utilisant le rendement du convertisseur bidirectionnel « buck/boost » et, les pertes énergétiques de la super-capacité exprimées en fonction du courant Isc traversant sa résistance équivalente
en utilisant sa résistance interne Rsc et sa capacité Csc Hankache (2008).
3 Modélisation mathématique
L’optimisation globale de l’énergie fournie par les sources embarquées dans le véhicule re- pose sur une modélisation mathématique de l’ensemble des dispositifs constituant la chaîne énergétique du véhicule. Celle-ci est définie par des équations mathématiques reflétant le fonc- tionnement de la chaîne énergétique appelées « contraintes » et des variables de contrôle ou de décision et une fonction coût à optimiser appelée « fonction objectif ».
Le type de modélisation dépend fortement de la nature des sources embarquées dans le véhicule et de leurs caractéristiques tels que le rendement, les pertes énergétiques, le vieillissement, etc. Cependant, le modèle mathématique résultant peut être exprimé sous différentes formes : li- néaire, non linéaire, convexe ou non convexe. Selon le type de modélisation, plusieurs méthodes ou approches existent afin d’obtenir des décisions optimales ou sous-optimales en des temps de calcul qui dépendent de la complexité du modèle mathématique.
En considérant la chaine énergétique du véhicule hybride électrique composée d’une pile à combustible et d’une super-capacité, les variables de décision sont :
– Pf cs(t) ≥ 0 : Puissance fournie par le système pile à combustible au niveau du bus de
distribution à l’instant t,
– Pse(t) ∈ R : Puissance fournie/récupérée par l’élément de stockage au niveau du bus de
distribution à l’instant t,
– Ps(t) ∈ R : Puissance brute fournie/récupérée par l’élément de stockage à l’instant t,
– SoC(t) ≥ 0 : État de charge de l’élément de stockage à l’instant t.
L’objectif visé est de réduire au minimum la consommation d’hydrogène CH2 par la pile à
combustible suivant un profil de mission donné, en tenant compte de sa fonction rendement ηf cs présentée précédemment en figure II.2. La fonction objectif résultante est définie comme
suit : CH2 = min Z tf in t0 Pf cs(t) ηf cs(Pf cs(t)) dt (II.1)
Chapitre II. Stratégies et approches pour la gestion d’énergie dans les systèmes multi-sources
temps ∆t. En considérant un profil de mission dont la date de début est t0 et la date de fin est
tf in, la taille de l’échantillon T étudié est (tf in− t0)/∆t. Cela rend la formulation du problème
moins complexe : la nouvelle fonction objectif exprimée sur l’intervalle de temps discrétisé T avec un pas de temps de ∆t est donc :
CH2 = min
X
t∈T
Pf cs(t)
ηf cs(Pf cs(t))∆t (II.2)
Le modèle mathématique doit refléter le bon fonctionnement de la chaîne énergétique. Pour cela, des contraintes liées au dimensionnement et au fonctionnement des sources ont été inté- grées, permettant ainsi de relier les variables de décision entre elles.
Afin de satisfaire la demande du moteur électrique à chaque instant, quatre scénarios sont envisageables :
– La pile à combustible fournit à elle seule la puissance demandée par le moteur électrique – La pile à combustible fournit de la puissance pour recharger la super-capacité et satisfaire
en même temps la demande du moteur électrique
– La super-capacité fournit la totalité de la puissance demandée par le moteur électrique – Les deux sources ne fournissent pas de puissance dans le cas où la demande du moteur
électrique est nulle suite à un arrêt
– En mode freinage ou arrêt, la pile à combustible peut fournir de la puissance seulement pour recharger la super-capacité.
Les quatre scénarios peuvent être exprimés en utilisant la contrainte (Eq. II.3) ci-dessous : Pf cs(t) + Pse(t) ≥ Preq(t) ∀t ∈ T (II.3)
En réalité, la pile à combustible est toujours active même si le véhicule est à l’arrêt pour sa- tisfaire la demande de ses auxiliaires et des dispositifs de confort comme la climatisation, le tableau de bord, etc.
De plus, le temps de démarrage d’une pile à combustible est assez important, ce qui empêche son fonctionnement pendant cette période. Il est donc nécessaire d’imposer un seuil de fonc- tionnement minimal Pmin
f cs 6= 0.
II.3 Modélisation mathématique
En effet, elle peut fournir une puissance maximale Pmax
f cs , mais pas au-delà.
Dans notre étude, nous posons l’hypothèse que la pile à combustible peut être inactive et que son temps de démarrage est quasi-nul. Les capacités en puissance de la pile à combustible et l’élément de stockage sont exprimés par les contraintes suivantes (Eq. II.4, Eq.II.5) :
Pf csmin ≤ Pf cs(t) ≤ Pf csmax ∀t ∈ T (II.4)
Psemin ≤ Pse(t) ≤ Psemax ∀t ∈ T (II.5)
L’élément de stockage peut fournir une puissance maximum limitée à Pmax
se pour assister la pile
à combustible dans les phases de traction. Or, au freinage, la puissance maximum récupérée est Pmin
se , et le surplus d’énergie est dissipé sous forme de chaleur dans une résistance. Cela
peut arriver si le système est mal dimensionné ou si le profil de mission réalisé par le véhicule n’est pas adapté, par exemple dans le cas où une voiture électrique urbaine n’est pas destinée à faire des missions sur un profil autoroutier à cause du dimensionnement des sources réalisé, ou un profil de mission toujours en descente ayant une trop grande énergie de freinage à stocker. Lors d’un freinage ou d’une recharge par la pile à combustible, la super-capacité convertit l’énergie électrique sous forme chimique provoquant une augmentation de sa tension et donc de son état de charge et, inversement, dans les phases de traction. La tension de la super-capacité chute si elle fournit de l’énergie impactant son état de charge. Cela est traduit par la contrainte suivante :
SoE(t) = SoE(t − 1) − Ps(t)∆t ∀t ∈ T (II.6)
Sachant que la capacité de l’élément de stockage est limitée au minimum à 25% de sa capacité réelle, afin d’éviter des décharges très profondes qui peuvent détériorer les super-condensateurs, et une capacité maximale fixée à 100%.
SoEmin ≤ SoE(t) ≤ SoEmax ∀t ∈ T (II.7)
où Ps(t) est la puissance brute récupérée ou fournie par la super-capacité exprimée en fonction
des pertes énergétiques de l’élément de stockage, traduit comme suit :
Chapitre II. Stratégies et approches pour la gestion d’énergie dans les systèmes multi-sources
Une condition supplémentaire est ajoutée si le profil de mission est connu et à répéter plusieurs fois (cyclage), imposant que l’état d’énergie final de la super-capacité soit le même que dans son état initial, SoE(0). Cela permet d’enchaîner les cycles sans recharger la super-capacité avec une source extérieure et de reproduire les mêmes résultats à chaque cycle :
SoE(T ) = SoE(0) (II.9)
En associant l’objectif et les contraintes liées au fonctionnement du système, le modèle global est le suivant : CH2 = min X t∈T Pf cs(t) ηf cs(Pf cs(t))∆t (II.10) (II.11) Pf cs(t) + Pse(t) ≥ Preq(t) ∀t ∈ T (II.12)
Pf csmin ≤ Pf cs(t) ≤ Pf csmax ∀t ∈ T (II.13)
Psemin ≤ Pse(t) ≤ Psemax ∀t ∈ T (II.14)
SoE(t) = SoE(t − 1) − Ps(t)∆t ∀t ∈ T (II.15)
SoEmin ≤ SoE(t) ≤ SoEmax ∀t ∈ T (II.16)
Ps(t) = Pse(t) + Lossse(Pse(t)) ∀t ∈ T (II.17)
SoE(T ) = SoE(0) (II.18)
Ppac(t) ≥ 0 ∀t ∈ T (II.19)
Pse(t) ∈ R ∀t ∈ T (II.20)
Ps(t) ∈ R ∀t ∈ T (II.21)
SoE(t) ≥ 0 ∀t ∈ T (II.22)
Le problème mathématique obtenu est de nature non linéaire et non convexe suite aux ca- ractéristiques des sources énergétiques : fonction rendement de la pile à combustible et pertes énergétiques de l’élément de stockage. Afin de décider, à chaque instant, quelle est la puissance fournie par chacune des sources en respectant toutes les contraintes présentées précédemment, des stratégies de contrôle ont été développées (Caux et al., 2010;Gaoua et al., 2013b;Guemri,
2013; Hankache,2008; Musardo et al., 2005; Neffati et al.,2013), pour accéder à des solutions adéquates pour le problème de gestion d’énergie.