Mod` eles Inverses

a utiliser un algorithme ajustant la taille des ´el´ements de mani`ere `a ce que l’erreur d’interpolation soit distribu´ee de mani`ere homog`ene sur tout le domaine. En parall`ele, une fonction ad hoc est formul´ee de mani`ere `a ce que ses d´eriv´ees spatiales secondes soient tr`es ´elev´ees `a proximit´e de la ligne d’´echouage et diminuent `a mesure qu’on s’´eloigne de celle-ci ; ainsi, l’algorithme, en ajustant la taille des ´el´ements de mani`ere `a induire une erreur d’interpolation homog`ene sur tout le domaine, produira naturellement des ´el´ements de petite taille au voisinage de la ligne d’´echouage qui deviendront de plus en plus gros `a mesure qu’on s’´eloigne de celle-ci. Cette fonction est param´etr´ee de mani`ere `a induire une r´esolution de l’ordre de ∼ 50 m au niveau des diff´erentes sections de ligne d’´echouage `a l’instant de l’inversion. Finalement, le maillage produit selon cette m´ethode est compos´e de 274 678 nœuds couvrant l’int´egralit´e du domaine dont la surface totale est d’environ 4.5 × 105 km2. Ce maillage est repr´esent´e sur la Figure 3.2. Le mˆeme maillage est utilis´e pour les trois inversions que nous pr´esentons dans la section suivante et il sera conserv´e tel quel pour l’ensemble des ´etapes de relaxation et des exp´eriences transitoires qui feront suite `a ces inversions.

6.2.3 Mod`eles Inverses

6.2.3.1 Principe g´en´eral des m´ethodes inverses

La r´esolution d’un probl`eme direct consiste `a trouver les champs solutions - par exemple, les 3 composantes de la vitesse et le champ de pression en full-Stokes ou les 2 composantes horizontales de la vitesse en SSA - satisfaisant aux ´equations et conditions aux limites prescrites. Cette r´esolution pr´esuppose la connaissance de tous les param`etres intervenant au sein du mod`ele. Mais il est des param`etres qu’on ne peut mesurer directement ou dont les mesures sont entach´ees d’erreurs. Nous avons d´ej`a eu l’occasion de citer, dans les chapitres pr´ec´edents, les cas de l’endommagement, des param`etres de frottement ou encore de la topographie du socle. La th´eorie des probl`emes inverses part du principe que les solutions du probl`eme direct peuvent ˆetre connues, au moins partiellement, par l’interm´ediaire d’observations ; d`es lors, il est possible d’en d´eduire la valeur qui doit ˆetre attribu´ee `a certains param`etres mal contraints. Concr`etement, la r´esolution d’un probl`eme

3. La solution est stable

La solution exacte d’un probl`eme inverse peut ne pas exister : on ne parvient pas `a trouver un jeu de param`etres compatible avec les observations disponibles. Cela peut-ˆetre du aux erreurs sur les observations ou au fait que les ´equations du mod`ele d´ecrivent la r´ealit´e de mani`ere imparfaite. D’autre part, la solution peut ne pas ˆetre unique : diff´erents jeux de param`etres sont compatibles avec les observations. Enfin, le probl`eme inverse est souvent instable : de faibles variations sur les donn´ees d’entr´ee peuvent induire de tr`es larges variations sur les donn´ees de sortie. Cette difficult´e peut ˆetre contourn´ee par l’introduction d’op´erateurs de r´egularisation qui imposent la stabilit´e de la solution en l’astreignant `a respecter certaines contraintes (souvent, il s’agit d’imposer une certaine r´egularit´e au champ solution), au prix d’un plus grand ´ecart entre sorties du mod`ele direct et observations.

6.2.3.2 Fonctions coˆuts

Pour les travaux d´ecrits dans ce chapitre, nous construisons deux fonctions coˆuts qui d´ependent des param`etres recherch´es - le coefficient de frottement C<sub>W,l</sub> et la viscosit´e η<sub>0</sub> - et qu’il s’agira de minimiser. La premi`ere de ces fonctions coˆuts porte sur les vitesses de surface et est not´ee J_v tandis que la seconde porte sur la divergence du flux et est not´ee J_div.

La fonction coˆut J_v, mesure l’´ecart entre les vitesses observ´ees en surface du domaine u_obs et les vitesses mod´elis´ees u. Comme nous l’avons pr´ecis´e auparavant et comme on peut le voir sur la Figure 6.3, les vitesses observ´ees sont d´efinies de mani`ere discr`ete sur les nœuds d’une grille r´eguli`ere ayant une r´esolution de 450 m. Par ailleurs, les observations sont manquantes en certaines r´egions du domaine. De fait, les nœuds de la grille d’observation ne co¨ıncident pas, en g´en´eral, avec les nœuds du maillage ´el´ement fini de notre mod`ele direct. Afin d’´eviter d’alt´erer la pr´ecision sur les vitesses observ´ees par des approximations li´ee `a l’interpolation de celles-ci au niveau des nœuds du maillage, nous faisons le choix de calculer l’´ecart entre u et u_obs directement au niveau des points d’observations ; la valeur de la vitesse mod´elis´ee u en ces points d’observation est d´eduite des valeurs nodales par l’interm´ediaire des fonctions de forme selon la m´ethode des ´el´ements finis

(cf Section 3.3.1). La fonction coˆut correspondante s’´ecrit alors : Jv = ¹ 2 Nobs X i=1 (|u_i,obs− u_i|)² (6.2)

o`u N_obs d´esigne le nombre d’observations de vitesse u_i,obs tandis que u_i repr´esente la valeur de la vitesse mod´elis´ee au niveau du point d’observation i.

La fonction J_div permet de p´enaliser les forts ´ecarts entre divergence du flux de glace et bilan de masse de mani`ere `a minimiser les anomalies de divergence de flux qu’induisent les incertitudes sur les conditions initiales du mod`ele (notamment concernant la topographie basale et les valeurs attribu´ees aux param`etres du mod`ele) et `a obtenir des ´etats invers´es les plus proches possibles d’´etats stationnaires. L’id´ee derri`ere ce choix est d’induire les plus faibles variations possibles des diff´erents champs lors de l’exp´erience transitoire non perturb´ee EXP CONTROL (cf Figure 6.2). Notons que si notre objectif avait ´et´e de capturer au mieux l’´etat transitoire r´eel du bassin ´etudi´e, nous aurions pu int´egrer `a cette fonction coˆut des observations de variation d’´epaisseur. A l’inverse de J_v, la fonction coˆut J_div est d´efinie de mani`ere continue sur l’int´egralit´e du domaine. Elle s’´ecrit :

J_div = ¹ 2 Z Γ ∂(uH) ∂x ⁺ ∂(vH) ∂y ^{− (as− ab)} 2 dΓ (6.3)

o`u Γ d´esigne le domaine mod´elis´e.

L’objectif est alors de trouver un couple de distribution coefficient de frottement/viscosit´e qui minimise J_v et J_div. Il existe diff´erentes m´ethodes pour atteindre cet objectif. Pour notre part, nous utilisons la m´ethode adjointe qui fut introduite en glaciologie parMacAyeal(1993) pour un mod`ele SSA.

6.2.3.3 Construction des trois ´etats invers´es par la m´ethode adjointe Changements de variable

En r´ealit´e, nous ne travaillons pas directement avec les deux variables recherch´ees, `a savoir C<sub>W,l</sub> et η<sub>0</sub>, mais proc´edons `a des changements de variable. Le changement de variable sur le coefficient de frottement s’´ecrit :

CW,l= 10^α (6.4)

Ainsi, en cherchant le champ de α qui minimise J_v et J_div, on ´evite les ´eventuelles valeurs n´egatives non physiques du coefficient de frottement C_W,l qu’on aurait pu obtenir en travaillant directement avec celui-ci.

De mˆeme, on proc`ede `a un changement de variable sur la viscosit´e que l’on r´e´ecrit alors :

η₀ = γ²

plus affect´ee (sur la partie pos´ee uniquement) que pour des valeurs de R_γ plus faibles.

R´egularisation et m´ethode adjointe

Comme nous l’avons ´evoqu´e `a la Section 6.2.3.1, l’ajout de termes de r´egularisation s’av`ere n´ecessaire afin d’assurer la stabilit´e des solutions du probl`eme inverse. Dans notre cas, ces fonctions de r´egularisation sont formul´ees de mani`ere `a imposer une certaine r´egularit´e aux champs de α et γ : minimiser ces fonctions de r´egularisation par rapport `a α et γ doit alors revenir `a p´enaliser les brusques variations spatiales de ces champs. La fonction de r´egularisation sur α s’´ecrit donc :

Jreg,α = ¹ 2 Z Γ ∂α ∂x 2 + ∂α ∂y 2 dΓ (6.6)

et, de mani`ere similaire, la fonction de r´egularisation sur γ s’´ecrit :

Jreg,γ = ¹ 2 Z Γ ∂γ ∂x 2 + ∂γ ∂y 2 dΓ (6.7)

A partir des deux fonctions coˆuts et des deux fonctions de r´egularisation, on construit une fonction coˆut totale J_tot(α, γ), qu’il va s’agir de minimiser, et qui s’´ecrit :

J_tot(α, γ) = J_v+ λ_divJ_div+ λ_reg,αJ_reg,α+ λ_reg,γJ_reg,γ (6.8)

o`u λ_div, λ_reg,α et λ_reg,γ sont des coefficients positifs dont le rˆole est de pond´erer les diff´erentes fonctions dont d´epend J_tot; l’id´ee est de choisir un triplet (λ_div, λ_reg,α, λ_reg,γ) permettant un compromis id´eal entre r´egularit´e des champs α et γ, faibles anomalies de divergence du flux et faible ´ecart entre vitesses observ´ees et mod´elis´ees.

La minimisation de la fonction coˆut totale J_totpasse par le calcul des gradients de cette fonction par rapport `a α et γ, ce qui suppose le calcul des gradients de chacun des quatre termes. Les calculs des gradients de J<sub>v</sub> et J<sub>div</sub> par rapport `a α et γ peuvent se faire efficacement en utilisant la m´ethode adjointe qui consiste `a calculer les ´equations adjointes des ´equations de la SSA (3.26). La d´erivation du syst`eme adjoint ainsi que le calcul du gradient de J_v par rapport `a une variable `a optimiser

sont d´ecrits par MacAyeal (1993) et peuvent ˆetre facilement ´etendus `a notre cas ; nous renvoyons le lecteur d´esirant plus de d´etails vers cette r´ef´erence. Les calculs des gradients de J<sub>reg,α</sub> et J<sub>reg,γ</sub> par rapport `a α et γ sont, quant `a eux, triviaux.

Une fois les gradients de J_tot connus, la minimisation `a proprement parler se fait selon une m´ethode de descente du gradient (cette m´ethode a ´et´e d´ecrite, dans un autre contexte, `a la Section 3.3.1). Dans notre cas, la taille du pas et la direction de descente sont adapt´ees `a chaque it´eration selon une m´ethode particuli`ere, dite de quasi-Newton, selon laquelle les d´eriv´ees secondes des fonc-tions coˆuts ne sont pas calcul´ees explicitement mais estim´ees `a partir des it´erations pr´ec´edentes. Cette m´ethode est impl´ement´ee au sein d’Elmer/Ice via l’algorithme M1QN3 d´evelopp´e parGilbert et Lemar´echal(1989).

Dans la suite de cette partie, nous d´ecrivons la proc´edure permettant d’obtenir les valeurs id´eales du triplet (λ_div, λ_reg,α, λ_reg,γ) pour chacun des trois ´etats invers´es que nous souhaitons construire puis nous comparons les qualit´es de ces trois inversions.

Inversion I_SV

Pour ce premier ´etat invers´e, qui sera d´esign´e I_SV, la viscosit´e n’est pas invers´ee mais est fix´ee `a sa valeur de r´ef´erence η_0,ref. La fonction coˆut totale J_tot est alors ind´ependante de γ et se r´e´ecrit :

Jtot,sv(α) = J_v+ λ_divJdiv+ λ_reg,αJreg,α (6.9)

La m´ethode de minimisation de la fonction coˆut ´etant une m´ethode it´erative, il est n´ecessaire de fournir une distribution initiale de α. Une mani`ere de prescrire cette distribution initiale est de consid´erer, en premi`ere approximation, qu’en tout point de l’interface glace/socle la contrainte motrice τ_dest exactement compens´ee par la contrainte de cisaillement basale τ_b (contrˆole local des vitesses basales, cf Section 2.3.2.1) ; la contrainte motrice ´etant reli´ee `a la pente de surface selon la relation τ<sub>d</sub> = ρ<sub>i</sub>gHgrad(z<sub>s</sub>), la contrainte de cisaillement basale ´etant donn´ee par une loi de Weertman lin´eaire et le coefficient de frottement C<sub>W,l</sub> intervenant dans cette loi ´etant fonction de α d’apr`es la relation (6.4), la distribution initiale de α est alors donn´ee par :

αinit= min  log₁₀ ρigH|grad(zs)| |u_obs|  , 1  (6.10)

La m´ethode de la courbe en L permet de faciliter le choix des valeurs `a attribuer `a λ_div et λreg,α (Hansen, 1992; Hansen et O’Leary,1993). Pour cela, nous proc´edons en deux temps : dans un premier temps λ_div est fix´e `a z´ero et nous ´echantillonnons, par hypercube latin, une plage de valeurs de λ<sub>reg,α</sub> judicieusement choisie de mani`ere `a ce que la valeur de J<sub>reg,α</sub> pond´er´ee par λreg,α soit, au maximum, proche de celle de J<sub>v</sub>; une inversion est alors men´ee pour chacune des valeurs de l’´echantillon et nous repr´esentons sur la Figure 6.4a, le point obtenu `a chaque inversion dont l’abscisse est donn´ee par la valeur de J_v et l’ordonn´ee par la valeur de J_reg,α. Par ailleurs,

Figure 6.4 – M´^{ethode de la courbe en L utilis´ee pour l’inversion I}SV afin de d´eterminer les valeurs de λ_reg,α (a) et λ_div (b) permettant d’obtenir un champ de α suffisamment r´egulier et des divergences de flux suffisamment faibles tout en conservant une erreur rms sur les vitesses la plus r´eduite possible. Chaque point sur (a) - respectivement sur (b) - correspond `a une inversion r´ealis´ee avec une valeur de λ<sub>reg,α</sub> - respectivement de λ<sub>div</sub> - fix´ee. Le couple (J<sub>v</sub>, J<sub>reg,α</sub>) - respectivement (J<sub>v</sub>, J<sub>div</sub>) - correspondant `a la valeur de λ_reg,α - respectivement λ_div - retenue selon cette proc´edure est symbolis´e par un losange noir sur (a) - respectivement sur (b).

nous repr´esentons ´egalement, en ´echelle de couleur, l’erreur moyenne au sens des moindres carr´es obtenue en comparant vitesses observ´ees et vitesses mod´elis´ees pour chacune des valeurs de λ_reg,α test´ees (erreur rms_uen m a⁻¹). Si le nombre de valeurs de λ_reg,αtest´ees est suffisant et si ces valeurs couvrent une plage ad´equate, la courbe passant par tous ces points prend g´en´eralement la forme d’un L. L’id´ee est de trouver des valeurs de λ_reg,α pour lesquelles les valeurs J_v et J_reg,α sont minimis´ees simultan´ement ; cette condition est remplie pour les points se situant au niveau de l’angle du L. Dans notre cas, comme la plage des valeurs de J_reg,α obtenues avec les valeurs test´ees de λ_reg,α couvrent plusieurs ordres de grandeur, l’axe des ordonn´ees est repr´esent´e en ´echelle logarithmique sur la Figure 6.4a ; c’est la raison pour laquelle la courbe obtenue ne pr´esente pas la forme parfaite d’un L. La valeur id´eale de λ_reg,αest alors celle correspondant au point au niveau duquel la courbure est maximum ; dans notre cas, ce point est d´etermin´e, de mani`ere approximative, `a l’aide du graphique. Le couple (J_v, J_reg,α) correspondant `a la valeur de λ_reg,αretenue selon cette proc´edure est symbolis´e sur la Figure 6.4a par un losange noir ; ce couple est obtenu pour λ_reg,α= 7.1 × 10⁵.

Une fois la valeur de λ_reg,α fix´ee, nous appliquons exactement la mˆeme proc´edure afin de d´eterminer la valeur appropri´ee pour λ_div (Figure 6.4b). A nouveau, le couple (J_v, J_div)

corres-Figure 6.5 – Adaptation de la m´^{ethode de la courbe en L utilis´ee pour l’inversion I}Rγ,1 afin de d´eterminer les valeurs du couple (λ_reg,α, λ_reg,γ) (a) puis de λ_div (b) permettant d’obtenir des champs de α et γ suffisamment r´eguliers et des divergences de flux suffisamment faibles tout en conservant une erreur rms sur les vitesses la plus r´eduite possible. Chaque triangle noir sur (a) - respectivement chaque point sur (b) - correspond `a une inversion r´ealis´ee avec un couple de valeurs de (λ<sub>reg,α</sub>, λ<sub>reg,γ</sub>) - respectivement une valeur de λ<sub>div</sub> - fix´e(e). Le couple (J<sub>reg,α</sub>,J<sub>reg,γ</sub>) -respectivement (J<sub>v</sub>, J<sub>div</sub>) - correspondant au couple de valeurs de (λ<sub>reg,α</sub>, λ<sub>reg,γ</sub>) - respectivement `

a la valeur de λ_div - retenu(e) selon cette proc´edure est symbolis´e par un losange noir sur (a) -respectivement sur (b).

pondant `a la valeur de λ_div retenue selon cette proc´edure est symbolis´e par un losange noir ; ce couple est obtenu pour λ_div = 5.1 × 10⁻⁵.

Inversion I_Rγ,1

Pour ce second ´etat invers´e, qui sera d´esign´e I_Rγ,1, le champ de α est `a nouveau invers´e `a partir de la distribution initiale donn´ee par l’´equation (6.10). En outre, la viscosit´e est ´egalement invers´ee, via la variable γ et en attribuant `a R<sub>γ</sub> la valeur R<sub>γ</sub> = 1 dans la relation (6.5). L`a encore, il est n´ecessaire de prescrire une distribution initiale pour γ ; cela se fait simplement en imposant γ_init= 1 sur tout le domaine de sorte que, compte tenu de la relation (6.5), la viscosit´e initiale soit ´egale `a la viscosit´e de r´ef´erence η_0,ref.

Pour cette inversion, la fonction coˆut totale J_tot d´epend donc `a la fois de α et de γ et est donn´ee par la relation (6.8). Les valeurs `a affecter au triplet (λ_div, λ_reg,α, λ_reg,γ) sont d´etermin´ees en suivant une proc´edure similaire `a celle d´ecrite pour la construction de l’´etat I_SV. Dans un premier temps, on impose λ_div = 0 et on r´ealise une s´erie de simulations pour diff´erents couples (λ_reg,α, λ_reg,γ) obtenus

λ_div = 1.8 × 10⁻⁵.

Inversion I_Rγ,100

Un troisi`eme et dernier ´etat invers´e, d´esign´e I<sub>Rγ,100</sub>, est construit en suivant la mˆeme proc´edure que pour l’´etat I<sub>Rγ,1</sub> mis `a part que la valeur de R_γ est fix´ee `a R<sub>γ</sub>= 100 dans la relation (6.5). Ce choix permet de faire porter un poids relatif plus important sur α (sur la partie pos´ee uniquement) par rapport `a l’´etat I_Rγ,1. Par ailleurs, on impose γ_init = 10 de sorte que la viscosit´e initiale soit ´egale `a la viscosit´e de r´ef´erence η_0,ref.

De nouveau, la fonction coˆut totale J_tot d´epend `a la fois de α et de γ et est donn´ee par la relation (6.8). Les valeurs `a affecter au triplet (λ_div, λ_reg,α, λ_reg,γ) sont d´etermin´ees en suivant exactement la mˆeme proc´edure que celle d´ecrite pour l’´etat I_Rγ,1; les valeurs ainsi obtenues sont λdiv = 5.9 × 10⁻⁵, λ_reg,α = 2.5 × 10⁶ et λ_reg,γ = 1.4 × 10⁶.