Modélisation de la section :

Pour pouvoir déterminer les propriétés mécaniques de la côte à partir d’essais mécaniques, il est nécessaire d’en connaître l’inertie, et donc sa section. Cette inertie peut être soit mesurée, soit obtenue à partir d’une section modélisée paramétrée. Cette dernière solution rend le traitement plus rapide, avec moins de moyens à mettre en œuvre, et permet de généraliser des modèles informatiques autour de quelques paramètres. Le cas de la section elliptique, en mesurant le grand axe et le petit axe, est développé ci-après. Une autre forme géométrique est également abordée : le rectangle. L’article de Got & Coll. [Got75] sert de base de données à cette étude.

2.2.1. Sections de côtes :

La Figure 38 présente trois sections de côtes pour lesquelles n’est représentée que la section de corticale. Dans l’article de Got & Coll. [GOT75], la hauteur de côte est appelée largeur.

ellipse intérieure

Section elliptique Ellipses concentriques, épaisseur

constante. ellipse extérieure y x 0 grand axe petit axe Section mesurée, arc postérieur, archives CEESAR. section d’os compact

Section mesurée, arc latéral, archives CEESAR. épaisseur hauteur (largeur) Axes principaux d’inertie

Figure 38 : Sections de côtes, elliptiques et mesurées.

La Figure 38 montre que le modèle elliptique ne représente pas les deux sections mesurées et ne reproduit pas les variations d’épaisseur de corticale.

2.2.2. Le modèle elliptique :

La Figure 39 montre la section de côte modélisée par deux ellipses concentriques. L’épaisseur de corticale est choisie constante sur le grand axe (D) et le petit axe (d).

e Epaisseur de corticale

constante sur la section

0 di

Di

D

d

Figure 39 : Section modélisée par une ellipse.

Par rapport aux mesures de Got & Coll. [GOT75], la modélisation du contour extérieur par une ellipse entraîne une réduction de 25 à 30 % de la surface totale. L’épaisseur de corticale équivalente obtenue pour une surface de corticale identique à celles qu’ils ont mesurées est de l’ordre du ½ mm. Ils ne donnent pas d’indication sur les épaisseurs de corticale. Seuls Roberts & Chen [ROB71] renseignent ce point. Concernant l’inertie suivant le grand axe, celle qui intéresse

) . . ( 64 3 3 i i y D d D d I = π −

l’essai de flexion trois points, , elle est plus faible de l’ordre de 40 % pour le modèle que pour celle mesurée par Got & Coll. [GOT75].

2.2.3. Comparaison avec une section rectangulaire :

La section de côte est maintenant modélisée par deux rectangles centrés. Deux modèles présentés sur la Figure 40 A et B sont, un avec une épaisseur constante (e) tout le long et l’autre avec une demi-épaisseur (e/2) sur les bords.

Figure 40 : Section de côte pour les modèles rectangle et rectangle 2.

Les comparaisons avec l’article référence montrent que la section totale du modèle rectangle est plus proche de la section mesurée que le modèle ellipse. Cependant, il minore également la section. Il est à remarquer que l’épaisseur de corticale évaluée pour le modèle rectangle est identique à celle de l’ellipse. L’épaisseur (e) moyenne obtenue en relation avec l’article est de 0,6 pour le modèle rectangle et 0,69 pour le modèle rectangle 2.

Le Tableau 33 présente l’inertie obtenue pour les trois modèles par rapport à l’inertie mesurée.

Tableau 33 : Inerties comparées des trois modèles (ensemble des sujets).

Inertie des modèles Erreur des modèles

Inertie

mesurée ellipse rect. rect. 2 ellipse rect. rect. 2

mm4 mm4 mm4 mm4 % % %

Moyenne article 49,28 49,28 83,66 88,64 -44,6% -6,0% -0,4% Ecart type article 22,78 22,78 38,68 41,18 15,9% 27,1% 28,3% Coef. de variation 0,46 0,46 0,46 0,46 -0,36 -4,55 -77,10 Max article 101,43 101,43 172,19 182,91 11,1% 88,6% 96,2% Min article 6,48 6,48 11,00 11,50 -68,7% -46,9% -45,1%

Par ailleurs, sur l’ensemble des sections, dans dix-neuf cas, c’est l’inertie du rectangle 2 qui est la plus précise contre onze pour le rectangle et seulement deux pour l’ellipse. Concernant les

h h B B b b e e e e e e e_/ 2 B) _H A) _H e_/ 2 0 0 x x y y Epaisseur de corticale identique sur chaque bord et sur chaque face de a section. Epaisseur de corticale

constante sur la section.

Modèle rectangle 2 Modèle rectangle

meilleures précisions de chaque modèle, elle est de 11 % pour l’ellipse, 0,5 % pour le rectangle et 1 % (dans trois cas) pour le rectangle 2.

La meilleure modélisation semble être celle du rectangle 2 qui possède deux fois plus de corticale sur les faces que sur les bords.

Par rapport à l’article et avec le mode de calcul de l’épaisseur constante équivalente adoptée, les modèles rectangulaires sont plus précis que le modèle elliptique. Les résultats montrent une grande dispersion qui met en doute toute possibilité de travailler avec un seul type de section paramétrée.

2.2.4. Stabilité de l’inertie :

A partir d’une section choisie dans le travail de Got & Coll. [GOT75], la stabilité de l’inertie est étudiée en faisant varier dans les trois cas possibles un des trois paramètres suivants : la surface totale, la surface de corticale et l’épaisseur constante de corticale, pour le modèle elliptique. Il en ressort que l’inertie est plus sensible aux variations de l’épaisseur de corticale (l’ordre du double).

En ce qui concerne l’évolution des déformations en fonction de celle de l’inertie (modèle elliptique, variation de α %), elle est du même ordre, mais de signe inverse : εα≈ε.(1−α)(α en %,

petit devant 1). Pour augmenter l‘exactitude de l’étude des déformations, il faut augmenter la précision de la mesure de l’inertie.

2.2.5. Conclusion :

L’inertie d’une section de côte modélisée par une ellipse, à partir des dimensions extérieures, sous-estime en général celle mesurée et peut avoir des erreurs allant jusqu’à 40 %. Calculer l’inertie du modèle elliptique nécessite de donner une épaisseur de corticale à celui ci. Elle peut être estimée à partir de la section de corticale mesurée, mais dans ce cas, il faut mettre en œuvre des moyens d’imagerie, qui donnerait finalement la possibilité d’avoir l’inertie réelle. Une section rectangulaire est souvent une meilleure modélisation de la section de la côte que celle elliptique citée dans la bibliographie.

Toute section de côte doit être mesurée, et préférablement de manière non invasive. Cependant, il reste possible d’explorer d’autres modèles géométriques et des moyens, pour estimer l’épaisseur de corticale.