Dans cette section nous présentons le modèle utilisé pour les simulations. Désireux d’effectuer la génération de seconde harmonique, le critère nous important est la maximisation de la puissance intracavité. Le but de ce modèle est donc la détermination de cette puissance intracavité en fonction de différents paramètres tels que la puissance de pompe, la longueur et le taux de dopant du cristal etc... Nous considèrerons une cavité linéaire à deux sens de circulation. Un point dans le cristal sera repéré par son abscisse z (0 ≤ z ≤ Lc) et sa distance à l’axe de propagation r (utilisation des coordonnées
cylindriques). Les pertes de la cavité seront notées L ; ce terme tiendra compte des pertes liées aux différentes interfaces (miroirs, traitement anti-reflets). Pour finir les intensités laser dans les sens propageant et contra-propageant seront respectivement notées I+
et I− .
La figure 3.1 explicite l’ensemble de ces notations.
FIGURE3.1 – Notations utilisées pour les simulations
3.1.1 Modélisation et propagation de la pompe
Les diodes de pompe utilisées pour les différentes expériences sont des diodes fibrées caractérisées par cinq paramètres :
- La puissance délivrée (Pp)
- La longueur d’onde d’émission (λp)
- La largeur du spectre d’émission à mi hauteur (∆λp)
- L’ouverture numérique de la fibre (ON) - le diamètre de coeur de la fibre (φcoeur)
- l’état de polarisation
Afin de rendre compte de la propagation d’un faisceau issu d’un tel système, il est important d’effec- tuer un certain nombre d’hypothèses.
Profil transverse et propagation longitudinale :
La figure 3.2 montre un exemple de profil transverse d’intensité mesuré au point de focalisation d’une diode laser couplée dans une fibre de 100 µm de diamètre de coeur et d’ouverture numérique 0.22. (Diode utilisée lors des expériences)
FIGURE3.2 – Profil d’intensité mesuré au point de focalisation d’une diode laser fibrée (ON = 0.22 / φcoeur= 100 µm) En rouge l’approximationt gaussienne des coupes transverses du profil
Nous constatons qu’au point de focalisation, et autour de celui-ci, le profil d’intensité s’apparente à une gaussienne. Ainsi, lors des simulations, nous considérerons en une abscisse z, le profil d’intensité suivant : Ip(r, z) = 2 · Pp (z) π· w2p(z)· e −2·r2 w2p(z) (3.1)
wpreprésente alors le rayon à e12 du faisceau de pompe. Ce dernier connait une évolution au cours de sa propagation qui peut être décrite par l’équation suivante :
wp(z) = wp0· 2 s 1 + (M2 p· λp π· n · wp0· (z − z 0))2 (3.2)
wp0 est la valeur à e12 au col du faisceau, n est l’indice de réfraction du cristal (égal à 2 dans le Nd :GdVO4) et M2p l’excés de divergence du faisceau, par rapport à un faisceau se propageant en
limite de diffraction (M2= 1) . Pour une source laser fibrée dont l’ouverture numérique et le diamètre
de coeur de la fibre sont connus, le paramètre M2
ppeut s’évaluer de la manière suivante :
Mp2=arcsin(ON) · π ·
φcoeur
2
λ (3.3)
Ainsi à ouverture numérique constante, plus on augmente le diamètre de coeur de la fibre, plus le faisceau de pompe possède un M2élevé. Nous verrons par la suite l’incidence de ce paramètre sur les
performances laser.
Remarque : Le profil transverse de faisceau des diodes laser de pompe est habituellement considéré comme ”Top Hat”. L’hypothèse d’un faisceau au profil gaussien se justifie uniquement autour du point de focalisation, mais permet de modéliser simplement la propagation de celui-ci.
Pour simuler l’absorption de la pompe dans le cristal laser, deux éléments doivent être pris en consi- dération. Le premier a été explicité dans la section 2.2.1, à savoir le recouvrement des spectres d’émission de la diode de pompe et d’absorption du cristal. Le deuxième, la saturation d’absorp- tion, a souvent été négligé dans les modèles traitant des lasers soumis aux pertes par réabsorp- tion [Fan 87b, Risk 88]. Une étude approfondie de ce processus a été réalisée dans les travaux de [Yiou 03a], nous nous contenterons donc de rappeler les grands principes et équations de celui-ci, permettant sa compréhension ainsi que sa modélisation.
Tout d’abord exprimons le coefficient d’absorption αpà la longueur d’onde de pompe :
αp= σap· N1 (3.4)
Si nous utilisons les équations 2.2et 2.3 pour remplacer la densité de population N1par son expression
en fonction de Nt, nous obtenons l’équation suivante :
αp= σap·
σel· I +τ1
σap· Ip+ (σal+ σel) · I +1τ · N
Nous constatons que suivant les conditions de fonctionnement, le coefficient d’absorption ne prend pas la même valeur. En effet, pour une intensité laser nulle (en dessous du seuil d’oscillation), nous constatons que l’absorption diminue avec l’augmentation de l’intensité de pompe (phénomène de saturation). En revanche, la désexcitation stimulée (lors de l’effet laser) augmente la population du niveau fondamental et fait de nouveau augmenter le coefficient d’absorption (désaturation de l’ab- sorption par effet laser). Sachant que dans un laser à trois niveaux il est nécessaire d’avoir une grande inversion de population pour atteindre la transparence du milieu (niveau bas très peu peuplé pour limiter la réabsorption à la longueur d’onde laser), il est primordial de tenir compte de ce phénomène dans les simulations.
L’équation différentielle décrivant l’absorption de la pompe au cours de la propagation dans le cristal s’écrivant :
dIp
dz = −αp· Ip (3.6)
Nous obtenons alors la loi d’absorption en tenant compte du phénomène de saturation :
dIp
dz = −σap·
σel· I +1τ
σap· Ip+ (σal+ σel) · I +1τ · N
t· Ip (3.7)
Le processus de saturation d’absorption sera désormais pris en considération dans l’ensemble des simulations effectuées dans ce manuscrit.
3.1.2 Propagation du faisceau laser et calcul du gain double passage G
Le faisceau laser étant un mode propre d’une cavité résonnante classique, nous supposons celui-ci comme gaussien. Le but de nos expèriences étant de convertir le rayonnement infrarouge par un doublement de fréquence intracavité, les pertes de la cavité sont réduites au minimum afin d’obtenir une grande finesse. De ce fait, nous pouvons appliquer l’approximation des faibles pertes et ainsi considérer la puissance laser Pl indépendante de l’abscisse z dans la cavité. Comme le montre la
figure 3.1, on suppose que toutes les pertes passives sont concentrées sur le miroir M2; en posant
I−= (1 − L) · I+ , on en déduit que l’intensité laser en tout point du cristal s’écrit sous la forme I= (2 − L) · I+(en négligeant les phénomènes d’interférences), avec :
I+(r, z) = 2 · Pl π· w2l(z)· e
−2·r2
w2l(z) (3.8)
wl correspond au rayon à e12 du faisceau laser, connaissant une évolution longitudinale similaire à celle présentée en équation 3.2 mais avec un M2égal à 1.
Il est alors possible de calculer le gain G double passage :
G= e2· RLc 0 R Rc 0 g(r,z)·w21 l(z)·e −2·r2 w2 l ·r·dr·dz (3.9)
Sachant que pendant le fonctionnement laser le gain compense exactement les pertes :
G· (1 − L) = 1 (3.10)
A l’aide d’un logiciel de calcul numérique (Matlab), nous avons mis en place un algorithme récursif permettant, pour une puissance de pompe donnée et en accord avec les différents paramètres de la si- mulation, de déterminer la puissance intracavité vérifiant la condition de compensation des pertes par le gain (eq. 3.10). Il nous est donc possible d’évaluer la puissance intracavité en fonction des différents paramètre de l’architecture laser. Dans la section suivante, nous mettons en oeuvre cette modélisation afin de mettre en évidence les comportements liés au caractère trois niveaux de la transition.