Calcul de l’efficacité dans les onduleurs

Lorsqu’aucun logiciel n’est fourni par le fabricant pour simuler le rendement de l’onduleur, certaines estimations peuvent être réalisées. Il faut distinguer cinq sources de pertes (données en W), soit :

𝑃_𝑝 puissance de polarisation des grilles des transistors, 𝑃_𝐶𝑇 puissance de conduction des transistors

𝑃_𝑠𝑤𝑇 puissance de commutation dans les transistors 𝑃_𝐶𝐷 puissance de conduction des diodes

2.10.4.1 Pertes dans les transistors

Les pertes dans un transistor sont donc déterminées par l’expression suivante :

Éq.2-42𝑃_𝑇 = 𝑃_𝑝+ 𝑃_𝐶𝑇+ 𝑃_𝑆𝑤𝑇 = 𝑃_𝑝+ 𝑢⏞ _𝐶𝐸0∙ 𝐼_𝐶𝐴𝑣+ 𝑟_𝐶∙ 𝐼_{𝐶𝑟𝑚𝑠}2 𝑃𝐶𝑇 + (𝐸⏞ 𝑜𝑛𝑇+ 𝐸𝑜𝑓𝑓𝑇) ∙ 𝑓𝑠𝑤 𝑃𝑆𝑤𝑇 42(Éq.2-42) Où :

𝑢𝐶𝐸0 est la tension minimale de saturation;

𝐼𝐶𝐴𝑣 est le courant moyen qui circule dans le transistor;

𝐼_{𝐶𝑟𝑚𝑠} est le courant efficace circulant dans le transistor;

𝑟𝐶 est la résistance du collecteur calculée depuis la pente de _∆𝑉∆𝐼;

𝐸𝑜𝑛𝑇 est l’énergie de commutation pour la polarisation en fermeture;

𝐸𝑜𝑓𝑓𝑇 est l’énergie de commutation pour la polarisation en ouverture;

𝑓_𝑠𝑤 est la fréquence de commutation.

Les courants moyen et efficace dans un transistor peuvent être calculés en tenant compte du facteur de puissance de la charge. Ils sont respectivement donnés par [43]: Éq.2-43𝐼_𝐶𝐴𝑣= √2 ∙ 𝐼_𝑝ℎ 𝑟𝑚𝑠∙ ( 1 2𝜋+ 𝑚𝑎∙𝐹𝑃 8 ) 43 (Éq.2-43) Éq.2-44𝐼_{𝐶𝑟𝑚𝑠}= √2 ∙ 𝐼_𝑝ℎ 𝑟𝑚𝑠√( 1 8+ 𝑚𝑎∙𝐹𝑃 3𝜋 ) 44 (Éq.2-44)

Calcul des pertes liées à la polarisation des transistors

La puissance engendrée par la polarisation des grilles des transistors est souvent négligée, mais elle représente des pertes à vide non négligeables dans les conceptions à transistors MOSFET placés en parallèle et commutant à haute fréquence. La technologie MOSFET est en pleine émergence pour les applications de moyenne puissance si bien qu’elle pourrait prendre toute la place d’ici peu d’années.

On peut évaluer la puissance minimale tirée sur l’alimentation isolée à partir de l’énergie de chargement de la capacité de la grille à chaque commutation. La résistance de grille sur la commande rapprochée ajoutera des pertes en chaleur en détériorant le rendement de son chargement. Les pertes dans la résistance de grille, générées pendant le chargement, sont données par :

Le courant efficace du chargement se détermine par la relation suivante [22, 44] : Éq.2-46𝑖_{𝐺(𝑜𝑛)𝑅𝑀𝑆} = 𝑖_{𝑝(𝑜𝑛)}√

𝑡𝑝(𝑜𝑛)∙𝑓𝑠𝑤

3 46 (Éq.2-46)

Le temps de chargement 𝑡𝑝(𝑜𝑛) peut être approximé par cinq fois la constante de

temps formée par la résistance et la capacité de grille (Cg).

Éq.2-47𝑡_{𝑝(𝑜𝑛)}= 5 ∙ 𝑅_𝑔∙ 𝐶_𝑔47# (Éq.2-47)

La pointe de courant 𝑖𝑝(𝑜𝑛) est pour sa part dépendante de la tension de polarisation

« Vgemax » et la résistance de grille. Elle s’écrit :

Éq.2-48𝑖_{𝑝(𝑜𝑛)}=𝑉𝑔𝑒𝑚𝑎𝑥

𝑅𝑔 48 (Éq.2-48)

Le dimensionnement en puissance de la résistance de grille « PR » doit considérer le

courant de décharge également à moins qu’une diode dans ce sens de conduction soit prévue pour accélérer l’ouverture du transistor. Cette puissance est déduite comme suit à partir des pertes de charge (PRon) et de décharge (PRoff) :

Éq.2-49𝑃_𝑅= 𝑃_{𝑅𝑜𝑓𝑓}+ 𝑃_𝑅𝑜𝑛= 2 ∙ 𝑃_𝑅𝑜𝑛 49 (Éq.2-49) Enfin, la puissance de polarisation de la grille avec une efficacité de 100% est l’image de l’énergie transitée dans la capacité de la grille du transistor et de la fréquence à laquelle ce chargement est effectué. Elle est calculée par :

Éq.2-50𝑃_𝑃𝑔= (1

2𝐶𝑔∙ 𝑉𝑔𝑒𝑚𝑎𝑥 2_{) ∙ 𝑓}

𝑠𝑤 50 (Éq.2-50)

Ainsi, l’ensemble des pertes de polarisation pour chaque transistor est donné par :

Éq.2-51𝑃_𝑝= 𝑃_𝑅𝑜𝑛+ 𝑃_𝑃𝑔 51 (Éq.2-51)

Cette puissance s’avère très utile pour dimensionner l’alimentation isolée de la commande rapprochée sur l’onduleur.

Pertes par conduction dans les transistors

Dans le cas d’un transistor de type MOSFET, le terme « 𝑢_𝐶𝐸0 » de l’équation (Éq.2-52), décrivant la tension de saturation, est pratiquement nul puisque la tension aux bornes du transistor est directement proportionnelle au courant qui y circule. Cette

constatation induit l’idée qu’un gain intéressant est à faire sur le rendement avec une conception d’onduleur à transistors MOSFET mis en parallèle.

Un facteur de puissance nul ne signifie par contre pas qu’aucun courant ne transigera par les transistors. En effet, le courant circule dans le transistor à partir du moment où la tension que celui-ci impose agit dans le même sens que le courant dans l’inductance de la machine électrique. La Figure 2.16 illustre la puissance instantanée transigée par les transistors d’un bras d’onduleur pour un FP=0 (𝜑 = 90°), donc une charge purement inductive. Dans ces circonstances, le début de la conduction du transistor correspond à l’atteinte du courant crête dans l’inductance. Les puissances instantanées dans les transistors du haut et du bas, illustrées respectivement en vert et mauve, donnent l’image des pertes par conduction puisqu’elles considèrent le rapport de modulation et le courant instantané.

Figure 2.16 : Puissance instantanée dans les transistors d’un bras pour un Facteur de

Puissance nulle (FP=0). 17

Pour une application triphasée sur une charge inductive, les pertes par conduction (dans l’ensemble de l’onduleur sont données par :

Éq.2-52𝑃_𝐶𝑇= 6 ∙ (𝑢_𝐶𝐸0∙ √2 ∙ 𝐼_𝑝ℎ 𝑟𝑚𝑠∙ ( 1 2𝜋+ 𝑚𝑎∙𝐹𝑃 8 ) ⏟

Pertes liées à la tension de saturation

+ 𝑟_𝐶∙ 2 ∙ 𝐼_{𝑝ℎ𝑟𝑚𝑠}2∙ (1

8−

𝑚𝑎∙𝐹𝑃

3𝜋 )

⏟

Pertes liées à la résistance interne

) 52 (Éq.2-52)

Calcul des pertes liées à la commutation des transistors

L’énergie de commutation quant à elle est proportionnelle au courant dans le collecteur et non à la puissance apparente. Le calcul de cette énergie, sur chaque transistor, s’estime en utilisant le courant de phase efficace sur la période de conduction, la tension du

bus CC et le temps de commutation tel que l’illustrent les triangles ombragés de la figure suivante.

Figure 2.17 : Illustration des pertes par commutation pour un courant continu haché18

Comme les pertes par commutation sont fonction de la crête de courant qui est transigée à chaque ouverture et fermeture de l’interrupteur électronique, il est nécessaire de quantifier la valeur efficace de ces crêtes sur la période de travail du transistor à l’égard du facteur de puissance de la charge. Le graphique de la Figure 2.18 présente le fondement du calcul des pertes par commutation. La conduction n’est présente que pour une puissance apparente positive.

Figure 2.18 : Courant crête durant les périodes de travail des transistors pour “𝝋”

quelconque 19

Ainsi, le courant efficace vu lors des commutations dans un transistor est donné par l’expression suivante : Éq.2-53𝐼_{𝑠𝑤𝑇𝑟𝑚𝑠} = √ 1 2𝜋∫ (√2 ∙ 𝐼𝑝ℎ𝑟𝑚𝑠∙ sin(𝜃)) 2 𝑑𝜃 𝜋 𝜑 53 (Éq.2-53)

Avec une simplification trigonométrique (sin2_{𝜃 =}− cos 2𝜃+1 2 ), l’expression devient : Éq.2-54𝐼_{𝑠𝑤𝑇𝑟𝑚𝑠} = 𝐼_{𝑝ℎ𝑟𝑚𝑠} 2π ∙ (π + φ − sin2φ 2 ) 54 (Éq.2-54)

L’énergie de commutation en fermeture et en ouverture de chaque transistor, exprimée en joules, s’approxime par l’expression suivante :

Éq.2-55𝐸_𝑜𝑛𝑇 ≈ 𝐼_{𝑠𝑤𝑇𝑟𝑚𝑠}∙𝑉𝑐𝑐∙𝑡𝑜𝑛 2 55 (Éq.2-55) Éq.2-56𝐸_{𝑜𝑓𝑓𝑇} ≈ 𝐼_{𝑠𝑤𝑇𝑟𝑚𝑠}∙𝑉𝑐𝑐∙𝑡𝑜𝑛 2 56 (Éq.2-56)

Dans ce cas, la somme des pertes par commutation dans un onduleur triphasé peut être évaluée par :

Éq.2-57 𝑃_𝑠𝑤𝑇= 6 ∙ 𝑓_𝑠𝑤∙ (𝐸_𝑜𝑛𝑇+ 𝐸_{𝑜𝑓𝑓𝑇}) 57 (Éq.2-57)

2.10.4.2 Pertes dans les diodes

Les pertes dans les diodes de roue libre sont pour leur part données par [43] :

Éq.2-58𝑃_𝐷= 𝑃_𝐶𝐷+ 𝑃_𝑆𝑤𝐷= 𝑢⏞ _𝐷0∙ 𝐼_𝐷𝑎𝑉+ 𝑟_𝐷∙ 𝐼_{𝐷𝑟𝑚𝑠}2 𝑃𝐶𝐷 + (𝐸⏞ 𝑜𝑛𝐷+ 𝐸𝑜𝑓𝑓𝐷) ∙ 𝑓𝑠𝑤 𝑃𝑆𝑤𝐷 58 (Éq.2-58) Où :

𝑢𝐷0 est la tension minimale de saturation;

𝐼𝐷𝐴𝑣 est le courant moyen qui circule dans la diode;

𝐼_{𝐷𝑟𝑚𝑠} est le courant efficace circulant dans la diode;

𝑟𝐷 est la résistance de la jonction électronique calculée depuis la pente de _∆𝑉∆𝐼;

𝐸𝑜𝑛𝐷 est l’énergie de commutation pour la polarisation en fermeture;

𝐸_{𝑜𝑓𝑓𝐷} est l’énergie de commutation pour la polarisation en blocage; 𝑓_𝑠𝑤 est la fréquence de commutation.

Les courants des diodes dans un bras d’onduleur agissent à l’inverse de ceux des transistors. Ainsi, le courant y circule si la tension imposée par les transistors est dans le sens inverse du courant. La Figure 2.19 illustre un cas à facteur de puissance de 0.5 (𝜑 = 60°).

Figure 2.19 : Courant crête durant les périodes de travail des diodes de roue libre pour un Facteur de Puissance équivalent à “𝝋=30° " (FP=0.5)20

Les pertes par conduction dans les diodes

À cause du sens négatif de la puissance instantanée sur certaines périodes de conduction d’un courant inductif, les diodes travailleront selon deux cycles. Tout d’abord, elles afficheront une période de conduction continue lorsque la puissance instantanée est négative. Ensuite, un cycle en commutation s’engage lorsque la puissance instantanée est positive. Durant cette période, la conduction des diodes sera complémentaire à celle imposée par les transistors. Les courants moyen et efficace dans une diode en tenant compte du facteur de puissance de la charge « FP » et du rapport de modulation crête sur les transistors « ma » sont respectivement donnés par [43] :

Éq.2-59𝐼_𝐷𝐴𝑣= √2 ∙ 𝐼_𝑝ℎ 𝑟𝑚𝑠∙ ( 1 2𝜋− 𝑚𝑎∙𝐹𝑃 8 ) 59 (Éq.2-59) Éq.2-60𝐼_{𝐷𝑟𝑚𝑠}= √2 ∙ 𝐼_{𝑝ℎ𝑟𝑚𝑠}√(1 8− 𝑚𝑎∙𝐹𝑃 3𝜋 ) 60 (Éq.2-60)

Ainsi, les pertes par conduction dans les six diodes d’un onduleur triphasé sont déterminées par :

Éq.2-61𝑃_𝐶𝐷= 6 ∙ (𝑢_𝐷0∙ 𝐼_𝐷𝑎𝑉+ 𝑟_𝐷∙ 𝐼_{𝐷𝑟𝑚𝑠}2) 61 (Éq.2-61) Les pertes par commutation dans les diodes

Le courant crête transité dans les diodes lors de leur polarisation et leur recouvrement est responsable des pertes de commutation. Le courant circulant de façon continue dans les diodes lorsque la puissance instantanée est négative, c'est-à-dire que la tension imposée par les transistors est dans le sens opposé à la circulation du courant, n’implique pas de pertes

par commutations. Les pertes de cette nature n’apparaissent que lorsqu’un courant transite entre le transistor et la diode de roue libre. Le tracé d’une demi-période du courant illustré en pointillés sur la Figure 2.19 permet de déduire la valeur efficace des crêtes de courant rencontrées dans une diode.

Comme le tracé est identique à celui du courant circulant dans les transistors, ce courant est exprimé comme suit :

Éq.2-62𝐼_𝑠𝑤𝐷 𝑟𝑚𝑠= 𝐼𝑠𝑤𝑇𝑟𝑚𝑠 = 𝐼_{𝑝ℎ𝑟𝑚𝑠} 2π ∙ (π + φ − sin2φ 2 ) 62 (Éq.2-62)

Ainsi, l’énergie de commutation peut être déduite à partir de cette relation : Éq.2-63𝐸_𝑜𝑛𝐷≈ 𝐼_{𝑠𝑤𝐷𝑟𝑚𝑠}∙𝑉𝑐𝑐∙𝑡𝑜𝑛 2 63 (Éq.2-63) Éq.2-64𝐸_{𝑜𝑓𝑓𝐷} ≈ 𝐼_{𝑠𝑤𝐷𝑟𝑚𝑠}∙𝑉𝑐𝑐∙𝑡𝑜𝑓𝑓 2 64 (Éq.2-64)

Enfin, la grandeur des pertes par commutation dans les diodes d’un onduleur triphasé est donnée par :

Éq.2-65𝑃_𝑠𝑤𝐷 = 6 ∙ 𝑓_𝑠𝑤∙ (𝐸_𝑜𝑛𝐷+ 𝐸_{𝑜𝑓𝑓𝐷}) 65 (Éq.2-65)