Modélisation dynamique de la suspension du véhicule

Les contraintes maximales sur la masse des jantes et de la suspension sont déterminées en se basant sur une simulation dynamique impliquant le véhicule roulant à haute vitesse sur une bosse carrée. La Figure 2.26 présente ce modèle dynamique qui considère le rayon de la roue « R ». Comme l’illustre la Figure 2.27, ce rayon limite l’impact en définissant une trajectoire « filtrée » du point de tangeance de la bande de roulement avec la protubérance. La déformation du pneu n’est pas considérée dans la trajectoire, mais plutôt par un coefficient radial de déformation élastique. La décélération du véhicule n’est pas considérée puisqu’une vitesse constante est imposée. Par contre, la force d’impact tangentielle et destructrice est considérée par l’angle d’attaque de la jante sur la bosse, ce qui permet d’évaluer la charge réelle sur les pièces du moteur-roue.

Certaines hypothèses simplificatrices ont été considérées dans le modèle de la Figure 2.26 pour permettre sa linéarisation. Les mesures « a » et « b », respectivement les distances arrière et avant entre les masses non suspendues et le centre de masse du châssis, sont maintenues constantes par rapport à l’horizontale, considérant des mesures d’angle

faible de la rotation du châssis (angle de tangage). Dans un même ordre d’idée, le déplacement des extrémités « ∆𝑠 » avant et arrière du châssis sont simplement calculés par :

Éq.2-100∆𝑠_{𝑎𝑟𝑟𝑖è𝑟𝑒} = −𝜃 ∙ 𝑎 99 (Éq.2-100)

Éq.2-101∆𝑠_{𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡} = 𝜃 ∙ 𝑏 100 (Éq.2-101)

Le modèle considère un demi-véhicule comme si les suspensions droite et gauche étaient solidaires. C’est-à-dire que le roulis du véhicule n’est pas considéré dans ce modèle.

Figure 2.26 : Modèle dynamique de suspension permettant l’évaluation du comportement routier et

des contraintes mécaniques sur la suspension. 26

Les forces qu’impliquent le modèle présenté dans la Figure 2.26 sont séparées sur quatre diagrammes de corps libres (DCL) différents, respectivement pour les masses et l’inertie de rotation du châssis « M1, M2, M3 et J3 ».

Les forces, exprimées en N, couplées à la masse avant « M1 » impliquent l’équation d’état suivante, désignant l’accélération du centre de masse de la roue avant « 𝑉₁̇ » (en m/s2) :

Éq.2-102𝑉₁̇ = 1

Où :

𝐹𝑐𝑓 est la force de l’amortissement de la suspension avant;

𝐹_𝑘𝑓 est la force du ressort de la suspension avant; 𝐹_𝑐𝑡𝑓 est la force de l’amortissement des pneus avant;

𝐹𝑘𝑡𝑓 est la force du ressort des pneus avant, à coefficient d’élasticité linéaire;

𝑔 est l’accélération gravitationnelle (estimée à 9.81 m/s2); 𝑀1 est la masse non suspendue de du pont avant (en kg).

Chacune des forces interagissant dans l’équation (Éq.2-102) doit être calculée individuellement. La force engendrée par le ressort avant est donnée par :

Éq.2-103𝐹_𝑘𝑓= 𝐾_𝑓. (𝑍₃+ 𝜃 ∙ 𝑏 − 𝑍₁)102 (Éq.2-103) Où :

𝑍₃ est le déplacement vertical du centre de masse du châssis (en m);

𝜃 est le déplacement angulaire du châssis autour de son centre de masse (en rad);

b est la distance entre la roue avant et le centre de masse du véhicule (en m); 𝑍1 est le déplacement vertical des roues avant (en m).

De même, la force engendrée par l’amortisseur à l’avant peut être déterminée par : Éq.2-104𝐹_𝑐𝑓 = 𝐶_𝑓∙ (𝑉₃+ 𝜔 ∙ 𝑏 − 𝑉₁)103 (Éq.2-104)

Où :

𝐶𝑓 est le coefficient d’amortissement de la suspension avant (en 𝑁 ∙ 𝑠 𝑚⁄ );

𝑉3 est la vitesse de déplacement verticale du centre de masse du châssis (en

m/s);

𝑉₁ est la vitesse de déplacement vertical du centre de la roue avant (en m/s); 𝜔 est la vitesse angulaire du châssis autour de son centre de masse (en rad/s). D’autre part, la force engendrée par l’élasticité du pneu peut être décrite par :

Éq.2-105𝐹_𝑘𝑡𝑓= 𝐾_𝑡𝑓∙ (𝑍_𝑓− 𝑍₁)104 (Éq.2-105)

Où :

𝑍_𝑓 est le déplacement vertical du point de contact des roues avant (en m); 𝐾𝑡𝑓 est le coefficient de rigidité (élasticité) des pneus avant (en N/m).

Enfin, la force engendrée par l’amortissement du pneu peut être déterminée par :

Où :

𝐶_{𝑡𝑓 est le coefficient d’amortissement du pneu (en 𝑁 ∙ 𝑠 𝑚}⁄ );

𝑉_𝑓 est la vitesse du déplacement vertical du point de contact des roues avant (en m/s).

À l’arrière du véhicule, la masse « M2 » possède également son système d’équation décrivant son accélération verticale. Avec les forces exprimées en Newtons, l’accélération du centre de masse de la roue arrière « 𝑉₂̇ » est ainsi donnée par :

Éq.2-107𝑉₂̇ = 1

𝑀2∙ (𝐹𝑐𝑟+ 𝐹𝑘𝑟+ 𝐹𝑐𝑡𝑟+ 𝐹𝑘𝑡𝑟) − 𝑔106 (Éq.2-107)

Où :

𝐹_𝑐𝑟 est la force de l’amortissement de la suspension arrière; 𝐹_𝑘𝑟 est la force du ressort de la suspension arrière;

𝐹_𝑐𝑡𝑟 est la force de l’amortissement des pneus arrière;

𝐹𝑘𝑡𝑟 est la force du ressort des pneus arrière, à coefficient d’élasticité linéaire;

𝑔 est l’accélération gravitationnelle;

𝑀2 est la masse non suspendue du pont arrière (en kg).

Les forces interagissant dans l’équation de 𝑉₂̇ sont ensuite calculées séparément. La force engendrée par le ressort de suspension arrière est donnée par :

Éq.2-108𝐹_𝑘𝑟= 𝐾_𝑟∙ (𝑍₃− 𝜃 ∙ 𝑎 − 𝑍₂)107 (Éq.2-108) Où :

𝐾_𝑟 est le coefficient de rigidité des pneus arrière (en N/m);

𝑍₂ est le déplacement vertical du centre de masse de la roue arrière (en m); a est la distance entre la roue arrière et le centre de masse du véhicule (en m). Cependant, la force engendrée par l’amortisseur de suspension arrière peut être calculée par :

Éq.2-109𝐹_𝑐𝑟 = 𝐶_𝑟∙ (𝑉₃− 𝜔 ∙ 𝑎 − 𝑉₂)108 (Éq.2-109) Où :

𝑉2 est la vitesse de déplacement vertical de la masse non suspendue arrière

(m/s);

D’un autre côté, la force engendrée par l’élasticité des pneus peut être déterminée par :

Éq.2-110𝐹_𝑘𝑡𝑟 = 𝐾_𝑡𝑟∙ (𝑍_𝑟− 𝑍₂)109 (Éq.2-110)

Où :

𝐾_𝑡𝑟 est le coefficient de rigidité des pneus arrière (en N/m);

𝑍_𝑟 est le déplacement du point de contact des roues arrière (en m); 𝑍₂ est le déplacement vertical de la masse non suspendue arrière (en m).

Enfin, la force engendrée par l’amortissement des pneus arrière peut être exprimée :

Éq.2-111𝐹_𝑐𝑡𝑟= 𝐶_𝑡𝑟∙ (𝑉_𝑟− 𝑉₂)110 (Éq.2-111)

Où :

𝐶_{𝑡𝑟 est le coefficient d’amortissement des pneus arrière (en 𝑁 ∙ 𝑠 𝑚}⁄ );

𝑉𝑟 est la vitesse du déplacement vertical du point de contact des roues arrière

(en m/s).

Au niveau du châssis, la masse « M3 » est prise indépendamment de la caractéristique

inertielle de rotation. Ainsi, l’accélération verticale de son centre de gravité « 𝑉₃̇ » s’écrit :

Éq.2-112𝑉₃̇ = 1

𝑀3∙ (𝐹𝑘𝑓+ 𝐹𝑐𝑓+ 𝐹𝑘𝑟+ 𝐹𝑐𝑟) − 𝑔111 (Éq.2-112)

Où les forces « 𝐹_𝑘𝑓, 𝐹_𝑐𝑓, 𝐹_𝑘𝑟 et 𝐹_𝑐𝑟 » ont déjà été déterminées précédemment respectivement par les équations (Éq.2-103), (Éq.2-104), (Éq.2-108) et (Éq.2-109). Notons que M3 est la masse du châssis considérant l’ensemble des équipements à bord.

D’un autre côté, l’inertie de rotation du châssis peut être obtenue par résolution de l’équation décrivant la somme des moments :

Éq.2-113𝜔̇ =

1

𝐽3∙ [(𝐹𝑘𝑟+ 𝐹𝑐𝑟) ∙ 𝑎 − (𝐹𝑘𝑓+ 𝐹𝑐𝑓) ∙ 𝑏] 112 (Éq.2-113)

Où :

𝐽₃ est le moment d’inertie du châssis (𝑘𝑔 ∙ 𝑚2_);

𝑉_𝑓 est la vitesse du déplacement vertical du point de contact des roues arrière (m/s).

Le système équations d’état peut être finalement résolu par les relations différentielles entre les accélérations, les vitesses et les déplacements des différentes masses où : 𝑍_𝑓̇ = 𝑉_𝑓 , 𝑍_𝑟̇ = 𝑉_𝑟 , 𝑍₁̇ = 𝑉₁, 𝑍₂̇ = 𝑉₂ , 𝑍̇ = 𝑉_{3 3} et 𝜃̇ = 𝜔

Le surdimensionnement mécanique a pour objectif d’assurer que les contraintes mécaniques n’affecteront pas le fonctionnement de la machine. Ainsi, les pièces d’attache du moteur à la suspension doivent résister au pire cas d’impact possible. Tel que mentionné précédemment, la force d’impact maximale est estimée par l’angle d’attaque du pneu et la force de réaction verticale. La Figure 2.27 présente la trajectoire estimée du centre des roues. Comme la déformation des pneus est considérée par le modèle de la Figure 2.26, la trajectoire est rapportée comme un décalage du point de contact des pneus avec la chaussée. Le déplacement est ainsi filtré par le rayon extérieur du pneu pour étudier l’effet des dimensions des roues sur la force d’impact contre une bosse carrée.

Figure 2.27 : Trajectoire considérée pour décrire les déplacements Zf et Zr, respectivement le

mouvement vertical des points de contact des pneus avant et arrière. 27

La charge radiale maximale sur les pièces d’attache du moteur-roue est donnée par la valeur maximale des forces encaissées dans l’une ou l’autre des roues. Par contre, pour connaître la valeur de la charge maximale destructive « Fmax », il est nécessaire de

déterminer l’angle de contact « 𝜃_{𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡} » de la roue avec la bosse et l’utiliser selon la relation suivante :

Éq.2-114𝐹_𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

sin(𝜃𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡) 113 (Éq.2-114)

Éq.2-115𝐹_{𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙}= max [𝐹_𝑘𝑡𝑓+ 𝐹_𝑐𝑡𝑓, 𝐹_𝑘𝑡𝑟+ 𝐹_𝑐𝑡𝑟]114 (Éq.2-115) Bien que l’angle de contact initial, à la position « s0 », impose la valeur la plus

destructrice dans la relation de l’équation (Éq.2-114), un déplacement doit être effectué pour qu’une force supplémentaire à la gravité soit générée. Ainsi, l’effort crête est déterminé par la valeur maximale du vecteur de données de (Éq.2-114) pour cette simulation. L’angle « 𝜃𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡 » est pour sa part donné par (Éq.2-116):

Éq.2-116𝜃_{𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡}= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (

𝑠0−𝛥𝑠

𝑅 ) 115 (Éq.2-116)

Où « Δ𝑠 » est la distance parcourue après contact avec la protubérance et « R » est le rayon extérieur du pneu. Notons qu’il vaut la moitié de « Droue », terme vu précédemment.

La distance qui sépare le point de contact avec la bosse est donnée par :

Éq.2-117𝑠₀= √2𝑅 ∙ ℎ₀− ℎ₀2116 (Éq.2-117)

Où ℎ₀ est la hauteur de la protubérance.