Equation d’advection et crit` ere d’endommagement

a cela, nous construisons des cas d’´etude simplifi´es afin d’´evaluer l’efficacit´e des diverses m´ethodes de stabilisation en fonction des r´esolutions temporelle et spatiale adopt´ees. Enfin, nous appliquons notre mod`ele d’endommagement dans sa version SSA `a une calotte synth´etique 2D le long d’une ligne d’´ecoulement et constatons une importante sensibilit´e de la dynamique de la ligne d’´echouage `

a la m´ethode de stabilisation employ´ee.

4.1 Loi d’´evolution de l’endommagement

Nous pr´esentons ici l’´equation d’advection et le crit`ere d’endommagement qui, combin´es, r´egissent la cr´eation et le transport de l’endommagement. Nous expliquons ensuite comment la pr´esence de crevasses basales favorise la cr´eation d’endommagement suppl´ementaire. Enfin nous mettons en ´

evidence les l´egers ajustements n´ecessaires pour impl´ementer cette loi au sein d’Elmer/Ice dans le cadre de la SSA.

4.1.1 Equation d’advection et crit`ere d’endommagement

Au cours de la Section 2.2.2, nous avons ´evoqu´e la n´ecessit´e d’associer `a la variable d’endom-magement D une loi d’´evolution afin de mod´eliser sa cr´eation et son transport avec l’´ecoulement de la glace. Rappelons que des ph´enom`enes de cicatrisation conduisant `a une dissipation locale de l’endommagement ont ´et´e mis en ´evidence, principalement au niveau de plateformes glaciaires dont les fractures se comblent de glace de mer qui restaure l’int´egrit´e des propri´et´es m´ecaniques de la glace (Khazendar et Jenkins, 2003; Glasser et al., 2009; Holland et al., 2009, par exemple). Par ailleurs, plusieurs auteurs ont tent´e d’incorporer `a leur mod`ele d’endommagement un m´ecanisme de cicatrisation simplifi´e vou´e `a repr´esenter la fermeture des fractures sous l’effet de la pression cryostatique (Pralong et al.,2003;Pralong et Funk,2005;Albrecht et Levermann,2012,2014, par exemple). N´eanmoins, du fait de la complexit´e et de la mauvaise compr´ehension de ces diff´erents ph´enom`enes, les processus de cicatrisation sont omis de la plupart des mod`eles d’endommagement actuels et notamment du nˆotre.

f (χ) = Bχ (4.3)

o`u χ est appel´e crit`ere d’endommagement et permet de r´epondre `a la premi`ere exigence tandis que B est un param`etre d’amplification positif, mentionn´e `a la Section 2.2.2.3 et destin´e `a satisfaire la seconde exigence.

Le choix du crit`ere d’endommagement est une ´etape critique dans la construction du mod`ele et, l`a encore, il n’existe pas de r´eel consensus quant `a sa formulation. En fait, les glaciologues ´etendent `

a l’endommagement de la glace une vari´et´e de crit`eres g´en´eralement d´evelopp´es pour d’autres applications. Dans tous les cas, il s’agit de caract´eriser l’´etat de contrainte du domaine `a partir d’une contrainte ´equivalente, calcul´ee diff´eremment selon le crit`ere retenu, qui sera compar´ee `a une contrainte seuil sp´ecifique au domaine ´etudi´e et au del`a de laquelle celui-ci s’endommage. Parmi les crit`eres utilis´es en glaciologie, nous citerons les crit`eres de Tresca (Albrecht et Levermann,2014, par exemple), de Coulomb (Vaughan, 1993, par exemple), de von Mises (Vaughan,1993; Albrecht et Levermann,2012,2014, par exemple) et de Hayhurst (Pralong et Funk,2005;Duddu et Waisman,

2012,2013, par exemple).

Le mod`ele d’endommagement impl´ement´e au sein d’Elmer/Ice par Krug (2014) repose sur un crit`ere simple selon lequel l’endommagement survient lorsque la contrainte principale maximale de Cauchy σ_I est sup´erieure `a une valeur seuil σ<sub>th</sub>. Ce crit`ere s’appuie notamment sur les travaux de

Rist et al. (1999) qui ont montr´e, en combinant th´eorie et exp´eriences, que les crevasses tendent `

a s’ouvrir dans un plan normal `a la direction de la contrainte extensive maximale. La formulation math´ematique de ce crit`ere est la suivante :

χ = max  0, σI 1 − D− σ_th  (4.4)

L’enveloppe d’endommagement correspondant au crit`ere (4.4) est repr´esent´ee dans l’espace des contraintes principales sur la Figure 4.1 : il apparaˆıt clairement que le crit`ere retenu n’est pas ferm´e et suppose donc une r´esistance infinie de la glace en compression pure, ce qui est sans doute peu r´ealiste. N´eanmoins, cette limitation ne semble pas critique dans le cadre de la mod´elisation des ´ecoulements glaciaires compte-tenu des travaux deRist et al. (1999) ´evoqu´es ci-dessus.

Figure 4.1 – Enveloppe d’endommagement dans l’espace des contraintes principales. σI et σ_II repr´esentent, respectivement, la premi`ere et la seconde contrainte principale de Cauchy tandis que σth repr´esente la contrainte seuil. La surface gris´ee correspond aux ´etats de contrainte associ´es `a une formation locale d’endommagement. Figure issue de Krug et al. (2014).

Aussitˆot que χ est sup´erieur `a z´ero la glace s’endommage, ce qui induit un relˆachement local des contraintes (diminution de σ<sub>I</sub> et stagnation de la contrainte effective σ<sub>I</sub>/(1 − D)). Ce m´ecanisme se d´eroulant en continu, l’extr´emit´e du vecteur contrainte, pris au point consid´er´e selon la direction principale associ´ee `a σ_I, reste th´eoriquement confin´ee au sein de la zone d´elimit´ee par l’enveloppe d’endommagement (la zone blanche sur la Figure 4.1). Cependant, comme les mod`eles num´eriques discr´etisent le temps via l’usage de pas de temps, il se peut que ce vecteur contrainte atteigne momentan´ement la ”zone endommag´ee” (zone gris´ee sur la Figure 4.1). Il faut alors cr´eer un ni-veau d’endommagement suffisant pour faire en sorte que l’extr´emit´e de ce vecteur soit ramen´ee exactement sur l’enveloppe d’endommagement (en vert sur la Figure 4.1). C’est cet objectif qui doit motiver le choix de la valeur locale pour le param`etre d’amplification B. N´eanmoins, l’´etat de contrainte variant spatialement et temporellement, cette valeur est compliqu´ee `a fixer et est le plus souvent ajust´ee de mani`ere empirique (Krug et al., 2014; Albrecht et Levermann, 2014, par exemple).

Compte-tenu de ce qui pr´ec`ede, le choix de la valeur du param`etre B est indissociable de celui de la contrainte seuil σ_th. Dans notre cas, σ_th quantifie la r´esistance de la glace `a la forma-tion d’endommagement sous contrainte extensive uniquement. D’autres crit`eres d’endommagement sont susceptibles de faire intervenir d’autres types de contraintes, aussi la valeur de σ_th doit-elle ˆ

etre adapt´ee au crit`ere d’endommagement retenu. Par exemple, en consid´erant l’´etat de contrainte de la plateforme flottante du Larsen C (p´eninsule Antarctique), Albrecht et Levermann (2014)

entre 90 et 320 kPa. En pratique, il est judicieux d’introduire un bruit al´eatoire δσ_th sur la valeur de σ_th afin de tenir compte de son h´et´erog´en´eit´e. On a alors :

σ_th= σ_th± δσ_th (4.5)

o`u σ<sub>th</sub> est la contrainte seuil moyenne. Krug et al.(2014) sugg`erent l’utilisation d’une loi normale pour la distribution de δσ_th/σth avec un ´ecart-type de 0.05 et en imposant la condition σ_th > 0.