Trois différents modèles sont utilisés pour décrire le piège magnétique selon les régimes de température étudiés. Dans cette partie, je présente ces trois modèles de piège et je les compare pour déterminer leurs domaines d’applications.
Méthode des éléments de frontières. Tout d’abord pour obtenir la description la plus
détaillée possible j’utilise un logiciel de calcul appelé Radia R fonctionnant avec le logiciel de
calcul Mathematica R. Cette méthode de calcul proche des méthodes de calculs par éléments
finis, utilise des formules analytiques pour ne pas à avoir à discrétiser l’espace vide. Elle per-met un calcul rapide du champ magnétique prenant en compte la forme en trois dimensions des sources de champs magnétiques. Ce logiciel permet d’inclure les effets des inhomogénéités du champ magnétique de biais liées à la forme des bobines, et les effets dus à la répartition de la densité de courant dans les fils de la puce. Même si la méthode des intégrales aux limites est moins lourde en temps de calcul que ne l’est la méthode des éléments finis, il n’en reste pas moins que sa solution est difficilement intégrable dans des calculs plus complexes. C’est
4.5. Modélisation du piège magnétique. 125
X Y
Z
Figure 4.9 – Le graphique ci-dessus représente une vue d’ensemble de deux surfaces
équi-potentielles d’un même piège magnétique à une distance intermédiaire entre capture et com-pression. Le fil en “Z” et le miroir sont aussi représentés à l’échelle, à l’exception du diamètre du miroir qui est représenté cinq fois plus petit pour une question de visibilité. La surface équipotentielle Jaune est à une énergie U0 délimitée par la bifurcation liée à la gravité. Ce point particulier est localisé par un rond Bleu. La surface verte est à une énergie inférieure limitée par le contact avec la puce. Le centre du piège est localisé par un rond rouge.
pourquoi nous avons recours à deux autres modèles plus simples pouvant s’appuyer sur des
valeurs repères données par le calcul avec Radia R.
Modèle analytique. Pour décrire le piège magnétique perçu par les atomes relativement
chauds dans les premières étapes de la capture et de la compression dans le piège magnétique j’utilise un modèle analytique. L’approximation d’un fil infiniment fin permet d’utiliser la loi de Biot et Savard pour sommer la contribution de chaque élément de courant. Ce modèle prend en compte la longueur finie des fils de la puce. Le calcul est détaillé en annexe. Ce modèle permet d’observer l’effet de l’asymétrie du piège en “Z” et de la gravité sur la profondeur du piège. Le piège en “Z” est symétrique par rotation d’un angle π selon l’axe Z. La gravité selon l’axe Y brise cette symétrie. La recherche des points caractéristiques tels que le fond du piège ou le point selle dû à la gravité font l’objet d’optimisations numériques. Un schéma en trois dimensions en figure 4.9 donne une vue d’ensemble de deux surfaces équipotentielles différentes. Elles sont située par rapport au fil en “Z” et par rapport à la surface. On peut y voir la forme asymétrique et la position de deux points caractéristiques qui sont le minimum d’énergie potentiel et le point selle lié à la gravité.
Figure 4.10 – Le graphique ci-dessus est une courbe de la position du centre du piège
ma-gnétique selon la direction Z en mm, en fonction de la valeur du champ de biais en G et pour un courant constant dans la puce de 40 A. Les points noirs sont des résultats expérimentaux indiquant le centre de l’ajustement par un profil gaussien de la densité atomique du nuage dans le piège magnétique. La courbe rouge représente les résultats des modèles analytique et de Radia qui sont confondus. La courbe verte représente la fonction analytique pour un fil infiniment long.
fonction du champ de biais appliqué. Notons le très bon accord entre la simulation par radia (en rouge) et le modèle analytique prenant en compte la longueur finie des fils (confondue
avec la rouge)4. On remarque aussi un déplacement du minimum pour le modèle des fils
infiniment longs (en vert). En réalité ce déplacement est à trois dimensions car ce modèle ne prend pas en compte l’asymétrie du piège en “Z” par rapport à l’axe Y (vertical). Les points expérimentaux sont symbolisés en noir. Ils correspondent au maximum d’intensité de fluorescence du nuage (moyenné 10 fois) après une seconde de tenue dans le piège. Ces points sont ajustés à la courbe théorique par translation dans la direction Z d’une valeur
zf. Les simulations donnent des distances par rapport au centre du fil et l’expérience par
rapport à la surface du miroir. Cet ajustement donne une mesure de cette distance fil-surface
zf = 1300 µm. Nous remarquons un surplus de 250 µm par rapport à la distance théorique.
Cette surépaisseur est imputée principalement à la non planéité de la feuille d’indium et aux tolérances mécaniques dans la réalisation des rainures. Cette distance joue un rôle clé en limitant la profondeur du piège comprimé. Par exemple la profondeur de ce piège à une
distance de 1560 µm5 du centre du fil est supérieur à 1.1 mK dans le cas d’une profondeur
limité par une surface à la position théorique tant dis qu’elle est de 500 µK dans le cas de la surface réelle.
Nous avons vu le très bon accord entre le modèle analytique et le calcul d’intégrales aux frontières sur la prédiction de la distance entre le piège et le fil. La figure 4.11 permet de comparer les profils d’énergies potentielles simulés par radia et par le modèle analytique. Le graphique présente des coupes dans les trois directions de l’espace pour le piège le plus proche de la surface. Les deux modèles sont en meilleurs accord à longue distance car la répartition
4. La symétrie de révolution du fil réel fait que les contributions des densités de courant de part et d’autre de son axe de révolution se compensent pour donner le même résultat qu’un fil infiniment fin.
4.5. Modélisation du piège magnétique. 127
Figure 4.11 – Les graphiques ci-dessus présentent une comparaison des coupes dans les
trois directions de l’espace du potentiel simulé par radia et par le modèle analytique pour un piège comprimé. Les courbes d’énergie potentielles sont en unité de µK et prennent en compte l’effet de la gravité. Les courbes vertes sont les résultats de simulations effectuées avec Radia. Les courbes rouges sont les résultats du calcul analytique. Chacune des coupes est réalisée sur un axe passant par le minimum du piège. Les courbes en traits pleins sont des coupes du potentiel dans la direction Z. Les courbes en traits en tirets sont des coupes du potentiel dans la direction Y (verticale) sur lesquels ont voit la pente liée à la gravité. Les courbes en traits en pointillés sont des coupes du potentiel dans la direction X (longitudinale).
de la densité de courant dans les fils se moyennent et tendent vers le modèle analytique. Une analyse plus quantitative a été faite en cherchant le maximum de la différence entre ces deux fonctions à trois dimensions. Cette étude révèle une différence pic de 8% de la valeur de la profondeur.
Cette valeur de l’énergie potentielle prend en compte l’effet de la gravité. Nous pouvons voir sur la coupe dans la direction Y l’effet de la pente sur la profondeur du piège au
niveau du point de rebroussement. La profondeur U0 n’est plus limitée par le champ de biais
U0 mag = µBgFmFBbiais mais par la gravité à la position où les forces de rappel magnétique
et de pesanteur se compensent mg = µBgFmFdkB(x,y,z)k
dy . Dans le cas d’un piège millimétrique
en forme de “Z” en position vertical la solution est non-triviale et nécessite une recherche numérique du point selle ou la pente de l’énergie potentielle s’annule dans la direction Y. Ce point est signalé sur la figure 4.9.
Piège harmonique. Dans le cas d’atomes plus froids un troisième modèle plus simple ne
prend en compte que la forme du fond du piège. Il consiste en une approximation harmonique
du fond du piège. L’énergie potentielle est décrite comme V (x, y, z) = m/2P3
i=1ωix2
i où les
ωi sont les pulsations du piège dans les trois directions de l’espace, calculées préalablement
en effectuant un ajustement quadratique des courbes calculées avec Radia R. Le potentiel
peut être considéré comme quadratique sur toute l’étendue de sa longueur selon l’axe X. Le développement en série de Taylor au centre du piège de la composante X du champ
magné-tique peut s’écrire sous la forme B0+ ax2+ o[x4]. Il n’en est pas de même pour les directions transverses. Celles-ci peuvent être considérées comme quadratique en dessous d’un certain
seuil dépendant du fond du piège, B0. Nous pouvons voir grâce à l’équation 4.10 que l’on
peut distinguer le régime harmonique du régime linéaire en comparant B2
0 etµ0I
2πz − Bbiais
2 .
Ainsi on peut définir deux positions z+ et z− entre les quelles on peut considérer le piège
comme harmonique : z± = µ0I
2π(BBiais±B0/√
2). Ceci nous donne la température en dessous de
laquelle les atomes explorent un potentiel harmonique :
Tharmo = µB
kBB(z±) . (4.11)
Modélisation d’un piège magnétique.
La norme du champ magnétique produit par un fil parcouru par un courant est in-versement proportionnel à la distance z par rapport à ce fil. Avec un fil courbé en forme de “Z” et un champ magnétique de biais il est possible de créer un minimum local non nul de champ magnétique pour piéger des atomes ayant un moment ma-gnétique positif. L’avantage d’un dispositif à l’échelle millimétrique est sa capacité de
compression, car les gradients de champs magnétiques augmentent en 1/z2. Pour
di-mensionner le piège j’ai réalisé un modèle analytique en supposant des fils infiniment fins et des simulations numériques prenant en compte la taille finie des sources de champs magnétiques.