Mod` ele substitut

Un mod`<sub>ele substitut (« surrogate » en anglais) est un mod`ele simplifi´e permettant d’´eva-</sub> luer rapidement une fonction. Ces mod`eles sont tr`es populaires en ing´enierie. Ils servent `a remplacer des m´ethodes d’analyses longues et coˆuteuses telle que la m´ethode des ´el´ements finis en m´ecanique. Les mod`eles substituts permettent d’estimer de fa¸con quasi-instantan´ee la solution d’un probl`eme qui pourrait n´ecessiter plusieurs minutes voir plusieurs heures avec d’autres m´ethodes.

5.2.2 Types de mod`eles substituts Moindres carr´es

La m´ethode des moindres carr´es est utilis´ee afin de g´en´erer une surface de r´eponse `a partir d’´equations polynomiales d’ordre pr´ed´efinie. Elles sont souvent utilis´ees pour des pro- bl`emes o`u le nombre de points est sup´erieur au nombre de coefficients inconnus des ´equations polynomiales utilis´ees. La r´esolution de ces probl`emes surd´etermin´es r´esulte en une surface de r´eponse lisse mais inexacte aux points d’analyse (Yeten et al., 2005). Cette m´ethode est principalement conseill´ee si le comportement du processus n’est pas trop irr´egulier (Clement, 2011).

Surface de r´eponses

La m´ethode des surfaces de r´eponses est fond´ee sur l’utilisation d’´equations polynominales. En g´en´eral, des ´equations d’ordre quadratiques sont utilis´ees, ce qui les rends mal adapt´ees aux probl`emes fortement non lin´eaires. Des ´equations d’ordre plus ´elev´es peuvent aussi ˆetre utilis´ees mais le nombre de points d’exp´eriences requis afin d’´evaluer tous les param`etres des ´

equations polynominales augmente tr`es rapidement (Simpson et al., 2001). Cette m´ethode est souvent utilis´ee avec d’autres m´ethodologies visant `a minimiser la zone d’int´erˆet et ainsi r´eduire l’ordre des ´equations polynomiales utilis´ees.

Krigeage

Le krigeage est une m´ethode d’interpolation utilis´ee afin de pr´edire les valeurs inconnues d’une fonction ou d’un processus al´eatoire (Kleijnen et van Beers, 2004). Cette m´ethode est

efficace lorsque le comportement du processus est hautement non lin´eaire (Clement, 2011). Cette m´ethode a l’avantage d’ˆetre exacte aux points d’exp´eriences mais performent tr`es mal `

a l’ext´erieur de leur zone de d´efinition (extrapolation) (Kleijnen et van Beers, 2004). R´eseaux de neurones artificiels

Les r´eseaux de neurones artificiels sont des processus statistiques dont la structure est inspir´es des neurones biologiques (Hopfield, 1982). Leur fonctionnement est fond´e sur des liaisons utilisant des poids entre les diff´erentes neurones. Ils sont principalement utiles lorsque le nombre de points est tr`es ´elev´e et que le krigeage devient difficilement applicable (Clement, 2011; Yeten et al., 2005). Comme pour la m´ethode des moindres carr´es, la r´eponse est inexacte aux points d’analyse.

Choix du mod`ele substitut utilis´e

La m´ethode utilis´ee dans le cadre de ces travaux est le krigeage. Puisque le probl`eme ´

etudi´e sera analys´e `a l’aide des ´el´ements finis, le nombre de points du plan d’exp´eriences devra rester relativement faible. L’utilisation d’un r´eseau de neurones ne semble donc pas ad´equat. Selon la revue de litt´erature du Chapitre 2, il est `a pr´evoir que le probl`eme des joints hybrides est non lin´eaire et requiert l’analyse de plusieurs param`etres, soit entre 8 et 10. Pour ce type de probl`eme, Simpson et al. (2001) indique que le krigeage performe mieux que les m´ethodes polynomiales et de surface de r´eponses.

5.2.3 Mod`ele de krigeage

Le mod`ele de krigeage est obtenue `a l’aide du DACE toolbox de Matlab. Les sections qui suivent pr´esenteront les ´equations utilis´ees afin de g´en´erer le mod`ele de krigeage. Lors d’op´e- rations n´ecessitant plusieurs ´evaluations du mod`ele de krigeage, certaines fonctions Matlab ont ´et´e modifi´ees afin d’optimiser le temps de calcul.

Facteurs et r´eponses

Pour commencer, le mod`ele de krigeage est g´en´er´e en utilisant des donn´ees normalis´ees. La matrice contenant les points d’exp´eriences S(s1, s2, ..., sn)T de dimension [n x k] et les

vecteurs de r´eponses Y [n x q] doivent respecter les condition suivantes :

µ[S[1:n],j] = 0 V [S[1:n],j, S[1:n],j] = 1 j = 1, . . . , k

µ[Y ] = 0 V [Y[1:n],j, Y[1:n],j] = 1 j = 1, . . . , q

O`u µ est la moyenne, V la covariance, n le nombre de points du plan d’exp´eriences, k le nombre de facteurs et q le nombre de r´eponses. Dans le DACE Toolbox, les op´erations n´ecessaires afin de normaliser ces matrices sont effectu´ees `a l’int´erieur des fonctions Matlab d´ej`a programm´ees (Lophaven et al., 2002).

R´eponses estim´ees

Les r´eponses sont approxim´ees par une fonction d’approximation de la forme (Sacks et al., 1989) : ˆ y`(x) = p X j=1 βjfj(x) + Z(x) (5.6)

Cette ´equation est fond´ee sur une combinaison lin´eaire de p = k+1 fonctions f(x). Les coefficients βj sont les coefficients du mod`ele de r´egression. Comme Biron et al. (2012), les

fonctions f(x) utilis´ees pour ces travaux sont lin´eaires, donc :

f1(x) = 1 f2(x) = x1, . . . , fk+1(x) = xk (5.7)

La fonction Z(x) est une fonction de covariance g´en´eralis´ee. Sa moyenne est nulle et elle doit respecter la condition suivante :

E[z`(w)z`(x)] = σ`2R(θ, w, x) ` = 1, . . . , q (5.8)

O`u R est un mod`ele de corr´elation utilisant le param`etre θ entre les points w et x. En utilisant une matrice de corr´elation de Gauss, cette matrice est d´efinie par les termes :

Rij = R(θ, si, sj), i, j = 1, . . . , n R(θ, w, x) = n Y j=1 Rj(θ, wj − xj) Rj(θ, wj − xj) = eθj(wj−xj) 2 (5.9)

D´efinition de la fonction de krigeage

La premi`ere ´etape de cr´eation de la fonction de krigeage est de d´efinir la matrice de design ´

etendue F [n x p] d´efinie `a partir des points si de la matrice du plan d’exp´eriences et des

fonctions f(x) d´efinis `a l’´equation 5.7 tel que :

F = [f (s1), f (s2), ..., f (sn)]T

Fij = fj(si)

(5.10)

De plus, la fonction de krigeage emploie aussi un vecteur de corr´elation entre les points du plan d’exp´eriences et les points non-test´es d´efinis `a l’aide de l’´equation 5.9 tel que :

r = [R(θ, s1, x), ..., R(θ, sn, x)]T (5.11)

Finalement, selon Sacks et al. (1989) et Lophaven et al. (2002), la fonction de krigeage s’´ecrit : ˆ y(x) = rTR−1Y − (FTR−1r − f )Tβ∗ = fTβ∗+ rTR−1(Y − F β∗) = f (x)Tβ∗+ r(x)Tγ∗ (5.12) O`u β∗ = (FTR−1F )−1FTR−1Y γ∗ = R−1(Y − F β∗) (5.13)

Application num´erique du krigeage

Afin d’´eviter d’inverser la matrice R lors du calcul des param`etres β∗ et γ∗, Lophaven et al. (2002) propose d’utiliser une d´ecomposition de Cholesky pour R et une d´ecomposition QR de ˜F , not´e QG ici puisque R est d´ej`a utilis´e, tel que :

R = CCT (5.14)

˜

O`u C ˜F = F C ˜Y = Y ˜ F β = ˜Y (5.16)

En substituant les ´equations 5.14, 5.15 et 5.16 dans la d´efinitions des param`etres β∗ et γ∗ de l’´equation 5.13, il est possible r´eduire la d´efinition de ces param`etres `a :

β∗ = G−1(QTY )˜

γ∗ = ( ˜Y − ˜F β∗)(CT)−1

(5.17)