Mod` ele num´ erique

σ2_t = t2σ2+ 1 − t2 (5.26)

δt = t2δ

σ2

σ_t2 (5.27)

– Ensuite vient l’adaptation spatio-temporelle des deux modes devant interf´erer. Nous pou- vons la mod´eliser par un coefficient de recouvrement (ou mode-matching) . L’´equation 3.30 nous donnant le « photon unique » dans le mode d´etect´e par la d´etection homodyne et l’APD, c’est l’´etat coh´erent que nous d´ecomposons en un mode ˆa

 interf´erant avec le

photon unique et un mode orthogonal ˆa⊥ :

ˆ aα= √ ˆa + √ 1 − ˆa⊥ (5.28)

Tout comme ceux que nous avons vu pr´ec´edemment, notamment pour la mod´elisation de l’efficacit´e homodyne, ce recouvrement pourra ˆetre estim´e `a l’aide du contraste des interf´erences. Cela n´ecessite cependant de ne pas att´enuer le faisceau et donc de faire l’hypoth`ese qu’une fois les att´enuateurs mis en place le mode-matching reste identique. – Les derni`eres imperfections viennent des syst`emes de d´etection, `a commencer par la trans-

mission µ de la voie APD. Son effet consiste essentiellement `a r´eduire le taux de succ`es, comme nous le verrons par la suite.

– Nous l’avons d´ej`a vu, l’imperfections de l’APD qui modifie le plus l’´etat en sortie est la puret´e modale ξ0. Seulement, dans le cas qui nous int´eresse, le recouvrement  peut ´egalement ˆetre vu comme une source de coups parasites : la d´etection d’un photon dans le mode ˆa⊥est en effet compl`etement d´ecorr´el´ee de la sortie de l’amplificateur, et a la mˆeme

incidence qu’un coup parasite. La contribution du recouvrement peut ˆetre mod´elis´ee de la mˆeme fa¸con, et nous d´efinirons une puret´e modale effective ξeff prenant en compte

toutes les sources de coups parasites. L’´etat obtenu lors d’un mauvais conditionnement est l’´etat non-conditionn´e ; dans le cas pr´esent il s’agit du photon unique avec des pertes correspondant `a la r´eflexion de la premi`ere lame semi-r´efl´echissante.

– Enfin la derni`ere imperfection `a prendre en compte est l’efficacit´e homodyne η d´ej`a men- tionn´ee dans les chapitres pr´ec´edents.

5.2.2.2 Mod`ele num´erique `

A partir de ces consid´erations nous pouvons, dans un premier temps, r´ealiser un mod`ele num´erique de l’exp´erience. Ce mod`ele nous a permis d’avoir une premi`ere id´ee de ce que nous allions obtenir, ainsi que les valeurs n´ecessaires et/ou suffisantes des param`etres quantifiant les diverses imperfections afin d’obtenir un r´esultat convenable. Il nous a de plus servi `a faire les premi`eres analyses des r´esultats [147].

Deux mod`eles num´eriques ont en r´ealit´e ´et´e utilis´es pour cette exp´erience. Le premier repose sur un certain nombre de calculs en base de Fock effectu´es par R´emi Blandino et Simon Fossier et donnant les formules et algorithmes `a appliquer pour obtenir la matrice densit´e de l’´etat amplifi´e. C’est ce mod`ele qui a permis de pr´edire les r´esultats attendus et de d´efinir quelles optimisations du dispositif exp´erimental ´etaient n´ecessaires. Son cˆot´e « hybride » compos´e `a la fois de calculs num´eriques et de formules issues de calculs analytiques donne un tr`es bon compromis entre le temps mis pour d´evelopper le mod`ele et le temps pris par son utilisation, sp´ecialement lors du travail pr´eparatoire d’une exp´erience n´ecessitant d’identifier l’impact des diff´erentes imperfections. Il a en outre permis de poser les jalons pour les autres mod`eles.

1. Lors d’un calcul en base de Fock, la premi`ere chose `a faire consiste `a d´efinir la taille de l’espace de Hilbert, c’est-`a-dire le nombre maximal de photons que l’on va consid´erer. Dans le cas pr´esent la limite est fix´ee `a 2.

2. Nous partons d’une part de la matrice densit´e du « photon unique imparfait », qui est en r´ealit´e un m´elange de vide, d’´etat `a un photon et d’´etat `a deux photons (puisque l’on s’arrˆete `a ce nombre de photons). Puis nous effectuons le m´elange avec le vide sur la lame semi-r´efl´echissante asym´etrique.

3. D’autre part nous avons un ´etat coh´erent, tronqu´e lui aussi `a 2 photons, que nous allons ´egalement m´elanger sur une lame semi-r´efl´echissante asym´etrique avec le vide afin de mod´eliser le mode-matching.

4. Nous effectuons ensuite le m´elange sur la s´eparatrice 50/50 ; puis enfin la d´etection, consistant `a mesurer au moins un photon dans les modes incidents sur une APD, en prenant en compte la transmission imparfaite du canal.

Nous obtenons alors la matrice densit´e de l’´etat produit, et il ne reste plus qu’`a prendre en compte les pertes homodynes pour obtenir l’´etat mesur´e. Concernant les mauvais clics du conditionnement, on ne consid`ere dans ce mod`ele que la partie due au mauvais mode-matching.

t

r

50/50

ε

μ

η

μ

jα_i

j1_i

j0_i

Figure 5.7: Mod´elisation de l’amplificateur sans bruit

Le deuxi`eme mod`ele num´erique utilis´e est cette fois enti`erement num´erique : il consiste simplement `a effectuer le processus d´ecrit pr´ec´edemment `a l’aide d’outils num´eriques [148] sans effectuer de calculs pr´ealables. Le temps n´ecessaire au mod`ele pour donner un r´esultat est par cons´equent plus long, par contre sa complexification, par exemple en augmentant la taille de l’espace de Hilbert, ne demande g´en´eralement que de modifier quelques lignes de code. Ce mod`ele a ´et´e utilis´e pour analyser les donn´ees exp´erimentales en les comparant au r´esultat du mod`ele. Un tel mod`ele est en effet id´eal dans ce cas dans la mesure o`u nous pouvons d´eterminer de mani`ere ind´ependante les valeurs des imperfections (cf. chapitre 3) ; le principal degr´e de libert´e sur le mod`ele est alors la complexit´e du calcul, et nous avons d’ailleurs augment´e la taille de l’espace de Hilbert jusqu’`a 5 photons.