Mod`ele de densit´e d’´etats dans la boˆıte

Cette expression g´en´eralise l’utilisation des ´equations 3.13 et 3.14, fournissant les valeurs des r´esistance et capacit´e quantiques, aux domaines RqCqω ≈ 1 et RqCqω >> 1.

Je vais maintenant d´ecrire un mod`ele simple de diffusion ´electronique adapt´e `a notre situation exp´erimentale. Ceci permettra de calculer explicitement la d´ependance de la den- sit´e d’´etats (et donc de la r´esistance et de la capacit´e) avec les param`etres exp´erimentaux (temp´erature, tensions de grille).

3.2.2 Mod`ele de densit´e d’´etats dans la boˆıte

Nous supposerons, comme pr´ec´edemment, que le conducteur est unidimensionnel et consti- tu´e d’un seul mode non d´eg´en´er´e. Ce mod`ele est particuli`erement adapt´e pour d´ecrire le r´e- gime d’effet Hall quantique pour lequel la d´eg´en´erescence de spin est lev´ee. Dans ce r´egime, les ´electrons participant au transport occupent des ´etats confin´es aux bords de l’´echantillons d´enomm´es ´etats de bord, v´eritables rails quantiques unidimensionnels.

Un ´electron ´emis par le r´eservoir a une amplitude de probabilit´e t de rentrer dans la boˆıte (et r d’ˆetre r´efl´echi dans le r´eservoir). Une fois dans la boˆıte, l’´electron accumule une phase φ en un tour avant d’avoir l’opportunit´e de sortir avec une amplitude de probabilit´e t, et ainsi de suite... Le circuit est tr`es semblable `a un Fabry-Perot ´electronique mais `a un seul contact, un ´electron ´emis par le r´eservoir finit toujours par y retourner. Le conducteur ´etant monomode, la matrice de diffusion S(ǫ) est une pure phase, il s’agit de la diff´erence de phase entre l’onde incidente |Ψii et l’onde r´efl´echie |Ψri. Pour la calculer, il suffit de sommer les

amplitudes de tous les processus de r´eflexion apr`es n tours dans la boˆıte.

|Ψri = (r − t2eiφ− t2r2e2iφ− t2r4e3iφ+ ...)|Ψii (3.21)

= (r − t2eiφ ∞ X n=0 (reiφ)n_)|Ψii (3.22) = r − e iφ 1 − reiφ|Ψii (3.23) S(ǫ) = r − e iφ 1 − reiφ = e iΘ _(3.24)

Chaque fois que la phase dans la boˆıte est un multiple de 2π, il y a diffusion r´esonnante de l’´electron dans la boˆıte. Ceci traduit la pr´esence d’un niveau ´electronique `a cette ´energie. En

supposant que l’´ecart entre niveaux ∆ dans la boˆıte est constant, on obtient la d´ependance suivante de la phase avec l’´energie :

φ = 2π ǫ

∆ (3.25)

On peut maintenant calculer la densit´e d’´etats dans la boˆıte N (ǫ) = _2iπ1 S∗dS_dǫ :

N (ǫ) = 1 ∆

1 − r2

1 − 2r cos(2π∆ǫ) + r2

(3.26) Dans la limite de transmission unit´e (r = 0), on retrouve une densit´e d’´etats uniforme et ´egale `a <sub>∆</sub>1<sub>. En revanche, dans la limite des tr`es faibles transmissions (r ≈ 1), on obtient une</sub> somme de pics lorentziens `a l’´energie ǫn= n∆ et de largeur ~γ avec γ ≈ D∆/h.

N (ǫ) ≈ X n 2 ∆(1 − r) 1 1 + (2π(ǫ−n∆)_∆(1−r) )2 (3.27) = X n 2 π~γ 1 1 + (ǫ−n∆~_γ/2)2 (3.28) On passe donc continˆument du r´egime de densit´e d’´etats uniforme au r´egime tr`es piqu´e lorsque la transmission varie de 1 `a 0.

Influence des tensions de grille VG du CPQ et Vdc de la boˆıte

La tension de grille VG a deux effets sur le conducteur m´esoscopique : le premier est

de modifier la transmission de la barri`ere reliant la boˆıte au r´eservoir. Le deuxi`eme est de moduler le potentiel chimique de la boˆıte par couplage ´electrostatique. Ces deux effets sont indissociables si bien qu’il est impossible de modifier la transmission de la barri`ere sans modi- fier le potentiel chimique. Toutefois, la d´ependance de la transmission D(VG) avec la tension

du CPQ est plus lente que la variation de potentiel chimique de sorte que l’on peut distinguer les deux effets. On peut donc mesurer les deux contributions dans une seule trace G(VG).

L’essentiel de nos donn´ees exp´erimentales est donc constitu´e des mesures de ReG(VG) et

ImG(VG).

On supposera conform´ement au mod`ele de barri`ere ´electrostatique pr´esent´e dans la r´ef´e- rence [57] que la variation de la transmission avec l’´energie des ´electrons est donn´ee par la relation suivante :

D(ǫ) = 1

1 + e−_α(ǫ−ǫ0) (3.29)

o`u ǫ0 est l’´energie pour laquelle le transmission est ´egale `a 1/2 et α est un param`etre qui

d´ecrit la raideur de la barri`ere. En supposant que le potentiel ´electrostatique est une fonction lin´eaire de la tension de grille appliqu´ee au contact ponctuel, on obtient :

D(VG) = =

1 1 + e−VG−V0∆V

(3.30) V0 qui contrˆole la position en VG de l’ouverture du premier canal et ∆V la largeur de cette

ouverture seront d´etermin´es dans le r´egime non-lin´eaire (chapitre 5) par l’´evolution du temps de sortie d’un ´electron en fonction de la tension VG.

La tension VG agit aussi sur le potentiel de la boˆıte par couplage ´electrostatique, on note

CG la capacit´e entre les grilles du CPQ et la boˆıte quantique. Ce couplage se traduira dans

notre mod`ele par une d´ependance lin´eaire de l’´energie (ou du d´ephasage φ dans la boˆıte) avec la tension VG. De mˆeme, on peut appliquer une tension continue Vdc `a la grille de la capacit´e

qui agira elle aussi sur le potentiel de la boˆıte avec les mˆemes effets (toutefois, le coefficient de couplage sera diff´erent). Cette deuxi`eme grille permet de modifier le potentiel sans changer la transmission.

Limite de temp´erature nulle ou r´egime coh´erent

A temp´erature nulle, la r´esistance de relaxation de charge est, comme nous l’avons vu, constante et ´egale `a h/2e2. On peut toutefois tracer maintenant la variation de la capacit´e quantique ´egale (`a e2pr`es) `a la densit´e d’´etats au niveau de Fermi lorsque l’on varie la tension de grille du contact ponctuel VG.

-0.90 -0.88 0 2 4 1/D

N

(e

)

(K

)

Vg(V)

Fig._{3.3 – ´Evolution de la densit´e d’´etats avec la tension VG`a temp´erature nulle . La variation} de la transmission avec la tension VG est d´ecrite par l’´equation 3.30 avec V0 = −896mV et

∆V = 2.9mV . Elle est repr´esent´ee par la courbe en pointill´es.

On peut voir sur la figure 3.3 que dans le r´egime des fortes transmissions, la densit´e d’´etats oscille sym´etriquement par rapport `a sa valeur moyenne 1/∆. Lorsque la transmission diminue, on obtient des pics qui s’affinent de plus en plus. La densit´e d’´etats n’est pas born´ee et les maximums des pics sortent du cadre de la figure.

Circuit ´equivalent `a temp´erature finie

Nous avons d´ej`a abord´e qualitativement le comportement de la conductance de la capacit´e m´esoscopique dans la limite des hautes temp´eratures. Nous pouvons maintenant en pr´esenter

une approche quantitative dans le cadre du mod`ele de densit´e d’´etats pr´esent´e pr´ec´edemment. A temp´erature finie, il faut convoluer le densit´e d’´etats (ou son carr´e) avec la d´eriv´ee de la fonction de Fermi pour obtenir la valeur de la capacit´e (ou de la r´esistance), voir ´equations 3.13 et 3.14. 0 1 2 -0.90 -0.88 0 1 2

~

N

(

e

)

(K

)

1

/R

(e

/h

)

V

(V)

Fig. _{3.4 – ´Evolution de la densit´e d’´etats effective et de l’inverse de la r´esistance avec la} tension VG `a temp´erature finie T = 150mK. La variation de la transmission avec la tension

VG est d´ecrite par l’´equation 3.30 avec V0 = −896mV et ∆V = 2.9mV . Elle est repr´esent´ee

par la courbe en pointill´es.

On a repr´esent´e sur la figure 3.4 l’´evolution de la densit´e d’´etats effective ˜N (ǫf) ´egale `a

la capacit´e Cq `a e2 pr`es ainsi que l’inverse de la r´esistance _R1_q en fonction de la tension de

grille VG pour une temp´erature T = 150mK. Pour les fortes transmissions (VG > −890mV ),

on n’observe pas de diff´erences li´ees `a la temp´erature (voir figures 3.3 et 3.4). Dans ce cas, ~<sub>γ >> kBT et la convolution est sans effet, la valeur de Rq est constante et ´egale `a</sub> h

2e2.

En revanche, pour les transmissions plus faibles, la d´ependance en tension de grille de la capacit´e quantique est liss´ee. Pour les tr`es faibles transmissions, elle devient born´ee sous l’effet de la temp´erature. Dans ce r´egime, mˆeme si la transmission diminue, la forme des pics n’est pas modifi´ee, elle est compl`etement d´etermin´ee par la temp´erature. De mˆeme, la r´esistance est profond´ement modifi´ee. Elle augmente fortement (_R1

q diminue) lorsque la

transmission diminue. Pour les tr`es faibles transmissions,<sub>R</sub>1<sub>q</sub> pr´esente des pics dont la hauteur est directement proportionnelle `a D mais dont la largeur, constante, ne d´epend que de la temp´erature (partie agrandie dix fois sur la courbe). On est alors dans le r´egime s´equentiel ~_{γ << kBT (mais kBT << ∆). Dans cette limite, on peut, lors du calcul de la conductance,} assimiler la densit´e d’´etats `a un seul pic lorentzien `a l’´energie ǫn au voisinage d’un niveau

Fermi. On obtient alors : Cq ≈ e2 4kBT ch2(ǫn −ǫf 2kBT) (3.31) Rq ≈ h De2 4kBT ∆ ch 2₍ǫn− ǫf 2kBT ) (3.32) 1 Rq = D∆ h e2 4kBT ch2(ǫn −ǫf 2kBT ) (3.33)

Le maximum de la densit´e d’´etats, e2_/4k

BT , a une d´ependance en 1/T caract´eristique de

l’effet tunnel r´esonnant dans le r´egime s´equentiel (~γ << kBT << ∆). Dans ce r´egime, la

forme de Cq et _R1_q ne d´epend que de la temp´erature. Leur d´ependance caract´eristique en

ch2₍ǫn−ǫf

2kBT ) nous permettra par la suite, connaissant la temp´erature, de calibrer le syst`eme.

C’est ce que nous verrons dans la partie exp´erimentale de ce chapitre. Si on n´eglige la capacit´e g´eom´etrique C, le temps de relaxation de charge dans ce r´egime est ´egal `a RqCq= h/D∆ =

1/γ, temps de fuite de l’´electron de la boˆıte par effet tunnel. Aux trop basses transmissions, l’´electron n’a plus le temps d’entrer ou sortir de la boˆıte sur une p´eriode d’excitation ce qui se traduit par une divergence de la r´esistance Rq. La fr´equence de coupure du circuit RC est

donc donn´ee par ωc ≈ γ. Pour explorer la dynamique de transfert de charges dans une large

gamme de transmissions D c’est `a dire dans une large gamme temporelle, il est n´ecessaire de varier la fr´equence dans une large bande passante. Les exp´eriences que je vais pr´esenter ont permis d’´etudier la r´eponse du syst`eme aux fr´equences de f = 0.180, 0.51 et 1.5 GHz auxquelles sont reli´ees les transmissions suivantes `a la coupure RqCqω = 1 : D = 0.02, 0.06

et D = 0.18 (avec la valeur de ∆ = 2.5K d´etermin´ee par la suite pour l’´echantillon E3).

Inclusion du blocage de Coulomb dans le mod`ele sans interactions

Nous avons vu que dans ce mod`ele, la capacit´e g´eom´etrique C intervient seulement dans le calcul de la conductance totale G. En revanche, elle n’influe pas sur le calcul de la densit´e d’´etats (et par cons´equent celui de la conductance g). Toutefois, cette capacit´e g´eom´etrique est responsable d’un coˆut ´energ´etique additionnel pour ajouter un ´electron dans la boˆıte appel´e ´energie de charge Ec = e2/C. La diff´erence d’´energie entre deux ´etats de charge dans

la boˆıte (deux ´etats pour lesquels le nombre d’´electrons pr´esents dans la boˆıte diff`ere d’une unit´e) est maintenant de ∆ + e2/C = e2/Cµ = ∆∗ au lieu de ∆ uniquement dans le mod`ele

sans interactions. Il faut donc augmenter le potentiel ´electrochimique de ∆∗

(et non ∆) `a l’aide des tensions VG ou Vdc pour passer d’un pic de conductance `a un autre. L’´energie

de charge, en plus de modifier la p´eriodicit´e des pics, peut aussi modifier la forme de la d´ependance en ´energie de la densit´e d’´etats. L’action de l’´energie de charge sur la densit´e d’´etats ´electronique est appel´ee ph´enom`ene de blocage de Coulomb. Toutefois, nous verrons `

a la fin de ce chapitre que lorsque kBT << ∆, mˆeme en prenant en compte les interactions,

la forme des pics de conductance garde la forme caract´eristique de l’effet tunnel r´esonnant. On peut alors simplement prendre en compte le ph´enom`ene de blocage de Coulomb dans le mod`ele sans interactions en modifiant la p´eriodicit´e des pics de conductance de la valeur ∆ `

a ∆∗

. Lorsque la temp´erature est de l’ordre de l’´ecart entre niveaux, la situation est plus complexe.