Chapitre 2 : Modélisation et synthèse de la marche
2.2. Modélisation de la marche tridimensionnelle
2.2.2. Modélisation dynamique
Dans le cas de la méthode d’optimisation d’un pas de marche que nous allons utiliser, nous avons besoin de déterminer les couples actionneurs en fonction des variables de configuration. Il est donc nécessaire de faire appel à la dynamique inverse pour obtenir les équations du mouvement.
Deux choix s’offrent à nous pour calculer la dynamique inverse : le modèle dynamique de Lagrange et celui de Newton-Euler. Le modèle dynamique de Lagrange est très calculatoire. C’est pourquoi nous avons fait le choix du modèle dynamique de Newton- Euler. Ce dernier présente l’avantage de pouvoir calculer simplement le modèle dynamique
Sens de marche 4 3 2 1 4 1 3 2
46
inverse. Nous avons utilisé les équations de Newton-Euler avec la double récurrence de Luh, Walker et Paul [LUH 80].
La première récurrence permet de calculer les vitesses, accélérations et torseurs dynamiques de chaque corps en partant du pied d’appui et en allant vers le pied balancé.
La seconde récurrence permet de calculer les efforts et les couples dans les articulations en partant du pied balancé et en allant vers le pied d’appui.
Figure 2-2. Chaîne cinématique en double appui
Nous noterons pM le nombre de solides de la chaîne cinématique (dans notre cas pM = 13).
2 0 1 pq pq−1 pq−2 r
Σ
r47 Dans cette approche, nous cherchons à déterminer les efforts d’interaction Yt"&'/t" entre les solides et en appliquant le principe fondamental de la dynamique aux sous-chaînes distales v = ⋃2xzy x (Figure 2-2) successivement pour i décroissant de pM à 1 soit :
Y{ v = Y|}~•/€", r = pM, . . ,1 (2.1)
où Y{ v et Y|}~•/€" représentent respectivement le torseur dynamique de v et le torseur des efforts extérieurs appliqués à v .
De plus, nous pouvons décomposer ce dernier torseur comme suit :
Y|}~•/€" = Y|}~•→€/€"+ Yt"&'/t" (2.2)
où Y|}~•→€/€" représente le torseur des efforts extérieurs appliqués à la chaîne complète Σ
agissant sur Σ et Yt"&'/t" correspond au torseur recherché.
Nous pouvons également décomposer Y|}~•→€/€" sous la forme suivante :
Y|}~•→€/€" = Y|‚ƒ„…/€" + Y€-/t†y (2.3)
où Y|‚ƒ„…/€" représente le torseur des efforts dus à la gravité agissant sur v et Y€-/t†y
représente le torseur des efforts exercés par l’environnement sur le solide en bout de chaîne
2y (dans notre cas, ce sont les efforts de contact du pied balancé sur le sol).
Compte-tenu de la représentation donnée au torseur des efforts extérieurs, l’équation torsorielle (2.1) peut être dissociée sous la forme de deux équations vectorielles (équation de la résultante dynamique et équation du moment dynamique en ) suivantes :
= t"&'/t" = f v − |}~•→€/€" (2.4)
‡ = ‡t"&'/t" = ˆ‰" v − ‡|}~•→€/€" (2.5)
où f v et ˆ‰" sont respectivement la résultante dynamique et le moment dynamique en de v .
Les récurrences à construire reposent sur la décomposition :
v = ‹ vŒ (2.6)
Nous obtenons ainsi la double récurrence souhaitée pour le système locomoteur de Tidom.
2y = m2y • a2y/ − Ž − •O9M (2.7)
‡2y = ˆ‰†y 2y − 2ya2y ∧ m2yŽ − 2yY‘’∧ •O9M− •“J“ (2.8) où m2y est la masse du solide pM (voir Tableau 1-3), • a2y/ est l’accélération du centre de gravité a2y du solide 2y, Ž est le vecteur représentant la gravité et Y‘’ est le point situé
48
à l’intersection entre l’arête avant du pied balancé et le plan sagittal passant par la cheville de la jambe balancée.
= Œ + m • a / − Ž (2.9)
‡ = ‡Œ + ˆ‰" + ) )Œ ∧ Œ − )a) ∧ m Ž (2.10)
où •O9M et •“J“ sont respectivement les vecteurs résultant et moment en Y‘’ (Figure 2-4) des efforts de contact entre le pied balancé et le sol.
Avant de continuer, nous allons définir le vecteur • par :
• = •O9M •“J“ ” = • • •@ •L •N •Q ” (2.11)
Soient gMJ;→t†y et ‡MJ;→t†y Y‘’ respectivement la force et le moment exercés par le sol sur le solide 2y.
• = gMJ;→t†y. •L = ‡MJ;→t†y Y‘’ .
(2.12) • = gMJ;→t†y. •N = ‡MJ;→t†y Y‘’ .
•@ = gMJ;→t†y. •Q = ‡MJ;→t†y Y‘’ .
Les moments ‡ de l’équation (2.10) se décomposent sous la forme :
‡ = • $ + ‡> (2.13)
où :
- • est le couple actionneur exercé par sur
- ‡> est le couple dissipatif exercé par sur obéissant, par exemple, à une loi de type frottement sec/amortissement visqueux telle que :
‡> , – = −ktqrŽpG – $ − k— – $ (2.14)
avec kt un couple de frottement sec et k— un coefficient de frottement visqueux. Dans notre cas, nous négligerons les frottements.
Les couples actionneurs peuvent ainsi être calculés de manière formelle à l’aide du logiciel Maple et exportés sous forme de fichiers C pour être utilisés plus facilement dans un autre environnement logiciel (dans notre cas Matlab).
49 Figure 2-3. Algorigramme du modèle dynamique
Les couples actionneurs dépendent des , – , ˜ et • et seront détaillés à la fin de ce paragraphe.
9. Moment dynamique de au point dans 5. Moment dynamique au centre
de gravité a de dans 4. Moment dynamique au centre de gravité a de dans 1. Matrices de transformation homogène de à et de à
3. Moment cinétique au centre de gravité a de dans
2. Vecteurs rotation instantanée de par rapport à dans
7. Vitesse du centre de gravité a de dans
8. Accélération du centre de gravité a de dans 6. Position du centre de gravité a de dans
10. Force exercée par sur dans
11. Moment exercé par sur dans
50
L’algorigramme (Figure 2-3) fait appel aux grandeurs suivantes : - m : masse de chaque solide,
- )a) : position du centre de gravité du solide dans le repère local ,
- d™" : matrice d’inertie du solide calculée en son centre de gravité a ,
- : position articulaire du solide ,
- •O9M : efforts de contact entre le pied balancé et le sol.
1) Matrice de transformation homogène du repère au repère
Y , = Z
cos š
cos # sin š cos # cos š− sin š − sin #0 −, sin #( sin # sin š
0 sin # cos š0 cos #0 , cos #1
` (2.15)
Cette matrice nous est donnée par le paramétrage de Denavit-Hartenberg. Elle peut s’écrire également sous la forme :
Y , = › œ , • ) )• ž"&'
0 0 0 1 Ÿ (2.16)
Les matrices de transformation homogènes du repère au repère s’écrivent :
Y , = Y , × Y , (2.17)
Y , = › œ , • )• ž-
0 0 0 1 Ÿ (2.18)
2) Vecteur rotation du solide par rapport au solide exprimé dans le repère
* / = œ , × * / + – $ (2.19)
3) Moment cinétique au centre de gravité a du solide dans son mouvement par rapport à , exprimé dans le repère
51 4) Moment dynamique au centre de gravité a du solide dans son mouvement par
rapport à , exprimé dans le repère
ˆ™" / =
F
Fn ¢¡™" / £ž
"+ * / ∧ ¡™" /
(2.21)
5) Moment dynamique au centre de gravité a du solide dans son mouvement par rapport à , exprimé dans le repère
ˆ™" / = œ , × ˆ™" / (2.22)
Nous avons fait le choix d’exprimer toutes les grandeurs physiques dans le repère
6) Position du centre de gravité a du solide dans le repère
Les positions des centres de gravité a des solides sont données dans le repère
a = Y , )a (2.23)
7) Vitesse du centre de gravité a du solide exprimée dans le repère
¤™" / =
F
Fn ž-+œ × ¥* / ∧ )a ¦ (2.24)
8) Accélération du centre de gravité a du solide exprimée dans le repère
•™" / =
F
Fn ¢¤™" / £ž- (2.25)
9) Moment dynamique du solide au point exprimé dans le repère
ˆ‰" / = ˆ™" / + )a ∧ [m •™" / ] (2.26)
10)Force exercée par le solide sur le solide exprimée dans le repère
L’expression de la force exercée par sur dans est donnée dans les équations (2.7) et (2.9).
52
11)Moment en exercé par le solide sur le solide exprimé dans le repère
L’expression du moment exercé par sur dans est donnée dans les équations (2.8) et (2.10).
12)Couple actionneur dans
On détermine d’abord le moment exercé par sur dans le repère :
‡ž" = Y , ‡ (2.27)
Le couple articulaire est la composante du moment exercé par le solide sur le solide dans le repère suivant l’axe :
k? = ‡ž". (2.28)