Modélisation hydrodynamique .1 Description du code.1 Description du code

Le code hydrodynamique dont nous utilisons ici les résultats est un code initialement développé par Murray (1996) et modifié par Barrière-Fouchet et al. (2005) pour inclure la dynamique de la poussière. Il utilise une méthode SPH (Smoothed Particles Hydrodynamics, voir par exemple Benz 1990; Monaghan 1992; Price & Monaghan 2004), c’est-à-dire une méthode lagrangienne qui suit l’évolution des particules au cours du temps. Le code est bi-fluides, avec une phase décrivant la dynamique du gaz et la seconde celle de grains de poussière de taille unique. Il est à trois dimensions et fait l’hypothèse que le disque est non auto-gravitant et verticalement isotherme avec une loi de température donnée par T(r) ∝ r−3/4

où r est la distance à l’étoile projetée sur le plan équatorial du disque.

La phase de poussière est traitée comme un fluide sans pression et le couplage entre gaz et poussière est décrit par une force de frottement aérodynamique, en supposant que nous sommes dans le régime d’Epstein :

F = ^4π

3 ^ρgazcsa

2v (4.2.1)

où ρgaz est la densité du gaz, cs, la vitesse du son, a la taille du grain et v sa vitesse par rapport au gaz (Weidenschilling 1977). Dans le contexte des disques protoplanétaires, cette loi est valide pour des grains de taille inférieure au centimètre. La force de frottement de la poussière sur le gaz est négligeable et n’est pas intégrée dans les calculs. La turbulence est prise en compte de manière très limitée, par un terme de dissipation dans l’équation du mouvement, choisi pour reproduire le niveau de dissipation caractéristique du modèle de turbulence de Shakura & Sunyaev (1973). Cependant, la longueur caractéristique sur laquelle

Modélisation hydrodynamique 153 la dissipation a lieu est de l’ordre de la longueur de mélange utilisée dans le code et une cascade turbulente ne peut se développer.

Le disque est initialement décrit par des lois de puissance proches des conditions d’équi-libre et le champ de vitesse est képlérien. À partir de cet état initial, l’évolution de la phase de gaz seule est calculée pendant ∼ 8 000 ans, c’est-à-dire 8 orbites à 100 AU, afin de permettre à la pression et à la viscosité artificielle de lisser le champ de vitesse, qui devient sous-képlérien à cause du gradient de pression. Une fois le disque relaxé, la phase de poussière est ajoutée avec les mêmes distribution spatiale et champ de vitesse que les particules de gaz et l’évolution des deux phases est suivie simultanément, pendant de nouveau 8 000 ans. Les simulations sont très coûteuses en temps de calcul, en particulier pour les tailles de grains inférieures à 10 µm car le pas de temps des simulations doit être réduit lorsque la force de frottement augmente. Malheureusement, ce sont ces tailles qui nous intéressent le plus pour détecter d’éventuelles signatures de sédimentation en lumière diffusée. Afin de pouvoir calculer la distribution spa-tiale de plusieurs tailles de grain en un temps raisonnable, les simulations utilisées ici, ont été réalisées avec environ 25 000 particules (réparties uniformément entre le gaz et la poussière). Barrière-Fouchet et al. (2005) montrent que les résultats obtenus sont proches de ceux de simulations à plus haute résolution (∼ 160 000 particules), pour des tailles entre 100 µm et 10 cm.

4.2.2 Couplage des codes hydrodynamiques et de transfert radiatif

Chaque simulation hydrodynamique nous fournit la position des particules de gaz et des particules représentant une taille de grains de poussière. Afin de les exploiter pleinement à l’aide de notre code de transfert radiatif, certains traitements doivent être réalisés : un lissage des données SPH et la reconstruction d’une répartition globale des grains dans le disque.

Lissage des données SPH

Les données issues du code SPH sont d’abord lissées sur une grille régulière. Malgré ce lissage, les données restent relativement bruitées et nous avons réalisé des ajustements analytiques de la densité de poussière. Les profils de densité adoptés sont légèrement différents pour le disque T Tauri et le disque circumbinaire (voir Barrière-Fouchet 2005 pour de plus amples détails).

Pour les deux types de disque, l’ajustement est d’abord réalisé dans la direction verticale où nous adoptons un profil gaussien1.

À chaque rayon, un ajustement sur les deux paramètres ρmax et σ0 est réalisé :

ρ(z) = ρmax exp  − ^z 2 2 σ2 0  , (4.2.2)

Ces deux paramètres sont des fonctions de r et sont ensuite ajustés à l’aide des fonctions suivantes, qui permettent de bien reproduire les densités obtenues par le code SPH (figure 4.1) :

– pour le disque entourant l’étoile T Tauri : H(r) = 4 X 0=1 airⁱ et Σ(r) = exp 4 X i=0 birⁱ ! , (4.2.3)

1Selon Garaud et al. (2004), l’évolution temporelle de la densité de poussière est auto-similaire et le profil doit rester proche d’une distribution gaussienne, avec une largeur et une amplitude qui évoluent en fonction du temps.

154 4.2.2 Couplage des codes hydrodynamiques et de transfert radiatif 0 100 200 300 400 500 0 10 20 30 40 50 x (UA) H (UA) 0 100 200 300 400 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x (UA) Σ x 10 −4 (unites du code) −8 −7 −6 −5 −4 −3 100 300 500 −100 0 100 x (UA) y (UA) −8 −7 −6 −5 −4 −3 100 300 500 −100 0 100 x (UA) y (UA) −8 −7 −6 −5 −4 −3 100 300 500 −100 0 100 x (UA) y (UA) a _b c d e

Figure 4.1 – Exemple d’ajustement, pour des particules de 5 µm dans le disque circumbinaire.

(a) : échelle de hauteur. (b) : densité de surface. Dans les deux cas, les courbes en pointillés

correspondent aux résultats de l’ajustement dans la direction verticale et les courbes pleines aux résultats des ajustements dans les directions verticale puis radiale. (c) : densité des particules SPH une fois lissée sur une grille régulière (d) : ajustement vertical de la densité.

(e) : ajustement des données dans les directions verticale puis verticale. Figure extraite de

Barrière-Fouchet (2005)

– pour le disque circumbinaire :

H(r) = a₂r²+ a₁r + a₀ et Σ(r) = Σ_maxexp (ln(r) − ln(rmax))2

2σ′2 0



. (4.2.4)

Reconstruction d’une distribution en taille de grain

Les simulations hydrodynamiques permettent de calculer indépendemment la répartition spatiale des grains pour un nombre restreint de tailles de grains. Pour produire les SEDs et images en lumière diffusée, nous avons besoin de reconstruire une distribution en tailles de grain en chaque point du disque. Comme nous ne prenons pas en compte les interactions (croissance ou destruction via les collisions) entre grains, nous pouvons superposer les résul-tats de simulations avec des grains de tailles différentes. Afin d’obtenir un échantillonage en taille suffisant, nous interpolons linéairement les paramètres des ajustements en fonction du logarithme de la taille des grains, en faisant l’hypothèse que les grains les plus petits de notre distribution, à savoir a = 0.03 µm suivent parfaitement le gaz. Il ne nous reste alors plus qu’à calibrer la fraction relative de chaque grain et nous choisissons une distribution en loi de puissance dn(a) ∝ a−3.7da, où n est la population des grains intégrée sur l’ensemble du disque.

Étude d’un disque d’étoile T Tauri 155