c) Méthode de Levenberg-Marquardt

La méthode de Levenberg [11] propose une concaténation de ces deux équations en une seule :

1  









i

i i _{ }

(2.52) Avec   1/ ,est le facteur de déplacement et de balancement progressif entre les deux méthodes. Lorsqu’on se trouve trop loin du minimum (c.|.d. l’erreur est très grande) on augmente la valeur de , ce qui permet à la méthode de Levenberg de basculer vers la méthode du Gradient, et lorsqu’on se trouve proche du minimum (c.|.d. l’erreur est très petite) on diminue le facteur , ce qui néglige son terme devant le terme du Hessien, dans ce cas, la méthode de Gauss-Newton prend la manœuvre et accélère l’opération d’optimisation vers le minimum. La méthode Marquardt [11] propose une version améliorée de la méthode de Levenberg par remplacement de la matrice d’identité par la diagonale de la matrice Hessienne ce qui améliore le facteur déplacement et de balancement ,









Cette procédure garantit une convergence robuste, même en présence d’une ma u- vaise initialisation de θ, si elle est choisie dans le voisinage de l’optimum global. L’avantage de cet algorithme est qu’aucune hypothèse particulière n’est nécessaire sur les spécifications du bruit de sortie.

2.7 Qualité du Modèle

Un bon modèle signifie qu'il est proche de la description vraie. Dans la pratique, aucune "vrai" description n’est disponible et la qualité du modèle doit donc être jugée pour des motifs différents. Un modèle de qualité est lié au domaine d’utilisation et des conditions de fonctionnement de ce modèle. Il peut être exce l-

lent pour la conception de la commande, mais insuffisant pour la simulation. La qualité du modèle est liée aussi à la capacité du modèle à reproduire le comport e- ment du système *1+. Cela signifie qu’une sortie simulée ou prédite par le modèle est généralement en bon accord avec la sortie produite par le système.

La qualité du modèle est également liée à la stabilité du modèle. Pour la même en- trée du système réel et du modèle, si le système est stable le modèle est stable aussi pour les mêmes conditions de fonctionnement. La validation du modèle consiste à vérifier tous les aspects des propriétés du modèle. Un outil important est d’évaluer la capacité du modèle par simulation et par prévision s’il peut reproduire le co m- portement du système à travers des données de validation. Une autre technique utile est d'analyser les propriétés des résidus, s’ils ne contiennent pas des proprié- tés tronquées du système réel. Le choix d’une structure de modèle ainsi que l'ordre du modèle doivent déterminer le nombre d'entrées et de sorties retardées (déca- lées) | utiliser dans la description du système avant qu’un changement de u affecte y. L'insuffisance du modèle peut prendre principalement deux différentes formes, la Variance et le Biais.

a) Variance

L’erreur du modèle se pose en raison de l'influence du bruit sur le système et la mesure. Notons que, si une expérience est répétée avec exactement les mêmes si- gnaux d’entrées, la sortie ne sera pas exactement la même car le signal de bruit n’est pas reproduit. Pour cette raison le modèle qui en résulte sera différent. Ces variations de modèles sont appelées les erreurs de la variance. Les erreurs de la va- riance peuvent généralement être réduites en utilisant plus de séquences de m e- sure.

b) Biais

Si la structure du modèle est insuffisante ou n'est pas capable de décrire le système, même si les mesures ne sont pas entachées de bruit, de telles erreurs seront appe- lées erreurs systématiques ou les erreurs de biais. Les erreurs de biais sont constatées comme des variations dans le modèle lorsqu'il est ajusté sur les données qui ont été recueillies dans des conditions différentes (mêm e si les intervalles de mesure sont suffisamment longs pour annuler l'erreur de la variance). Les différents aspects du système sont ajustés pour des propriétés dominantes du système pour des condi-

tions différentes (points de fonctionnement, caractéristiques d'entrée, etc.). C’est la raison probable pour le biais du modèle.

Un bon modèle est donc celui qui a à la fois une faible variance et un faible biais.

2.8 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté les notions de base sur la modélisation des systèmes LTI. Deux types de modèle sont présentés, le modèle de connaissance et le modèle de comportement, le premier présente l’avantage d’être stable et cohérente tandis que le deuxieme est d’une applicabilité générale. Les différentes structures de fonctions de transfert donne la flexibilité et la simplicité d’approximer le comportement disiré. Avec l’ensemble des données d’entrées/ sorties, la t}che principale du système d’identification est d’évaluer les paramètres du modèles. La détermination des valeurs numériques des paramètres de ces modèles est une tache importante, pour cela nous avons examiné quelques techniques d’estimation paramétrique.

Les structures de modeles LTI, ainsi que les méthodes d’identification assossiées peuvent êtres utilisées pour identifier des systèmes non linéaires dans un contexte linéaire en utilisant une approche LPV. Les différentes structures de moélisation et les techniques d’identification associés de Cette dernière seront présentées d’ une manière détaillée dans le chapitre suivant.

Chapitre 03

Modélisation et Identification des