Contraintes de stabilité de la marche

Dans cette partie, nous présenterons les contraintes nécessaires pour garantir la stabilité du robot. Nous allons d’abord introduire le critère le plus utilisé pour assurer l’équilibre du robot, le ZMP, puis les contraintes le concernant. Pour être sûr que le robot ne risque pas de chuter, il faut également vérifier que l’unilatéralité des appuis est respectée et que les pieds ne glissent pas sur le sol.

2.2.3.2.1. Détermination de la localisation du ZMP

Le critère communément admis pour assurer la stabilité du robot est le ZMP (Zero Moment Point) [VUKO 73], [VUKO 04], [TERA 07] et [VUKO 07]. Il existe en effet un point de la surface de contact entre le sol et le robot où le moment des efforts de contact se réduit à un moment de pivotement autour de l’axe normal au sol. Ce point doit être localisé dans le polygone de sustentation pour que le robot garde son équilibre. Dans [SARD 04], les auteurs

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ont montré que le ZMP est équivalent au centre de pression tant que le robot est en équilibre.

On introduit les notations suivantes :

- _±²‘ est le point appartenant au plan du sol où se situe le ZMP, - ₌ est la résultante des efforts de contact entre le robot et le sol,

- ‡₌ est le moment des efforts de contact entre le robot et le sol calculé au point ,

- ‡_{= ±²‘} est le moment des efforts de contact entre le robot et le sol calculé au point _±²‘.

On cherche à déterminer _±²‘. On résout ainsi l’équation suivante.

‡₌ = ‡= ±²‘ + ±²‘∧ = (2.51)

Sachant que ₌∧ ‡_{= ±²‘} = 0 et ₌. _±²‘ = 0, l’équation (2.51) donne :

±²‘ = =∧ ‡_³• = =³•

(2.52)

En considérant que ₌ = ₌. , on en déduit :

±²‘ = ∧ ‡_.= =

(2.53)

Durant la phase bipodale, les deux pieds sont en contact avec le sol. Nous avons fait le choix de définir un ZMP pour chaque pied. Pour calculer le ZMP du pied balancé, nous considérons que nous connaissons les efforts de contact entre le pied balancé et le sol.

On note _=P{ªet ‡_=P{ª respectivement la résultante et le moment des efforts de contact au niveau du pied balancé en double appui. Par la suite, nous écrirons les vecteurs _=P{ª et ‡_=P{ª comme suit:

=P{ª = • • •@ ” ; ‡_=P{ª Y_‘’ = •_L •_N •_Q ” (2.54) Le moment des efforts de contact entre le pied balancé et le sol s’exprime ici au point Y_‘’ appartenant à l’arête talon. La position du ZMP du pied balancé est calculée par rapport à la

61 position du talon car celui-ci est toujours fixe en double appui quel que soit le mode de marche choisi.

On note _±²‘’ le point appartenant au plan du sol où se situe le ZMP de la jambe balancée. On reprend la formule 2.53 que l’on applique pour le pied balancé au point Y_‘’ :

Y‘’ ±²‘’= ∧ ‡=P {ª _Y

‘’

. _=P{ª (2.55)

En remplaçant la résultante et le moment des efforts de contact entre le pied balancé et le sol, on obtient : Y‘’ ±²‘’= ´−•_•N @ •L •@ 0µ ” (2.56)

Il reste maintenant à calculer la position du ZMP de la jambe d’appui. On commence par la calculer en double appui.

On note _±²‘ª le point appartenant au plan du sol où se situe le ZMP de la jambe d’appui. On note _=?{ª et ‡_=?{ª respectivement la résultante et le moment des efforts de contact au niveau du pied d’appui en phase bipodale.

On reprend la formule 2.53 que l’on applique pour le pied d’appui au point :

±²‘ª{ª= ∧ ‡=? {ª

. =?{ª

(2.57)

Le point est l’origine du repère et se situe par conséquent à l’intersection entre le plan sagittal passant par le centre de la cheville et l’arête pointe du pied d’appui. Cette arête reste fixe quel que soit le mode de marche choisi.

Il reste maintenant à calculer les efforts de contact entre le pied d’appui et le sol. On utilise le principe fondamental de la dynamique :

m × ¶ a = m × Ž + =?{ª+ =P{ª (2.58)

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On en déduit la résultante des efforts de contact sous le pied d’appui :

=?{ª = m × ¶ a − Ž − =P{ª (2.60)

On en déduit également le moment des efforts de contact sous le pied d’appui :

‡=?{ª = ˆ a + a ∧ =?{ª− ‡=P{ª Y‘’ + Y‘’a ∧ =P{ª (2.61)

Durant la phase unipodale, le pied balancé n’est pas en contact avec le sol, les efforts de contact au niveau de ce pied sont donc nuls. On considère donc uniquement le ZMP du pied d’appui.

On note _=?tª et ‡_=?tª respectivement la résultante et le moment des efforts de contact au niveau du pied d’appui en phase unipodale.

Les efforts de contact entre le pied balancé et le sol sont nuls, on en déduit la résultante des efforts de contact sous le pied d’appui :

=?tª = m × ¶ a − Ž (2.62)

On en déduit également le moment des efforts de contact sous le pied d’appui :

‡=?tª = ˆ a + a ∧ =tª (2.63)

2.2.3.2.2. Contraintes concernant la localisation du ZMP

Pour que la stabilité du robot soit assurée, il est nécessaire que le ZMP de chaque jambe soit dans l’empreinte du pied correspondant. Dans notre cas, l’appui se fait toujours pied à plat au sol ; nous avons décidé que le polygone de sustentation serait un rectangle.

Figure 2-9. Paramétrage des pieds : pied d’appui (rouge) et pied balancé (bleu) Sens de marche iL i = i_N i i@ f f = fN fL f@

63 Sur la Figure 2-9, les indices 1 à 4 représentent respectivement pour le pied d’appui : la pointe extérieure, la pointe intérieure, le talon intérieur et le talon extérieur. Pour le pied balancé, ils représentent respectivement la pointe intérieure, la pointe extérieure, le talon extérieur et le talon intérieur.

Dans notre application, nous cherchons à ce que le ZMP soit dans l’empreinte du pied correspondant. Lorsqu’on parcourt le polygone représentant le pied (dans notre cas un rectangle) dans le sens direct, il suffit donc que le ZMP soit localisé à gauche de chacune des arêtes du pied.

Nous allons commencer par énoncer les contraintes de localisation des ZMP en double appui. Les deux pieds sont en contact avec le sol, le ZMP de chaque pied doit donc rester dans son empreinte respective. Ceci se traduit les contraintes suivantes :

f) ±²‘ª. ∧ f)f)Œ > 0, r = 1, . . ,4 (2.64)

i) ±²‘’. ∧ i)i)Œ > 0, r = 1, . . ,4 (2.65)

En simple appui, les contraintes sont uniquement les contraintes (2.64).

2.2.3.2.3. Contraintes concernant l’unilatéralité des appuis

La composante normale des efforts de contact entre le pied et le sol doit être orientée suivant , elle doit par conséquent être strictement positive.

En double appui, les deux pieds sont en contact avec le sol, il faut donc une contrainte d’unilatéralité des appuis pour chaque pied.

=?{ª. > 0 (2.66)

=P{ª. > 0 (2.67)

En simple appui, seul le pied d’appui est en contact, l’unilatéralité des appuis ne concerne donc que ce pied.

=?tª. > 0 (2.68)

Que ce soit en simple ou en double appui, il est à noter que si l’unilatéralité des contacts n’est pas respectée, la composante normale des efforts de contact entre le pied et le sol est nécessairement nulle à un instant donné. Ceci se traduit dans l’équation (2.53) par un dénominateur nul et donc par l’impossibilité de respecter les contraintes concernant la localisation du ZMP.

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2.2.3.2.4. Contraintes de non glissement

Pour éviter que le robot glisse sur le sol, il faut que les efforts de contact entre le pied et le sol respectent la loi de Coulomb.

En double appui, les deux pieds sont en contact avec le sol, il faut donc une contrainte de non glissement pour chacun des pieds.

=?{ª. + =?{ª. < ® × =?{ª. (2.69)

=P{ª. + =P{ª. < ® × =P{ª. (2.70)

Dans les équations (2.69) et (2.70), f correspond au coefficient de frottement. Dans les simulations du chapitre 3, nous avons choisi ® = 0,5. Les autres termes ont déjà été définis dans le paragraphe 2.2.3.2.1.

Il est à noter que la résultante des efforts de contact au niveau du pied d’appui en phase bipodale est fonction des positions, vitesses et accélérations articulaires ainsi que des efforts de contact au niveau du pied balancé.

Le pied d’appui est le seul en contact avec le sol durant la phase unipodale, la contrainte de non glissement ne s’applique donc qu’à ce pied.

=?tª. + =?tª. < ® × =?tª. (2.71)

La résultante des efforts de contact au niveau du pied d’appui en phase unipodale a déjà été définie dans le paragraphe 2.2.3.2.1. Elle est fonction des positions, vitesses et accélérations articulaires.