Modélisation de la réponse en champ libre et hypothèses du logiciel Shake 2000

3.3.1 Hypothèses et modèle employés par Shake 2000

Le logiciel Shake 2000 (Ordoñez, 2005) permet d’obtenir une approximation raisonnable de la réponse en champ libre pour un site (Idriss, 2004). Cette première approximation permet généralement aux ingénieurs de déterminer si des études plus approfondies sont nécessaire.

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la réponse d’un sol stratifié à une sollicitation sismique. La plupart d’entre-elles sont basées sur l’hypothèse que la réponse principale d’un sol est causée par la propagation verticale d’ondes de cisaillement depuis la base rocheuse (Ordoñez, 2004). La procédure analytique inclut généralement les trois étapes suivantes :

(i) détermination des caractéristiques de la sollicitation : accélération maximale, période prédominante, durée effective;

(ii) détermination des propriétés dynamiques du sol en utilisant les relations reliant les déformations en cisaillement au module de cisaillement et à l’amortissement;

(iii)calcul numérique de la réponse en champ libre à l’aide d’un modèle unidimensionnel si le sol est principalement stratifié horizontalement. Pour les structures de sol complexes une analyse aux éléments finis peut être nécessaire.

La théorie considère la réponse associée à la propagation verticale des ondes de cisaillement à travers le système viscoélastique linéaire présenté dans la Figure 3.2. Le système est composé de N couches horizontales, infinies, homogènes, isotropes et caractérisées par leur épaisseur h, leur densité ρ, leur module de cisaillement G et leur facteur d’amortissement β (Ordoñez, 2004).

Figure 3.2 Système unidimensionnel utilisé dans Shake2000.

Le programme est basé sur la solution continue des équations d’ondes adaptée pour l’algorithme de transformation de Fourier. Les non-linéarités du module de cisaillement et de l’amortissement sont représentées par un processus d’itération utilisant des propriétés équivalentes linéaires pour les sols développées par Idriss et Seed.

Le logiciel Shake 2000 est basé sur les hypothèses suivantes (Ordoñez, 2004):  le système de sol s’étend infiniment dans la direction horizontale;

 chaque couche du système est complètement définie par sa valeur de module de cisaillement G, son ratio d’amortissement critique β, sa densité ρ et son épaisseur h. Toutes ces valeurs sont indépendantes de la fréquence de sollicitation;

 la réponse du système est causée par la propagation verticale d’ondes de cisaillement engendrées par la formation rocheuse sous-jacente;

 les ondes de cisaillement sont données comme des valeurs d’accélération espacées par des intervalles de temps égaux. La solution se base sur la répétition cyclique de l’accélérogramme;

 la dépendance du module de cisaillement et de l’amortissement vis-à-vis du cisaillement est représentée par la procédure équivalente linéaire.

3.3.2 Modélisation de la réponse en champ libre (Pecker, 1984)

La réponse en champ libre peut être approximée par différents modèles : élastique, viscoélastique linéaire et non linéaire. Le modèle élastique est valable uniquement pour les séismes de faible amplitude et les vibrations produites par des machines. Le modèle viscoélastique est plus couramment employé. Son expression la plus simple (unidimensionnelle) est le système Kelvin – Voigt [Figure 3.3]. Le modèle viscoélastique linéaire équivalent permet d’approcher le comportement non linéaire pour certains matériaux. La réponse en régime transitoire est approchée grâce à une décomposition en séries de Fourier. En analyse sismique, la phase transitoire est négligée (amortissement rapide dû à l’amortissement matériel).

Figure 3.3 Modèle Kelvin-Voigt.

La méthode présentée ne prend pas en compte les non linéarités : on ajuste les valeurs de G (module de cisaillement) et β (facteur d’amortissement) pour chaque couche de sol jusqu’à obtenir la convergence de G(γ) et β(γ) (en général il faut moins de 5 itérations). C’est la méthode la plus courante et celle qui est mise en œuvre dans Shake 2000 : chaque couche de sol est en fait un système viscoélastique linéaire équivalent. La principale limitation de ce modèle est l’impossibilité de calculer des déplacements permanents, ainsi qu’une tendance à filtrer les hautes fréquences.

3.3.3 Validité et précision de la réponse calculée

Les variations du module de cisaillement et de l’amortissement avec les déformations sont des caractéristiques du sol qui décrivent son comportement non linéaire sous chargement cyclique (Llambias, Shepherd et Rodwell, 1993). Ces variations sont données sous formes de courbes expérimentales. Il convient donc de bien choisir les courbes pour chaque type de matériau afin d’obtenir des résultats vraisemblables. De plus on peut dire que la méthode linéaire équivalente utilisée dans Shake pour représenter les non linéarités du sol est assez probante. Des chercheurs ont comparé les résultats de Shake à ceux de Siren, un logiciel qui utilise une modélisation avec des ressorts non linéaires. Ils ont observé une bonne corrélation des résultats (Heidebrecht et Rutenberg, 1993). De même, d’autres chercheurs ont utilisé Shake pour leur étude car ce programme prend en compte les non linéarités du sol (Tinawi, Sarazin et Filiatrault, 1993).

Cependant, il convient de préciser que l’utilisation d’un modèle unidimensionnel pose des limites à la validité de la réponse calculée. En effet, une étude menée par des chercheurs Japonais montre que l’accélération spectrale calculée avec un modèle à deux dimensions est

jusqu’à 1,4 fois supérieure à celle calculée par Shake (Tokida, Tamura et Fukada, 1993). Ainsi, il faut considérer les résultats de Shake avec précaution et se poser la question des irrégularités des couches sous-jacentes.

Lors d’une étude, la réponse du site de Treasure Island calculée par plusieurs logiciels a été comparée à celle enregistrée. Il apparaît qu’aucun des programmes n’est très proche de la solution réelle et ce pour différentes raisons. Par exemple, Shake sous estime l’accélération spectrale maximale de 50% (Roy et Sharma, 1993) [Figure 3.4]. Les imprécisions sont dues à un nombre limité de courbes de variation du module de cisaillement lors de la modélisation. Ce point a été amélioré dans Shake91, qui est intégré dans Shake 2000.

Figure 3.4 Comparaison du spectre de réponse calculé par Shake et du spectre de réponse réel pour le site de Treasure Island.

(Tiré de Roy et Sharma, 1993)

En conclusion, on peut dire que Shake 2000 permet d’approcher correctement la réponse réelle d’un sol de structure simple pour un site ne présentant pas de grandes irrégularités topographiques pour peu que l’on choisisse adéquatement les courbes de variation du module de cisaillement et de l’amortissement en fonction de la déformation.