3.2). Il s’agit de calculer FAR 2 = tF F T 2 X m=0 _SÂR 1 (m)− ˆSAR 2 (m) , où ˆSAR 1 et ˆSAR

2 sont deux enveloppes spectrales ar calculées pour deux portions successives du signal, décalées de Q échantillons.

2.4.3.4 3^oAvec l’enveloppe spectrale bas´ee sur le liftrage du cepstre

Cette méthode est similaire à la méthode décrite dans 2o(section 2.4.3.3). Elle diffère simplement par la technique utilisée pour calculer les enveloppes spectrales. Il y a deux versions possibles de la fonction d’observation :

• Nous calculons la dérivée de F1^ceps= tF F T 2 X m=0 _S(m)ˆ − _{M (m)}ˆ , où _Sˆ

est le spectre d’ampli-tude calculé sur une portion du signal large de tSIGéchantillons et où

_Mˆ

est le spectre d’am-plitude reconstruit après liftrage (voir la section 24.2.2.4 de la partie V pour une présentation du cepstre et du liftrage) calculé sur la même portion. m est le numéro d’ordre des échantillons fréquentiels.

• Cette version ressemble plus au flux spectral d´ecrit dans 2.4.3.2. Il s’agit de calculer F2^ceps= tF F T 2 X m=0 _Mˆ₁_(m) − _Mˆ₂_(m) , o`u _Mˆ₁ et _Mˆ₂

sont deux spectres d’amplitude reconstruits après liftrage calculés pour deux portions successives du signal, décalées de Q échantillons.

2.4.3.5 Une fonction d’observation `a plusieurs dimensions

Nous pouvons découper les spectres d’amplitude ou les enveloppes spectrales en plusieurs bandes de fréquence. Alors, nous normalisons en énergie chacune de ces bandes indépendamment des autres. Nous calculons le (( flux spectral )) pour chacune de ces bandes. Nous avons la possibilité :

• De d´ecouper les spectres d’amplitude ou les enveloppes spectrales en B bandes de tailles ´egales.

• De les découper en B bandes de tailles croissant linéairement. Les fréquences centrales des bandes de fréquence peuvent être disposées logarithmiquement, de telle manière que nous suivions une échelle Bark/Mels (voir [ZF81] par exemple).

• De les découper en deux bandes, la position de la césure c étant à entrer en paramètre, ou à déterminer automatiquement, le but étant de déterminer dans quelle bande de fréquences le signal est plutôt stable et dans quelle bande de fréquences il correspond plutôt à du bruit (voir la section 2.4.2.2).

Ceci n’a pas été implémenté dans le programme segmentation. Le nombre de paramètres libres augmenterait d’une unité. Il faudrait ajouter B, le nombre de bandes considérées, ou c la position de la césure : nous n’avons pas essayé au cours de cette thèse de déterminer la position optimale de la césure. Il s’agit de perspectives.

2.4.3.6 Les param`etres libres Ils sont au nombre de 4. Ce sont :

• tSIG: la taille des portions de signal.

• Suivant la méthode considérée pour calculer le (( flux spectral )) : 1ola taille tF F T de la fft

2oet/ou l’ordre P de la mod´elisation ar

3oet/ou tF F T et l’endroit o`u nous coupons le cepstre (voir la section 24.2.2.4, le seuil SC)

• Q : l’écart temporel entre les deux portions successives s’il y a lieu. Pour les méthodes avec les enveloppes spectrales (2ôet 3ô), selon la version du (( flux spectral )) utilisée, il n’y a pas forcément besoin de Q.

• La fenˆetre de pond´eration quand il y a lieu (pour 1oet 3o).

L’ordre des modèles ar est choisi petit, de l’ordre de 6. Q est tel que l’écart temporel entre les deux fenêtres soit de l’ordre de 5 millisecondes.

2.4.3.7 Conclusion

Cette fonction d’observation a été utilisée dans le but de mettre en évidence avant tout les variations du contenu fréquentiel. Plusieurs bandes de fréquence seraient à utiliser pour deux raisons. D’abord, une évolution lente de l’énergie, sans changement de hauteur, agit surtout sur les hautes fréquences : les harmoniques de numéros d’ordre élevés sortent du bruit ou disparaissent dans le bruit. Ensuite, à énergie et à hauteur restant constantes, le bruit, pour les harmoniques de numéros d’ordre élevés, d’amplitudes souvent petites, est important, ce qui rend le flux spectral inutilisable pour ces fréquences : c’est-à-dire que nous obtenons les mêmes valeurs pour le flux spectral dans les zones stables et aux moments des transitions. Cette raison explique que nous ayons considéré les enveloppes spectrales.

Dans le document Segmentation et indexation des signaux sonores musicaux (Page 50-55)