G´ en´ eralit´ e sur les plans d’exp´ eriences statistiques

Les plans d’exp´eriences sont des m´ethodes statistiques permettant d’analyser des pro- c´ed´es, des syst`emes, etc. Ils sont souvent utilis´es afin de d´eterminer l’influence de certains param`etres d’entr´ee sur les param`etres de sortie d’un syst`eme avec un minimum de points d’exp´eriences. En laboratoire, les plans d’exp´eriences factoriels 2k_{, fractionnaires 2}k−p _et

central-composites sont tr`es utilis´es. Par contre, ces m´ethodes n´ecessitent beaucoup de points d’exp´eriences lorsque le nombre de param`etres (k) augmente et ne sont pas tr`es bien adapt´es aux probl`emes fortement non lin´eaires.

Lorsque le probl`eme est de type d´eterministe et fortement non lin´eaire, les plans d’exp´e- riences hypercube latin (LHD) sont mieux adapt´es (Clement, 2011). Ces plans ont l’avantage de bien couvrir l’espace de conception contrairement aux plans d’exp´eriences classiques qui ex- ploitent principalement les extr´emit´es des espaces de conception. De plus, lorsque le nombre de param`etres augmente, les plans LHD n´ecessitent moins de points d’exp´eriences que les plans fractionnaires ou central-composite (Biron et al., 2012).

5.1.1 Introduction aux plans Hypercubes latins

Les plans d’exp´eriences LHD sont con¸cus en divisant l’espace exp´erimental en n inter- valles. Le plan d’exp´eriences est ensuite construit afin que chacun des ces intervalles ne soit utilis´es qu’une seule fois par param`etre. En autre mots, chaque param`etre du plan d’exp´e- riences ne peut prendre les valeurs adimensionnelles [1, 2, 3, ..., n] qu’une seule fois chacune. Le plan d’exp´eriences est donc une matrice [n x k] o`u chaque colonne est une permutation al´eatoire du vecteur [1, 2, 3, ..., n]T (Ye et al., 2000).

G´en´erer un plan d’exp´eriences LHD comporte quelques d´efis. Un des objectifs principal est de couvrir le plus uniform´ement possible l’espace de conception afin d’´eviter que des zones de l’espace de conception ne soient pas explor´ees. La Figure 5.1 montre deux plans d’exp´e- riences `a deux param`etres avec 16 points. Le plan d’exp´eriences pr´esent´e `a gauche comporte deux lacunes. La premi`ere est que les deux param`etres sont parfaitement corr´el´es, autrement dit, les valeurs du param`etre 2 sont proportionnelles aux valeurs du param`etre 1. Ceci fait en sorte qu’il est impossible de diff´erencier les effets et interactions des deux param`etres lors de l’analyse des r´esultats (Joseph et Hung, 2008). Le deuxi`eme probl`eme est qu’il y a des zones importantes de l’espace de conception qui ne sont pas couvertes par le plan d’exp´eriences. Le plan de droite sur la Figure 5.1 est de bien meilleure qualit´e puisque les points sont mieux distribu´es sur l’ensemble de l’espace exp´erimental.

Figure 5.1 Exemples de plans d’exp´eriences LHD avec 2 param`etres et 16 points (Viana et al., 2010)

5.1.2 Mesure de la qualit´e d’un plan LHD

Il existe plusieurs crit`eres afin de mesurer la qualit´e d’un plan d’exp´eriences LHD. La m´ethode utilis´ee dans les travaux de ce m´emoire est celle de Joseph et Hung (2008), qui s’attardent principalement `a la corr´elation entre les param`etres ainsi qu’`a la distance entre chaque points du plan d’exp´eriences.

Mesure de la corr´elation

Tel que mentionn´e `a la section pr´ec´edente, la corr´elation entre les param`etres est une mesure importante de la qualit´e d’un plan d’exp´eriences. Un plan dont ses colonnes sont grandement corr´el´ees ne permet pas de diff´erencier les effets des diff´erents param`etres. C’est pourquoi un crit`ere de mesure de la corr´elation a ´et´e d´evelopp´e par Owen (1994) :

ρ2 = Pk i=2 Pi−1 j=1ρij k(k − 1)/2 (5.1)

O`u ρij est le coefficient de corr´elation entre les colonnes i et j de la matrice du plan d’ex-

Mesure de la distance

Des m´ethodes d’optimisations sont souvent utilis´ees afin de g´en´erer un plan d’exp´eriences LHD. Les plans obtenus `a partir d’une maximisation de la distance minimale entre chacun des points du plan d’exp´eriences sont appel´ees : plans hypercubes latins optimaux (OLHD). La mesure de la distance entre chacun des points est calcul´ee par :

φp =    (n 2) X i=1 1 dp_i    1 p (5.2)

O`u p est un entier positif et di est calcul´e `a partir de la distance rectangulaire entre deux

points not´es s et t : di(s, t) = k X j=1 |sj − tj| (5.3)

Crit`ere mixte de la qualit´e du plan d’exp´eriences OLHD

Afin de tenir compte de ces deux crit`eres d’optimisation, Joseph et Hung (2008) proposent un crit`ere mixte fond´e sur une sommation ponctu´ee des deux crit`eres pr´ec´edents tel que :

ψp = ωρ2+ (1 − ω) ∗

φp− φp,L

φp,U − φp,L

(5.4) O`u φp,L et φp,U sont des facteurs calcul´es en fonction de la distance moyenne th´eorique

et de la r´epartition des distances entre les points. Le param`etre ω est un facteur de poids entre les deux param`etres. La valeur ω = 0.5 sera utilis´ee dans le cadre de ces travaux. Cette valeur est celle utilis´ee par les auteurs afin de valider leur algorithme. Puisque les deux crit`eres sont normalis´es dans la somme du crit`ere mixte ψp, un facteur de poids de ω = 0.5

donne sensiblement la mˆeme importance entre le crit`ere de corr´elation et le crit`ere de distance.

5.1.3 Cr´eation d’un plan d’exp´eriences OLHD

La cr´eation d’un plan d’exp´eriences OLHD n´ecessite l’utilisation d’un proc´ed´e d’optimi- sation. Plusieurs algorithmes existent permettant de g´en´erer ces plans. Lors des ces travaux, deux m´ethodes ont ´et´e compar´ees, soit l’algorithme de Joseph et Hung (2008) et l’algorithme offert dans la suite Altair Hyperworks V10.1. Une description de ces deux algorithmes ainsi que la comparaison de leur performance sont pr´esent´ees `a l’Annexe B. Au final, tous les plans d’exp´eriences utilis´es dans ces travaux ont ´et´e obtenus `a partir de l’algorithme offert dans la

suite Altair Hyperworks V10.1 puisque cet algorithme a ´et´e jug´e plus performant.

5.2 Mod`ele substitut