Modelisation dynamique
4.2 Le modele dynamique (A) du vehicule
4.2.1 Dynamique d'un objet rigide
Soit un objet rigide de masse m correspondant a un composant donne de
A et muni d'un referentielF
qui lui est attache et ayant pour origine le centre de masseG de ( gure 4.1). Nous noterons les vecteurs directeurs de G par (x;y;z). La con guration de a un instantt est donnee par le vecteur (r(t); (t)) ourdesigne le vecteur position deGdans le referentielF
W de l'espace de travail et ou correspond au vecteur orientation deF
par rapport aF
W. Les elements de seront de nis par les angles d'Euler correspondant a une transformation de type Z,Y ,X entre F
W et F
. L'etat de est alors de ni par le vecteur (r; ; _r;!), ou ! est la vitesse de rotation instantanee de .
Soit F la resultante des forces exterieures appliquees sur l'objet . Celles-ci sont de deux types: les forces de distance F
d derivant de la gravite et eventuelle-ment de la viscosite de l'environneeventuelle-mentW ou se trouve , et les forces de contact
R
i appliquees aux points Pi situes sur la surface de . En adoptant une formu-lation basee sur la mecanique de Newton, le mouvement de transformu-lation de est regi a tout instant t par l'equation di erentielle suivante:
F=F d +X i R i =mr(t) (4.1) Connaissant le vecteur R = P i R
i et l'etat initial (r(0); _r(0)), il est alors possible de determiner le mouvement de translation de par simple integration temporelle de 4.1. Le mouvement de rotation de quant a lui est de ni par l'equation de mouvement, communement connue comme l'equation d'Euler:
T= _L(t) (4.2)
ou L(t) est le moment angulaire ou cinetique de par rapport a son centre de masse G, et ou T est la somme des moments des forces R
i par rapport a ce m^eme point. Le vecteur T se calcule a partir de:
T =X i ( ~GPi ^R i) +X k T k (4.3)
ou ^designe le produit de deux vecteurs et ou T
k sont les moments non associes a des forces exterieures. Comme nous le verrons dans la suite, de tels moments correspondent en pratique a la modelisation des vecteurs de contr^ole appliques sur l'objet tel que par exemple un couple dans le cas ou represente une roue.
Soit I
la matrice d'inertie de exprimee par rapport aux axes de F W. Le vecteurL(t) est relieaI
et! par l'equation 4.4. En reportant l'expression deL(t) ainsi formulee dans l'equation 4.2, nous obtenons l'expression de T en fonction de I et de ! (4.5). L(t) =I ! (4.4) T= _I ! + I !_ (4.5)
D'un autre c^ote, la matrice de rotation R( ) de est reliee au vecteur ! par l'equation:dR=dt = ^!R, ou ^! est la matrice antisymetrique donnee par:
^ ! = 0 B @ 0 ,!z !y !z 0 ,!x ,!y !x 0 1 C A:
Modele dynamique du vehicule 69 Ainsi, de m^eme que dans le cas d'une translation, le mouvement de rotation de est entierement determine par la connaissance des valeurs initiales de ! et de la matrice R. La resolution de ! peut ^etre e ectuee directement a partir de l'equation 4.5. Cependant, l'apparition d'un terme dans la derivee deI
fait que la matrice d'inertie de i doit ^etre egalement calculee a chaque instant. En re-formulant 4.2 et en considerant la derivation de L dans le repere F
, la matrice d'inertie devient constante. Ainsi, nous obtenons:
T=I
!_ +!^(I
!) (4.6)
ou encore, en choisissant les axes deF
confondus avec les axes principaux d'iner-tie de de maniere a annuler les produits d'inerd'iner-tie deI
: T x = I ;x !_ x+ (I ;z ,I ;y) ! y ! z (4.7) T y = I ;y !_ y + (I ;x ,I ;z)! x ! z (4.8) T z = I ;z !_ z+ (I ;y ,I ;x) ! x ! y (4.9)
Le vecteur! est alors calcule en integrant ces trois equations par rapport au temps et en considerant une orientation initiale donnee par la matrice R, une vitesse initiale !(0) et un pas de temps t donne. Une fois ! determine, il est possible de calculer la nouvelle orientation de et ainsi sa nouvelle con guration. En n, notons que les coordonnees du vecteurT dans les equations 4.7 a 4.9 sont exprimees dans le repereF
attache a .
4.2.2 Modelisation d'un essieu a roues
SoitE un essieu donne du systememecaniquedeA, et soientW letW
rles deux roues motrices gauche et droite qui lui sont reliees. Comme l'illustre la gure 4.2, a chacun de ces trois composants est attache un repere ayant pour origine le centre de masse de l'objet correspondant et pour axes les directions principales d'inertie. Nous supposerons dans la suite que les axes des Y des trois reperes sont confondus et nous noterons par F
e, F l et F
r les reperes respectifs a E, W l
etW
r. L'etat de EW
i est de ni par sa con guration (r;e ;l
;r) et le vecteur (_r;!; _l
; _r) correspondant aux vitesses de rotation instantanees respectivement du repere lie a l'essieuE
i et des deux roues. Les termes (l
;r) correspondent a l'orientation des reperesF
l etF
r par rapport a F
e et le terme e est donne par les angles d'Euler de celui-ci par rapport au referentielF
W.
Mis a part les mouvements de rotation des roues par rapport a l'axe de E, c'est a dire en omettant en un premier temps l'existence des articulations cor-respondantes, l'ensembleEW compose de E et de W
l et W
Fig. 4.2 - Modele d'un essieu a roues du vehicule A.
a un objet rigide unique ayant pour centre de masse et pour repere local ceux de l'essieu E. Dans ce cas, un nouveau tenseur d'inertie est a determiner a partir de ceux de l'essieu et des roues. De ce fait, les mouvements de translation et de rotation de EW peuvent ^etre resolus en considerant le modele dynamique decrit dans la section 4.2.1. Ainsi, les forces et les moments appliques sur tout point de E, W
l ou de W
r interviennent directement dans la generation du mouvement de la totalite de EW. En tenant compte maintenant des articulations des roues, uniquement le calcul des mouvements de rotations des objets par rapport aux axes des Y change. Les moments des forces appliquees sur chacun des objets par rapport a l'axe des Y interviennent separement dans la resolution des vitesses instantanees ( _l; _r) (equation 4.8).
Soient me la masse de E et m celle de chacune des roues. Soient (F e;R e), (F l;R l) et (F r;R
r) les forces appliquees surE,W l etW
r, et dues respectivement aux interactions avec les autres composants du robot et aux interactions avec le terrain. Sous l'e et de ces forces, EW subit une translation decrite par l'equation de mouvement 4.1 dans laquelle le terme de masse correspond a la masse totale du systeme, i.e. me+ 2m. F d+ X i=e;l;r F i+ X i=l;r R i = (me+ 2m)r(t) (4.10) ou F
d est la force de distance appliquee sur EW telle que la gravite. Remarquons queR
e est tout le temps nul puisqueE ne peut ^etre en aucun cas en contact avec le terrain.
Les equations regissant les rotations du systemeEW par rapport aX et Z du repereF
e restent les m^emes que 4.7 et 4.9, mais avec des termes d'inertie relatifs a l'ensemble de EW et avec les composantes du moment resultant de la totalite des forces F
j et R
j; j = e;l;r. La matrice I0 est donnee dans la suite. Comme nous venons de le mentionner, seul le mouvement de rotation par rapport a Y di ere du cas d'un objet rigide simple. La rotation de E par rapport a cet axe est donnee par: Te;y =I0 y !_y + (I0 x ,I0 z) !x !z (4.11)
Modele dynamique du vehicule 71 ou Te;y est la composante du moment des forces
F
e par rapport a Y et I0 est la matrice principale d'inertie de EW. Si Ie et I sont respectivement les matrices principales d'inertie deE et de chacune des roues, et sidGG est la distance entre les centres de masse de Wl et de W
r, les trois composantes de I0 s'ecrivent sous la forme: I0 x = Ie;x+ 2Ix+md2 GG (4.12) I0 y = Ie;y + 2Iy (4.13) I0 z = Ie;z + 2Iz+md2 GG (4.14)
Une fois la rotation du repereF
eresolue, les vitesses articulaires instantanees deW
l et W
r sont determinees relativement a ce m^eme repere a partir de: Tj;y +uj =Iy j ; j = l;r (4.15) ou Tj;y est la composante du moment par rapport a ce m^eme axe des forces