Approches d'identification directe et indirecte

L’approche indirecte consiste à déterminer, dans un premier temps, un modèle dis- crétisé, puis à travers une opération de conversion ce modèle est converti en m o- dèle | temps continu. Cependant, l’étape de conversion discret -continu dans le cas LPV est délicate et peut être très sensible au choix de la méthode de conversion [6 ch. 4+, *14+ et voire l’exemple 3.5.

L’approche directe consiste à estimer les paramètres du modèle directement sous la forme continu en une seule étape, | l’aide des méthodes développées spécifiqu e- ment pour l’identification de modèles à temps continu. Bien sûr, l'estimation des modèles en temps continu à travers des données en temps discret est rendue plus difficile, parce que le signal d'entrée n'est pas normalement connu au cours de la période d'échantillonnage. Toutefois, dans le cas où l'entrée est presque constante sur l'intervalle d'échantillonnage, l’erreur de mesure va considérablement dim i- nuer, dans ce cas, il est possible de formuler simplement une estimation optimale.

3.10.5 Avantages d'estimation directe

Dans la pratique, les systèmes à temps continu ne peuvent êtres identifiés que sur la base des données mesurées échantillonné. Malheureusement, la transformation des modèles DT-LPV en modèles CT- LPV est plus compliqué que dans le cas LTI (voir l’exemple 3.5). Ainsi, il est souvent difficile en pratique d'obtenir une réalisa- tion à TC adéquate à partir d'un modèle à TD identifié [14]. Par conséquent, l’identification directe du modèle en temps continu est avantageuse pour un ce r- tain nombre de raisons :

 les paramètres des modèles étant indépendants du pas d’échantillonnage. Dans ce cas, il y a avantage | utiliser les méthodes d’identification directe | temps continu.

 les méthodes d’identification directes | temps continu peuvent être adaptées facilement pour traiter le cas des données irrégulièrement échantillonnée (par interpolation) [41].

 De plus, l'estimation directe à TC dans le cadre LPV utilise un modèle parcim o- nieux, (pas de paramètres de plus à estimer) et par conséquent le moindre de biais.

 Dans l’approche locale, pour tout comportement figé du système LPV (pour des trajectoires fixes de p) il est rationnel d’utiliser un procédé d'identification directe à TC.

 Enfin, et peut-être le plus important, les modèles en temps continu peuvent être identifiés à partir de données rapidement échantillonnées, tandis que les m o- dèles à temps discret rencontrent des difficultés lorsque la fréquence d'échanti l- lonnage est trop élevé par rapport à la fréquence dominante du système étudié [42]. Dans cette situation, les valeurs propres se trouvent trop près du cercle unitaire dans le domaine complexe et l’estimation des paramètres du modèle en temps discret devient statistiquement mal définie. Les conséquences pratiques de cette sont : soit que l'estimation en temps discret ne converge pas correcte- ment, fournissant ainsi une interprétation erronée des données, ou que, même si la convergence est atteinte, le modèle en temps continu, tel qu'il est obtenu par conversion standard (par exemple la fonction d2c du Matlab) de modèle estimée en temps discret, ne fournit pas un modèle en temps continu correcte [41]. Noter que d'essayer d'identifier un modèle à temps discret pour le système consi- déré continu est tout à fait une tâche délicate et nécessite des solutions aux pro- blèmes suivants:

1- Estimation d’un modèle discret, où les dépendances des paramètres sur p sont non linéaires, est difficilement réalisable en utilisant les méthodes param é- triques existantes. car elle nécessite une approche d’optimisation non linéaire personnalisée.

2- la propriété de temps variant du système LPV ne serait pas directement liée aux coefficients du modèle DT considérée et, par conséquent, n'a pas pu être clair e- ment identifié.

3- Pour un modèle LPV | représentation continue simple, l’équivalant discret poses un nombre de problèmes qui n’existe pas dans l’original continu, on ob- tient :

 une augmentation du nombre de paramètres à estimer,

 des fonctions non linéaires de p dans les paramètres,

 apparition de quelques dépendances dynamiques sur p (de nouveaux termes p (k-1), p (k-2), ...).

Une illustration de certains de ces problèmes est donnée à travers l'exemple su i- vant :

Exemple 3.5 (Quelques problèmes d'approche indirecte)

Considérons le modèle CT-LPV simples suivant :

( ) ( ( )) ( ) ( ),

d

y t a p t y t bu t

dt   (3.63) Où p, y et u sont les signaux de séquencement, de sortie et d'entrée du système res- pectivement, a p t( ( )) et b sont deux paramètres réels variant et constant respecti- vement.

En utilisant l’approximation en arrière d'Euler, d y t( ) y k( )y k( 1),

dt _Te pour la dérivée, avec T_e 0 est la période d'échantillonnage, (3.63) se transforme en:

     1 ( ) ( 1) ( ), 1 ( ( )) 1 ( ( )) e e e bT y k y k u k T a p k T a p k (3.64)

Ce modèle discrétisé a maintenant deux coefficients dépendants de p à estimer à la place d’un seul paramètre dans (3.63). De plus, la dépendance des coefficients sur p n’est pas linéaire et pose une singularité chaque fois que ( ( ))  1 .

e a p k

T

Une autre façon à approximer la dérivée dans le temps discret est d'appliquer une approximation en avant d'Euler: d y t( ) y k(  1) y k( ),

dt _Te Qui donne

     

( ) (1 _e ( ( 1))) ( 1) _e ( 1),

Ce modèle discrétisé ne dispose qu'un seul coefficient dépendant de p et la linéarité de la dépendance est préservée, mais maintenant l'équation du modèle est en fonc- tion de p k( 1)au lieu dep k( ), c'est-à-dire un changement de la dépendance dy- namique du système sur p. En outre, il est bien connu dans l’analyse numérique que l'approximation en avant d'Euler est plus sensible au choix de Te en terme de stabilité numérique que l'approximation en arrière d'Euler [43]. Cela signifie que (3.65) nécessite une fréquence d'échantillonnage beaucoup plus rapide que dans (3.64) pour donner une approximation stable du système. Ainsi la représentation (3.65) est plus sensible aux incertitudes des paramètres et cause des problèmes si elle est utilisée pour l’estimation *14].

On peut conclure que même pour un simple modèle LPV-TC, l’estimation d'un modèle DT dont l’objectif d'obtenir un modèle CT est une t}che difficile avec de nombreux sous-problèmes pour lesquels il n'existe pas de solutions théorique gé- nérale disponibles.

Contrairement à une approche indirecte, une solution directe offre une façon eff i- cace pour surmonter les problèmes précédents. En raison des récents développ e- ments technologiques des instruments d'échantillonnage, l'utilisation d’une a p- proche d’estimation directe a plusieurs intérêts, et montre une meilleure perfor- mance que l’approche indirecte.