2.1 Introduction
Comme nous avons vu dans le chapitre précédent, la modélisation est la procédure de mise en équations mathématiques des lois de la nature de. Ces équations définis les relations entre différentes variables du système c'est-à-dire les différents si- gnaux d’entrées-sortie du système. Le modèle d’un système peut être paramétrique avec une structure fixe et un nombre fixe de paramètres, ou non paramétrique avec une structure variable sous forme d’une somme de termes algébriques.
L’identification des systèmes est l’ensemble des techniques qui consistent | estimer les paramètres du modèle mathématique à partir d’un ensemble de mesures expé- rimentales d’entrées-sorties issues d’un système dynamique. Les modèles résul- tants de cette procédure doivent fournir une reproduction fidèle du comportement réel du système physique dans le but de simulation ou de prévision, de com- mande, de surveillance, etc.
Les méthodes d'identification peuvent être classées en paramétriques et non paramé- triques.
• Les méthodes d'identification paramétriques sont des techniques d'estimation des paramètres pour un modèle de structure donnée. C'est une opération de re- cherche statistique des valeurs numériques des paramètres pour atteindre le mei l- leur accord entre la sortie théorique du modèle et la sortie mesurée. Ces méthodes
sont caractérisées par le nombre de paramètres utilisés dans une structure donnée pour approximer le comportement désiré.
Les méthodes d'identification non paramétriques sont des techniques permet- tant l'estimation du comportement du processus par interpolation. Ces méthodes sont caractérisées par le nombre de termes utilisés pour approximer le comporte- ment désiré. Typiquement, les méthodes non paramétriques comprennent l'analyse de corrélation, qui estime la réponse impulsionnelle d'un système, et l'analyse spectrale, qui estime la réponse en fréquence d'un système. Ce chapitre ne fait pas l’objet de ce type d’identification.
2.2 Types de modèles paramétriques
Les modèles linéaires paramétrés peuvent être classés en deux types principaux :
2.2.1 Modèles de Connaissance
Les modèles de connaissance sont construits à partir des lois physiques, ils sont basés sur la connaissance détaillée du système. Le modèle ainsi obtenu est dit m o- dèle de connaissance ou modèle boite blanche. Lorsque les relations entre les va- riables du système sont établies avec des équations différentielles, il se trouve qu'un certain nombre de constantes qui représente les paramètres du système ont des valeurs inconnues. Les paramètres de ce type de modèle représentent des grandeurs physiques, ou ont au moins une interprétation physique. Ce type de modélisation est analytique et son comportement est très proche au comportement du système réel si ses paramètres sont bien ajustés, donc sa réponse est bien ada p- tée à la réponse du système réel. Cela signifie que la stabilité du système implique la stabilité du modèle et le modèle reste valide dans tout l’espace des signaux du système. Par contre, un modèle de connaissance est caractérisé souvent par sa complexité qui dépend de complexité du système et par conséquent il est souvent difficile à trouver.
2.2.2 Modèles de Comportement
Les modèles de comportement sont des familles de modèles flexibles d’applicabilité générale. Les paramètres de ces modèles n'ont pas une interpréta- tion physique directe, mais ils sont uniquement utilisés comme des rapports entre
les signaux d'entrée et de sortie du système. Ces modèles sont également connus sous le nom modèle boîte noire. Parfois, nous sommes confrontés à des systèmes ou des sous-systèmes qui ne peuvent pas être modélisé à partir de connaissances physiques. La raison peut être que la structure du système ou son mécanisme in- terne est inconnu, ou qu'elle serait être trop compliqué d’en démêler des relations physiques. Il est alors possible d'utiliser des modèles standards, qui sont connus, par l'expérience, à êtres capables d’approximer un large intervalle de la dynamique des différents systèmes. Pratiquement, ces modèles donnent des résultats très proches à la réalité, à coté des modèles de connaissance. La structure de ce type de modèle est très flexible et peut s’adapter facilement avec les algorithmes d’identification. Les formes linéaires constituent la classe la plus commune de ces modèles standards. Par contre, cette structure n’est qu’une approximation de la structure réelle du système physique et par conséquent, elle peut fournir des esti- mations biaisées, non convergentes ou les deux. Si le modèle est utilisé hors de sa zone de validité (où il est identifié), il peut souffrir des problèmes de divergence ou d’instabilité.
Quelques notations utiles sont illustrées dans la section suivante [1] :
Constant: une quantité dans le modèle qui ne varie pas avec le temps. Paramètre du système: une constante, qui est donnée par le système.
Paramètre de conception: une constante que l'on peut faire varier afin de don-
ner au système des propriétés différentes.
Signal ou variable: une quantité dans le modèle qui varie avec le temps.
Signal externe: une variable qui affecte le système sans être affectée par d'autres
variables du système.
Entrée: un signal externe au système dont nous pouvons choisir ses variations
dans le temps, désigné par u, représente souvent le signal de commande.
Signal de perturbation: un signal externe au système qui a une influence sur le
système et qu’on ne peut pas l’influencer, dénoté par w.
Le signal de commande et signal de perturbation sont des entrées du système.
Signal interne: une variable dans le système qui est ni une sortie, ni un signal
externe, elle représente l’état du système constituant la mémoire du système et ca- dence toute l’information sur son passé.
2.3 Structures des modèles LTI
En automatique classique, il y a deux structures principales que peut prendre un modèle d’un système linéaire :
La première forme lie l’entrée, l’état du système et la sortie avec deux équa- tions appelées « équation d’état» et « équation de sortie ». Cette forme est connue sous le nom « forme d’Entrée/Etat/Sortie (E/E/S) ».
La deuxième forme lie l’entrée avec la sortie | travers une fonction appelée « Fonction de Transfert », cette forme est connue sous le nom « forme d’Entrée/Sortie (E/S) ».
2.3.1 Modèle d’Espace d’Etat
Une représentation d'état ou modèle d'état est un ensemble fini d'équations différentielles du premier ordre reliant des grandeurs scalaires, divisées en variables internes (ou variables d'état) et en variables externes comprenant les grandeurs d'entrée et de sortie.
Dans le cas du systeme linéaire, le modèle d’état prend la forme :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d x t A x t B u t dt y t C x t D u t (2.1)
où A( ) n n est la matrice d’état ou d’évolution,B( ) n m est la matric e d’entrée, C( ) p n est la matrice de sortie ou d’observation, D( ) p m est la matrice de transmission directe des entrées sur les sorties.
Dans le cas discret :
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k F x k G u k y k C x k D u k (2.2)
où les matrices F et G sont données par :
0
, T
AT A
T est la période d’échantillonage. La matrice D est généralement nulle dans le cas d’un système dynamique causal car les sorties ne peuvent pas réagir instantanément aux variations des entrées. Le vecteur paramètre ( , ...,1 2 k)T contient les parametres inconnus du système.
2.3.2 Modèles de Fonction de Transfert
Les fonctions de transfert sont classées, selon l’axe du temps t, en deux catégories principales : les fonctions en temps continu avec