Modélisation de l’émission à 511 keV

est donc intimement liée au spectre d’énergie des positrons qui s’échappent. J’ai donc reproduit

la méthode du calcul de spectre en faisant varier la masse de l’éjecta dans le but de déterminer les

M

_ej

qui permettent d’obtenir des valeurs de fraction d’échappement de 0.5%, 5% et 10%. Avec

une énergie cinétique de l’éjecta deE

_ej

= 10

51

erg, il faut utiliser respectivementM

_ej

= 1.92 M⊙,

M

_ej

= 1.05 M

_⊙

et M

_ej

= 0.8 M

_⊙

. Je présente sur la Figure 3.15 les spectres d’énergie associés

à ces M

_ej

et donc à ces fractions d’échappement. On peut remarquer que ces spectres sont

largement décalés par rapport au spectre original dont la moyenne est de _≃0.6 MeV avec une

énergie maximale de _≃ 1.5 MeV. Ces spectres modifiés piquent tous autour de (0.1₋0.2) MeV.

Nous verrons dans le chapitre4 si les maigres différences dans les spectres modifiés β

⁺

peuvent

avoir une influence sur la propagation et donc sur l’émission d’annihilation des positrons produits

par les SNe Ia.

3.4 Modélisation de l’émission à 511 keV

Nous venons de décrire dans les sections précédentes comment nous avons modélisé

numéri-quement la propagation des positrons (section 3.2) et le MIS de notre Galaxie (section 3.3). Il

est donc temps de discuter des résultats que l’on peut extraire de la simulation de la propagation

d’un grand nombreN

pos

de positrons. Je rappelle ici que l’objectif de cette thèse est de construire

des modèles théoriques spatiaux de l’émission d’annihilation associée aux sources galactiques de

positrons, et ce, après avoir considéré leur propagation dans la Galaxie. Je vais donc présenter

ci-dessous comment j’ai construit les cartes de flux à 511 keV qui seront ensuite comparées aux

données de SPI/INTEGRAL (chapitre 4). J’ai aussi développé au cours de cette thèse un code

permettant de modéliser la distribution spectrale de l’émission d’annihilation associée à une

po-pulation de positrons. Comme la comparaison de ces modèles spectraux aux données n’a pu être

effectuée, je ne présente ce code que brièvement.

Figure3.17 – Représentations des systèmes de coordonnées galactiques (l, b), cartésiennes (x, y, z) et cylindriques (r, θ, z) utilisés. Tous ces systèmes sont galactocentriques et le système solaire se trouve en (x, y, z)⊙= (−8.5,0,0) kpc.dreprésente la distance Terre-positron.

Distribution spatiale de l’émission à 511 keV

La simulation de la propagation d’un positron s’arrête quand l’énergie de celui-ci atteint

E

seuil=100 eV (section

3.2). Jean et al. (2009) ont montré que la distance parcourue par les

positrons à cette énergie était négligeable par rapport à la distance qu’ils viennent de parcourir

lors de leur phase de ralentissement, sauf s’ils se trouvent dans le HIM. Dans ce cas, notre code de

simulation continue de prendre en compte la propagation des positrons lorsqu’ils sont thermalisés

(voir section3.2, étape Propagation). Nous considérons donc que le positron s’annihile quand il

atteint 100 eV dans toutes les phases sauf dans le HIM et que si le positron se thermalise dans

un HIM, il s’annihile quand il subit une annihilation directe avec un électron ou bien après s’être

échappé dans une autre phase.

Pour calculer le flux à 511 keV associé à l’annihilation d’un positron, il est donc nécessaire

de déterminer sa distance d à la Terre. On peut calculer cette distance à l’aide de la relation

suivante :

d=^q(x−x

⊙)2

+ y

²

+ z

²

, (3.67)

où (x, y, z) sont les coordonnées cartésiennes de la position d’annihilation d’un positron. Dans

notre repère cartésien galactique, le soleil se trouve enx

_⊙

=₋8.5 kpc (voir Figure 3.17).

Nous avons vu précédemment que le mode d’annihilation d’un positron dépend grandement

de la phase dans laquelle il se trouve (voir sections 1.2.2 et 2.3). Ici, nous ne modélisons pas

numériquement l’interaction responsable de l’annihilation. Nous considérons plutôt une approche

probabiliste de l’annihilation dans une phase donnée. Nous savons qu’un positron s’annihile soit

directement avec un électron soit par la formation de Ps. Lorsqu’il s’annihile directement ou

lorsqu’il forme un para-Ps, il contribue à l’émission de deux photons à 511 keV. Lorsqu’il forme

un ortho-Ps, il contribue à l’émission d’un continuum ortho-Ps en émettant trois photons dont

l’énergie totalise 1022 keV. La probabilité qu’il émette deux ou trois photons est donc gouvernée

par la fraction, f

_{P s}

, de formation de Ps (voir éqs. 1.1 et 1.2). Nous modélisons donc l’émission

d’annihilation d’un positron dans une phase en tenant compte de la fractionf

_{P s}

de cette phase.

C’est pour cette raison qu’à la fin de chaque simulation, nous conservons la phase d’annihilation

comme information. Jeanet al. (2006) ont estiméf

P s

pour les cinq phases principales du MIS à

partir des travaux de Guessoumet al. (2005). Ces fractions sont respectivement égales à 88.8%,

94.1%, 99.9%, 87.4% et 41.9% pour le MM, CNM, WNM, WIM et HIM.

Si l’on suppose un régime de production stationnaire pour une source s de positrons, c’est

à dire que l’on suppose que le taux de production de positrons est égale à tout instant au taux

d’annihilation des positrons produits par cette source, le flux à 511 keV d’un positronk produit

parspeut s’écrire :

F

₅₁₁^k,s

= ^2×[(1−f

^Ps,k

) + 0.25f

Ps,k

]

4πd

²_k

× ^N˙

s e+

N

_pos

ph cm

−2

s

−1

, (3.68)

où d

_k

est la distance Terre-positron (éq. 3.67), f

Ps,k

est la fraction de formation de Ps dans la

phase dans laquelle il s’annihile, ˙N

_e^s+

est le taux de production galactique de positron de la source

s(sections2.1et3.3.3) etN

pos

est le nombre total de positrons simulés. Etant limité par le temps

de calcul et la puissance matérielle, il nous est impossible de simuler le nombre de positrons qui

est produit par seconde par la sources. Ce nombre tourne le plus souvent autour de 10

42−43

(voir

section 2.1). Nous simulons donc un grand nombre N

pos

et nous associons à chacun la fraction

˙

116 3.4. Modélisation de l’émission à 511 keV

associé à la sourcesen sommant simplement le flux de chaque positronk simulé :

F

₅₁₁^s

=

Npos

X

k=1

F

₅₁₁^k,s

ph cm

−2

s

−1

, (3.69)

Il ne nous reste plus qu’à représenter la distribution de ce flux sur une carte du ciel. Pour

cela, nous avons utilisé la méthode de représentation HEALPix (Górski et al.2005) qui découpe

la sphère céleste en pixels de même angle solide. En bref, la résolution d’une carte HEALPix est

définie par le paramètre N

_side

= 2

k

avec k entier compris entre 1 et 29. N

_side

permet ensuite

de définir le nombre de pixels par N

_pixel

= 12N

_side²

. L’angle solide d’un pixel sera donc Ω

pixel

=

41252/N

pixel

deg

2

. Dans notre étude, la résolution angulaire n’a pas besoin d’être infiniment petite

puisque la résolution angulaire de SPI/INTEGRAL n’est que de_≃(2₋3)˚. Par la suite, les cartes

que nous présentons ont été générées avecN

_side

=64, correspondant à Ω

pixel

= 0.83 deg

2

.

Pour construire ces cartes, il suffit de calculer les coordonnées galactiques (l, b) de chaque

positronk:

l= arctan ^y

x−x

_⊙

b= arctanp ^z

(x−x

_⊙

)

2

+y

²

^. (3.70)

A chaque positronk est donc associé un couple de coordonnées galactiques (éq.3.70) et un flux

à 511 keV (éq. 3.69). Le flux total d’un pixel de la carte HEALPix correspond donc à la somme

de tous les flux des positrons dont les positions (l, b) sont recouvertes par l’angle solide du pixel

considéré. Par itération, on construit aisément la carte totale de l’émission à 511 keV. Les données

auxquelles nous allons comparer nos cartes simulées sont des distributions du flux en intensité

lumineuse (en ph cm

−2

s

−1

sr

−1

). Nous avons donc transformé nos cartes de flux (en ph cm

−2

s

−1

)

en carte d’intensité en divisant simplement le flux de chaque pixel par Ω

pixel

.

Comme déjà évoqué, nos simulations sont limitées par la statistique. Le nombre limité de

positrons simulés va mener à la réalisation de cartes légèrement bruitées. Pour réduire ce bruit

statistique, nous avons donc appliqué sur les cartes HEALPix un algorithme de lissage adaptatif

gaussien (Ebeling et al.2006). En résumé, cet algorithme nécessite de choisir un seuil de lissage

N

_min

d’une carte dont les pixels sont remplis de valeurs N quelconques. Cet algorithme lisse

ensuite avec une gaussienne de plus en plus large la carte HEALpix. Si à une largeur de gaussienne

donnée, il existe des pixels recouverts par la gaussienne avec des valeursN telles queN > N

_min

alors la carte originale composée uniquement de ces pixels est lissée avec la gaussienne de largeur

considérée ici, et cette carte lissée est ajoutée à la carte totale du lissage. Ces pixels ne seront

plus re-lissés pour les itérations suivantes. Cet algorithme est très efficace dans le sens où il

supprime/dilue le bruit tout en conservant les structures réelles. Cependant un choix intelligent

doit être fait pourN

_min

dans le but de ne pas «sur-lisser» la carte. En effet, siN

_min

est choisi trop

grand, les cartes seront trop lissées car il faudra des gaussiennes très larges pour que les pixels

répondent à la conditionN > N

_min

et ces valeurs des pixels seront diluées dans des gaussiennes

avec la même largeur. A l’inverse si N

_min

est pris trop petit, la condition N > N

_min

sera vite

satisfaite pour chaque pixel (avec une largeur de gaussienne petite) et la carte sera à peine lissée

et les fluctuations statistiques de celle-ci ne seront pas supprimées.

Ce code de lissage adaptatif m’a été fournie par Jürgen Knödlseder et Tristan Grégoire

(IRAP). Leur code a été utilisée dans l’optique de lisser des cartes de population synthétique

de pulsars ms (Grégoire 2013). C’est à dire qu’ici les valeursN correspondent à des nombres. J’ai

donc dû adapter ce code pour lisser des cartes de flux et non de population. LeN

_min

correspondra

donc, en ce qui nous concerne, à une intensité seuil limite. Cette valeur sera donc différente pour

chaque carte d’émission associée à une source donnée. En effet, le taux de production galactique

de chaque source est différente et ce taux pondère le flux d’annihilation (voir éq. 3.69). Pour

chaque source étudiée dans le chapitre 4, ce flux seuil a été choisi grossièrement à l’oeil dans le

but de ne pas sur-lisser les cartes.

Cependant, cet algorithme ne permet pas de réduire un bruit statistique typique de l’étude

des cartes de flux, à savoir le flux associé à l’annihilation très proche de certains positrons. Le

flux étant inversement proportionnel à la distance au carré (voir éq. 3.69), les positrons qui

s’annihilent à proximité de la Terre auront un flux très important. Les cartes d’émission peuvent

donc posséder quelques pixels très intenses en avant plan d’une émission diffuse. Ces positrons sont

problématiques par le fait qu’ils ne représentent en rien une signature locale astrophysique. Si le

nombre de positrons simulés tendait vers l’infini, l’émission de ces positrons proches serait diffuse

et à grande échelle. En effet, même avec une faible altitude z par rapport au plan Galactique,

ces positrons vont avoir tendance à s’annihiler à haute voire très haute latitude (voir éq. 3.70).

Pour s’absoudre de ces artéfacts statistiques, nous avons décidé de diluer le flux total de ces

positrons, F

close

511

, sur la sphère céleste de 4π sr. Ainsi, une intensité de F

close

511

/4π sera ajoutée

à chaque pixel des cartes d’intensité dont on a retiré auparavant les contributions ponctuelles

des positrons proches. Cette carte d’intensité est ensuite lissée avec la méthode précédemment

décrite. Dans toutes les cartes du chapitre 4, les positrons proches sont ceux qui vérifient la

con-118 3.4. Modélisation de l’émission à 511 keV

Figure3.18 – Influence du lissage sur une même carte d’intensité à 511 keV (en ph cm−2s−1sr−1). De haut en bas : carte brute, carte brute lissée, carte brute avec dilution des positrons proches, carte brute lissée après dilution des positrons proches. On peut voir que le lissage sur la carte brute fait apparaître des zones d’émissions diffuses à haute latitude qui n’ont pas d’origines astrophysiques (voir texte). Pour les cartes lissées,Nmin= 5×10−7 ph cm−2s−1sr−1.

-ditiond < d

_max

= 1.5 kpc. Tout ce processus est illustré sur la Figure 3.18pour la carte simulée

de l’émission à 511 keV de 100 000 positrons produits par l’

26

Al dans le disque Galactique, dans un

modèle de galaxie sans champ magnétique de halo et avec le modèle aléatoire du MIS. Pour cette

simulation, les positrons proches ne représentent que 0.8% du nombre total de positrons mais

ils représentent _≃38% du flux total à 511 keV. Ces valeurs sont grossièrement représentatives

de toutes les simulations qui ont été effectuées dans le chapitre 4 pour les sources distribuées

dans le disque Galactique : l’

26

Al et le

44

Ti produits par la population d’étoiles massives, le

56

Ni produit dans la composante du disque exponentiel et par la population stellaire jeune. Peu

importe le modèle de galaxie supposé pour la propagation des positrons de ces sources, la fraction

des positrons proches est de l’ordre de (0.5₋0.8)% et leur flux représente jusqu’à (30₋40)% du

flux total à 511 keV associé à la source et à sa composante.

Pour évaluer le biais que pouvait apporter le lissage dans la comparaison aux données, j’ai

effectué des tests de comparaison aux données avec des mêmes cartes lissées et non-lissées. Nous

verrons dans le chapitre4que nous utilisons une méthode d’ajustement de modèle pour comparer

les modèles d’émission aux données. Le principal résultat qui ressort de cette méthode est ce qu’on

appelle le ratio de maximum de vraisemblance (MLR pourmaximum likelihood ratio). Les tests

avec les mêmes cartes, lissées et non lissées, ont montré que les différences dans les résultats sont

plus que mineures avec des ∆MLR.1. Ce qui n’est pas significatif. Ceci s’explique probablement

par le fait que (a) les données que nous utilisons proviennent principalement du bulbe Galactique

et que (b) nos modèles d’émission présentent déjà des émissions faiblement bruitées dans cette

région (ceci est dû à l’accumulation des flux le long de la ligne de visée). Ainsi, le lissage ne

modifie que très peu l’émission originale.

Distribution spectrale de l’émission à 511 keV

Pour modéliser le spectre d’annihilation, j’ai repris les travaux effectués par Guessoumet al.

(2005). Ces auteurs ont calculé les spectres théoriques d’annihilation pour chaque phase du MIS.

Pour cela, ils ont passé en revue et recalculé les différents taux de réaction et largeurs de raie

d’annihilation de chaque processus d’annihilation et ce, pour chaque phase du MIS (voir section

2.3). Ces paramètres physiques leur ont permis de calculer les probabilités relativesf

_p

de chaque

processusp. Ces auteurs ont donc pu calculer le spectre théorique d’une phase donnée à l’aide de

la formule suivante :

S(E) = R

dE

^′

^h3_×

3

4

P

t

(E

^′

) + 2_×

1

4

δ(E

^′

−E

0

)^{i n}X×f

_1,H/H2

G(E, E

^′

,Γ

_if,H/H2

)

+ Y ×f

1,He

G(E, E

^′

,Γ

_if,He

) + 1₋X f

_1,H/H2

−Y f

1,He

×

f

_ce,H/H2

G(E, E

^′

,Γ

_ce,H/H2

) + f

_ce,He

G(E, E

^′

,Γ

_ce,He

)

+ f

_rce

G(E, E

′

,Γ

rce

) + f

_grout

G(E, E

′

,Γ

grout

)^o

(3.71)

+ 21₋X f

_1,H/H2

−Y f

1,He

h

f

_dae

G(E

0

, E,Γ

_dae

)

+ f

_da,H/H2

G(E

0

, E,Γ

_da,H/H2

) + f

_da,He

G(E

0

, E,Γ

_da,He

) + f

_grin

G(E

0

, E,Γ

_grin

)

où X et Y sont les abondances relatives de l’H/H

2

(90%) et de l’He (10%) ; Γ

_p

est la largeur à

mi-hauteur (FWHM) de la raie d’annihilation produite par le processusp(p=if, ce, dae, daH, gr

_in

,

gr

out

= processus de formation de Ps en vol, échange de charge, annihilation directe avec les

électrons libres, annihilation directe avec les électrons liés de l’H, processus à l’intérieur et à

l’ex-térieur des grains) ;f

₁

est la fraction des positrons formant un Ps en vol ;G(E, E

′

,Γ

p

) représente

120 3.4. Modélisation de l’émission à 511 keV

10

^-3

10

^-2

10

^-1

10

⁰

500 505 510 515 520

Molecular

Cold

WNM

WIM

Hot

Arbitrary unit

E(keV)

Figure3.19 – Spectres de l’émission d’annihilation des positrons dans le MM (trait noir), CNM (trait vert), WNM (trait bleu pointillé), WIM (trait bleu tireté) et HIM (trait rouge). Figure extraite dePrantzoset al.(2011).

la fonction gaussienne normalisée à 1, centrée enE, de variable E

^′

et de FWHM Γ

p

;P

t

(E

^′

) est

la fonction deOre et Powell (1949) qui décrit la probabilité pour un photon émis par la

décrois-sance d’un ortho-Ps, d’avoir une énergie E’ comprise entre 0 et 511 keV. P

_t

(E

′

) représente donc

numériquement l’émission du continuum ortho-Ps etG(E, E

^′

,Γ

p

) l’émission directe de deux

pho-tons à 511 keV. Le premier membre de droite (l’intégrale surE

^′

) de l’éq.3.72 représente donc le

spectre d’annihilation des processus de formation de Ps alors que le second membre représente le

spectre des processus menant à une annihilation directe en deux photons à 511 keV. Ces derniers

processus interviennent uniquement quand les positrons sont thermalisés.

Les spectres obtenus par Guessoum et al. pour chaque phase du MIS sont présentés sur la

Figure3.19. On peut y observer que les spectres d’annihilation sont très différents d’une phase à

l’autre, soulignant la prépondérance de certains canaux d’annihilation dans chacune des phases.

Guessoumet al.nous donne donc les spectres théoriques par annihilation dans chaque phase (en

photon/annihilation/keV). Pour une simulation deN

pos

positrons produits par une source s, il

est aisé de calculer le spectre de flux (en ph cm

−2

s

−1

keV

−1

) d’un positron k sachant que l’on

connaît sa distance d

_k

à la Terre et la phase dans laquelle il s’annihile. Il suffit de pondérer le

spectre théorique de la phase donnée (pour une annihilation) par ˙N

_e^s+

/4πd

²_k

N

pos

. En répétant

cette procédure pour chaque positron k, on peut construire le spectre total d’annihilation en

sommant les spectres de tous les positrons.

Les spectres théoriques deGuessoumet al.sont des spectres au repos. Cependant, la Galaxie

est en rotation et ces spectres devraient subir de légers décalages Doppler. Par définition, un

photon émis avec une énergieE

₀

, dans une région Galactique possédant une vitesse radiale v

_r

,

arrivera sur Terre avec une nouvelle énergie E tel que E =E

₀

(1₋v

_r

/c). La vitesse radiale est

la vitesse mesurée le long de la ligne de visée. Si cette région s’éloigne (s’approche) de la Terre,

sav

_r

est positive (négative) et son émission se voit donc décalée vers le rouge (bleu). J’ai donc

implémenté un modèle simple de courbe de rotation Galactique, celui deFich et al. (1989). Ce

modèle est défini uniquement entre un rayon galactocentrique de 3 kpc et 17 kpc. Pour la région

Figure3.20 – Modélisation du spectre d’annihilation de 100 000 positrons produits par l’26Al dans le disque Galactique, dans un modèle de galaxie où il n’y a pas de composante régulière du GMF dans le halo, et où le MIS a été modélisé avec le modèle aléatoire.

interne de la Galaxie (<3 kpc), j’ai repris l’hypothèse deGehrels et Chen (1996) qui considèrent

cette région comme un corps solide en rotation qui se connecte de manière continue à la région

externe (>3 kpc).Fich et al. dérivèrent observationnellement la courbe de rotation suivante

ω(R)

ω

₀

= 1,00746^R

⁰

R − ⁰.017112 , (3.72)

en supposant queR

₀

= 8.5 kpc (distance Terre-CG) et Θ

0

= 220 km s

−1

(vitesse circulaire de la

Terre dans le référentiel local au repos). Dans l’équation,Rcorrespond au rayon galactocentrique

(en kpc) etω correspond à la vitesse angulaire en km s

−1

kpc

−1

(Θ =Rω). Il est important de

noter que ce modèle ne prend pas en compte les dérivées verticales de la courbe de rotation (voir

p. ex.Levineet al.2008). A partir de cette courbe de rotation, on peut calculer la vitesse radiale

d’un objet en rotation circulaire autour du centre de la Galaxie par la relation suivante :

v

r

= (ω−ω

0

)R

0

sin(l) cos(b) . (3.73)

Cette équation nous permet donc de calculer et d’appliquer le décalage Doppler au spectre

d’an-nihilation d’un positron localisé à une position (l, b) et à un rayon galactocentriqueR donné.

Je présente sur la Figure3.20un exemple de spectre modélisé avec la méthode qui vient d’être

décrite. La simulation qui a été utilisée pour générer ce spectre est la même que celle qui a été

utilisée pour modéliser la distribution spatiale de la Figure3.18. Le décalage Doppler de la raie

est ici quasi-nul. Le spectre des positrons s’annihilant dans les longitudes négatives est décalé

vers le bleu avec un décalage Doppler de_∼0.1 keV alors que celui des positrons s’annihilant dans

les longitudes positives est décalé vers le rouge avec un décalage Doppler de _{∼ −}0.1 keV.

APPLICATION DU MODÈLE

Propagation et annihilation des

positrons de la radioactivité β⁺

Les positrons issus de la nucléosynthèse stellaire pourraient expliquer l’émission d’annihilation

que l’on observe au coeur de notre Galaxie. En effet, les radio-isotopes à l’origine de ces positrons

seraient synthétisés en quantité suffisante pour pouvoir rendre compte du taux d’annihilation

galactique dérivé des observations (section2.1.1). De plus, ces positrons sont potentiellement émis

dans le milieu interstellaire avec des énergies de l’ordre du MeV, ce qui permet aussi de satisfaire

les observations (section 1.3). Cependant, les distributions spatiales des sources associées à la

nucléosynthèse stellaire, c’est à dire les étoiles massives et les supernovae, sont loin de refléter la

distribution spatiale de l’émission d’annihilation, à l’image de toutes les sources conventionnelles

de positrons recensées jusqu’ici (section2.1).

Les études récentes dePrantzos(2006),Higdonet al.(2009) etMartinet al.(2012) ont invoqué

le transport de ces positrons sur de longues distances dans le but de résoudre cette problématique.

De ce fait, la distribution spatiale de l’émission d’annihilation ne serait plus corrélée à celle des

sources. Nous avons donc testé ce scénario à l’aide de notre modèle de transport Monte Carlo

Dans le document Origine et physique d'annihilation des positrons dans la Galaxie (Page 123-200)