En considerant maintenant la totalite du systeme mecanique deA, il devient imperatif de reconsiderer les hypotheses sur le type de contact et du mouvement des roues par rapport au sol. En e et, le fait que les essieux arriere E
r et central
E
c soient tous les deux non orientables rend les mouvements non rectilignes deA
impossibles en absence de glissement lateral d'un certain nombre de roues de ces deux essieux. Ceci est d'autant plus comprehensible que quel que soient l'angle de braquage et la position du centre de rotation instantaneG
A du robot, celui-ci ne peut intersecter qu'au plus l'un des deux axes deE
r etE c.
Pour mieux illustrer la presence du glissement au niveau des roues du robot, considerons en un premier temps le cas d'une giration d'angle <0 (i.e. virage a droite) et supposons queG
A est confondu avec le point d'intersection des axes de
E c et E
f pendant toute la duree du mouvement de A. Dans ce cas, la vitesse v E
r
du centre de l'essieuE
r est a tout moment portee par la tangente a la trajectoire ayant pour centre et rayon de courbure respectivement G
A et r = L r =sin 0. L'angle 0 veri e tan 0= (L r =L
f)tan . Considerons que la vitesse angulaire de
A soit xee a une valeur constante _. La vitessev E
r est alors donnee par:
v E r =L r =sin 0 _
Remarquons que dans ce cas, le rayon de courbure de la trajectoire du centre de
E
f est egal a f =L
f
=sin . Comme le montre la gure 3.4, l'angle forme par le vecteur vitesse v
E
r et l'axe du vehicule est donne par l'angle
0. Ainsi, la vitesse de glissement lateral des roues deE
r est donnee par:
v E r ;y =,v E rsin 0=,L r _
ou l'indicey designe la composante sur l'axe des ordonnees du repereF
A xe au robot. Il est a noter que dans le cas ou _ <0 (resp. _ >0),v
Er;y est positive (resp. negative), ce qui signi e que le mouvement de glissement se fait vers l'exterieur (resp. l'interieur) de la trajectoire quel que soit le sens de deplacement deA.
De la m^eme maniere, si l'on considere l'absence de glissement au niveau des roues de l'essieu arriere et si l'on reprend les m^emes calculs, nous obtiendrons une vitessev
Ec au point C
Fig. 3.4 - Modele cinematique avec glissement lateral de l'essieu E r. v E c =L r =sin 00 _ ou
00 est l'angle entre la direction de v
Ec et l'axe de A, et veri ant tan 00 = (L
r
=L)tan (voir gure 3.5). La vitesse laterale de glissement des roues de E c est alors egale a:
v E c ;y =v E csin 00 =L r _ Dans le cas ou _ < 0 (resp. _ > 0), v
E r
;y est negative (resp. positive), ce qui conduirait a un mouvement de glissement vers l'interieur (resp. l'exterieur) de la trajectoire de A.
Il en ressort ainsi que le maintien de la condition d'un roulement parfait au niveau des deux roues de l'un des essieuxE
r ou E
c conduit dans les deux cas a un glissement lateral caracterise par une vitesse de module egal aL
r
j j_. Dans le cas general et pour une vitesse de rotation _ donnee, le signe et la valeur des vitesses de glissement dependent de l'emplacement du centre de girationG
A. La question qui se pose alors est de choisir G
A de maniere a minimiser le glissement lateral ainsi caracterise, et ce au niveau de l'ensemble des quatre roues de E
r et E c. Un tel objectif conduirait ainsi a relaxer les conditions de non glissement de ces deux essieux. Nous caracteriserons dans la suite la quantite de glissement subie par A
Les modeles 47
Fig. 3.5 - Modele cinematique avec glissement lateral de l'essieu E c.
Le maintien de l'hypothese de non glissement de l'essieuE
f contraint le point
G
A a ^etre situe a chaque instant t sur l'axe des roues avant et plus exactement sur la demi-droite ayant pour extremite le centreC
f;r de la roue droite de E f. Vu le critere considere sur la quantite de glissement,G
A ne peut appartenir qu'au segment de droite ayant pour extremites les points G
r et G
c correspondant aux centres de rotations dans le cas du non glissement deE
retE
c tel qu'illustredans la gure 3.6. Ceci est intuitif puisque que dans le cas ouG
A 2]G
c ;C
f;r), les vitesses de glissement lateral des quatre roues arrieres seront toutes de m^eme signe et positives par rapport aF
A. Dans le cas ouG
Aappartient a la demi-droite(1;G r[, ces vitesses seront toutes negatives. Ainsi, le centreG
Asera confondu avec le point milieu de G
r et G
c veri ant quel que soit la valeur de _, v
Er;y +v
Ec;y = 0. Les amplitudes des vitesses des centres deE
retE
c et les vitesses de glissement lateral sont alors donnees par:
v E r =v E c =L r =_ (2sin 000) v Er;y =,v Ec;y =,L r =_ 2 ou
000 est l'angle entre les droites directrices de v
Er et v Ec, et l'axe de A, et veri ant: tan 000= tan L r =(2L,L r) (3.2)
Soit M le point du ch^assis du vehicule dont la projection sur le plan (x;y) est confondue avec celle du point G
Fig. 3.6 - Modele cinematique considere pour la formulation de la non-holonomie de A dans le cas plan.
Pour une vitesse de rotation _ et un angle de braquage donnes, la vitesse de glissement au point M est a tout instant nulle. Ceci se traduit alors par le fait que la direction de la vitessev
M enM est toujours portee par l'axe du vehicule. Ainsi, les parametres des vitesses de translation de M se trouvent lies par:
_
x
M sin,y_
Mcos= 0 (3.3)
Le point M se trouve a une distance L r
=2 du centre du robot C
A. Pour un deplacement plan, les coordonnees de celui-ci sont alors reliees a celles deM par:
( x M = x, Lr 2 cos y M = y, Lr 2 sin (3.4) La derivation de ces deux equations par rapport au temps conduit a la relation suivante entre les di erents parametres des vitesses:
( _ x M = _x+ L r 2 _ sin _ y M = _y, L r 2 _ cos
En reportant les valeurs de (_x M
;y_
M) dans l'equation 3.3, nous obtenons une liaison lineaire entre les parametres (_x;y ;_ _) donnee par:
_
xsin,y_cos+ L r
L'algorithme de plani cation 49 L'utilisation du resultat etabli dans [6, 43] pour la caracterisation de l'holo-nomie de liaisons lineaires scalaires montre que l'equation 3.5 est non-integrable et constitue ainsi la contrainte non-holonome a laquelle est soumis le point de reference de A. En e et, en appliquant directement ce resultat et en reprenant les m^emes notations que dans [6] (Corollaire 1), le calcul du coecient di erentiel permettant la caracterisation de la non-holonomie, conduit a montrer que celui-ci est non nul. Le coecient di erentiel s'ecrit dans notre cas sous la forme:
A xy =! x(@! @y , @! y @ ) +! y(@! x @ , @! @x ) +! (@! y @x , @! x @y ) = 16= 0 ou ! x = sin ; ! y =,cos ; ! =L r =2 Les parametres de vitesse _q au point C
A s'ecrivent alors: 8 > < > : _ x(t) = vcos(+ 000) _ y(t) = vsin(+ 000) _ (t) = v sin 000 Lr=2 (3.6)
3.3 L'algorithme de plani cation
Comme enonce dans la section 3.1, le niveau geometrique du processus de plani cation a pour objectif de guider la recherche du mouvement solution , vers le but nal. Cela consiste a explorer d'une maniere discrete l'espace de recherche
C
sear ch a n de determiner un ensemble de con gurations intermediaires par les-quels le robot est susceptible de passer pendant la construction incrementale de ,. Plus exactement, l'idee de base consiste a appliquer un algorithme de type
A
pour la recherche d'un chemin sous-optimal dans un grapheG etiquete direct connectantq
init a q
final et correspondant a une discretisation de l'espaceC sear ch.
3.3.1 L'espace C sear ch
et le graphe de recherche G
3.3.1.1 Le graphe G
Chaque nud N du graphe G est de ni par la con guration q atteinte par l'algorithme de plani cation et un voisinageV(q) selon les parametres (x;y;) et centre en q. Pour une con guration donnee q
0 = (x 0 ;y 0 ; 0), ce voisinage V(q 0) est de ni par l'ensemble:
V(q 0) =f(x;y)=d(x;y;x 0 ;y 0)h xy gf =j 0 , jh g (3.7)
ou h
xy eth
sont deux constantes positives arbitraires, etd() designe la distance euclidienne entre deux points dans le plan. Dans l'espace C
sear ch, la region re-couverte par le voisinage V(q
0) d'une con guration q
0 correspond a un cylindre centre en q
0.
A une iteration donnee de l'algorithme, nous distinguerons deux types de nuds: l'ensemble G
, des nuds feuilles, i.e qui se trouvent a l'extremite d'un chemin dansG, et l'ensembleG
+des nuds qui sont sources d'au moins un nud de G. Deux nuds N(q
i) et N(q
j) de G
+ seront relies par un arc s'il existe une trajectoire locale executable ,j amenant le robot d'une con guration du voisinage
V(q
i) dans le voisinage V(q
j). Ainsi, toute con guration q
r d'un nud de G + et extremite d'une trajectoire ,r peut ^etre connectee a q
init par une trajectoire exe-cutable. Un nud N de G
+ sera alors caracterise par une con guration atteinte geometriquementq, le voisinage qui l'entoure et la con guration physiqueq
r. En- n, un arc relie un nud de G
+ a un nud de G
, si la con guration de celui-ci a ete generee geometriquement et que son accessibilite e ective n'a pas encore ete validee par l'existence d'une trajectoire localement executable ,j. Ainsi, nous pourrons distinguer deux types d'arcs: les arcs dits geometriques dont les extre-mites nales correspondent aux nuds de G
,, et les arcs correspondant a une trajectoire ,i executable entre les nuds de G
+.