Modélisation des amplificateurs à fibre dopée Tm 3+

Nous avons vu au chapitre 2 quelques-uns des mécanismes de transition énergétique des huit premiers niveaux des ions Tm³⁺ dans la silice. Il n’est pas nécessaire de modéliser l’ensemble des mécanismes ne serait-ce que pour les quatre premiers niveaux énergétiques. Le modèle numérique a pour objectifs principaux, la compréhension des phénomènes principaux pour la maximisation de l'efficacité et une définition des architectures (nombres d'étages, longueurs des fibres Tm⁺³ et puissances de pompes requises). Les fibres dopées disponibles ne sont connues qu’imparfaitement, de même que certains mécanismes les plus complexes du Tm³⁺ comme la relaxation croisée et les ETU 1 et 2 présentés au Chapitre 2. Ce ne sont d’ailleurs pas les seuls mécanismes de ce type, Jackson et al. présentent d’autres mécanismes non-linéaires qui font intervenir les huit premiers niveaux d’énergie (Jackson, et al., 1998). Même le mécanisme de relaxation croisée, le plus étudié, est encore mal connu : Jackson et al.

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ont montré que ce mécanisme était dépendant de la concentration en ion Tm3+ dans le cœur de la fibre dopée (Jackson, 2004). Mais cette dépendance n’est observée qu’empiriquement. Une première étape dans le développement du modèle consiste à sélectionner les mécanismes à prendre en compte.

Nous restreignons à la modélisation de fibres en silice dopée Tm³⁺ aux quatre premiers niveaux d’énergie 3H6, 3F4, 3H5 et 3H4, numéroté de 0 à 3. Le modèle doit permettre le pompage cœur et le pompage gaine, co et contra-propagativement.

Le modèle présenté ici est un modèle classique d’amplificateur qui se rapproche de ceux développés par Jackson et al. pour le régime continu et Eichhorn pour le régime impulsionnel (Jackson, et al., 1999)(Eichhorn, 2005) avec deux différences majeures. La principale différence entre le modèle présenté dans ce manuscrit et le modèle de Jackson et al. est que notre modèle ne permet pas le pompage autour de 1210 nm du niveau ³H5. En effet pour réduire le temps de calcul et augmenter la stabilité du modèle, nous avons simplifié les mécanismes d’échanges énergétique et donc supprimé la possibilité d’absorber ou d’émettre des photons autour de 1210 nm. L’émission autour de 1210 nm est négligeable devant la désexcitation non radiative de ce niveau d’énergie. La principale différence entre le modèle présenté dans ce manuscrit et le modèle d’Eichhorn est que notre modèle permet le pompage cœur ou le pompage gaine alors qu’Eichhorn ne permet que le pompage dans la gaine.

3.2.1.1. Phénomènes physiques principaux

Les Figures 3.1 et 3.2 présentent la plupart des transitions radiatives du Tm³⁺. Pour l’absorption nous allons nous restreindre à deux transitions : 3H6 → ³F4 et ³H6 → ³H4. Cela restreint les longueurs d’ondes de pompe de l’amplificateur modélisé autour de 793 nm et entre 1400 et 2000 nm. Pour le choix des mécanismes de désexcitation nous pouvons nous appuyer sur les calculs de probabilités réalisés par Walsh et al. (Walsh, et al., 2004) et Falconieri et al. (Falconieri, et al., 1997).

Il serait long et fastidieux de présenter l’ensemble des mécanismes de tous les niveaux d’énergie. Prenons un exemple représentatif, la désexcitation du niveau 3H5, présentée Figure 3.1.

Figure 3.1 : Mécanismes de transition énergétique de désexcitation du niveau 3H5 avec les temps de vie correspondants.

Chapitre 3 - - Modélisation des amplificateurs à fibre dopée Thulium 71

Il existe trois possibilités de désexcitation : ³H5→3F4 par émission de phonon ou de photon et ³H5→3H6 par émission de photon. Les temps de vie correspondant à chaque mécanisme sont les suivants, ³H5→3H6 3,9 ms, ³H5→3F4 radiatif 98 ms et ³H5→3F4 non radiatif 14 µs. La désexcitation par émission de phonon est donc 279 fois plus probable que la désexcitation par émission de photon. Il est raisonnable de négliger la désexcitation par émission de photon devant la désexcitation par émission de phonon pour le niveau ³H5.

On peut étudier de la même manière les quatre premiers niveaux énergétiques du Tm3+ pour les mécanismes linéaires, pour ne retenir que les mécanismes présentés Figure 3.2.

Figure 3.2 : Mécanismes linéaires retenus pour le modèle.

Concernant les mécanismes non linéaires ne faisant intervenir que les quatre premiers niveaux d’énergie, nous disposons du mécanisme de relaxation croisée et des mécanismes de désexcitation ETU 1 et 2. Le mécanisme de relaxation croisée est non négligeable, sa probabilité dépend de la concentration en dopant et il peut devenir prépondérant devant la désexcitation non radiative pour les fibres les plus dopées, voir Chapitre 2. Le temps caractéristique du mécanisme ETU 1 est autour de 1700 µs pour une fibre moyennement dopée (Armagan, et al., 1994). En comparaison le temps caractéristique du mécanisme ETU 2 est de l’ordre de 150 µs pour la même fibre. On peut donc négliger le mécanisme ETU 1 devant le mécanisme ETU 2.

Figure 3.3 : Ensemble des mécanismes modélisés.

L’ensemble des mécanismes modélisés est représenté Figure 3.3. Il y a quatre types de mécanismes à modéliser : absorption de photons, émission de photons, émission de phonons et

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les mécanismes non linéaires comme la relaxation croisée. Nous allons nous placer dans des cas simples pour décrire les équations qui régissent ces mécanismes.

Afin d’alléger les équations, des dépendances suivant la longueur d’onde ou le temps pourront être omises.

Tableau 3.1 : Résumé des nomenclatures utilisées.

Variable Nomen-clature Variable Nomen-clature Section efficace d’émission 1→0 𝜎₁₀ Niveau 3H6 0 Coefficient de relaxation croisée 𝑘_30→11 Niveau 3F4 1

Temps de vie du niveau 2 𝜏₂ Niveau 3H5 2

Temps de vie radiatif 𝜏_𝑅2 Niveau 3H4 3

Temps de vie non radiatif 𝜏_𝑁𝑅2 Relatif au signal S

Fréquence 𝜈 Relatif à la pompe P

Longueur d’onde 𝜆 Relatif à l’ASE ASE

Concentration locale d’ion au niveau 3H6 n0 Relatif au cœur c Concentration moyenne d’ion 3F4 N1 Relatif à la gaine g

Sens co-propagatif + Rayon du cœur a

Sens contra-propagatif - Rayon de la gaine b

Le nombre total d’ions est 𝑛_𝑡. Le nombre d’ions dans les niveaux d’énergies suivent la numérotation des niveaux d’énergies présentés notamment Figure 3.3. Par exemple le nombre d’ions dans l’état 3F4 est noté 𝑛₁. La notation pour les mécanismes de transition utilise en premier le numéro du niveau d’énergie de départ puis le numéro du niveau d’arrivée de la transition. Par exemple la notation section efficace d’absorption entre le niveau 3H6 vers le niveau ³F4 s’écrit 𝜎₀₁. Pour les mécanismes plus complexes comme la relaxation croisée la transition sera explicitée par une flèche. Par exemple pour le coefficient de relaxation croisée qui fait intervenir deux ions aux niveaux d’énergie ³H6 et ³H4 à l’état initial et au niveau ³F4 à l’état final s’écrit 𝑘_30→11.

3.2.1.2. Absorption de photon

Un ion peut passer d’un niveau d’énergie initial à un niveau d’énergie plus élevé par absorption d’un photon. Considérons une fibre où tous les ions sont au niveau fondamental. Le

Chapitre 3 - - Modélisation des amplificateurs à fibre dopée Thulium 73

nombre d’ions dans l’état fondamental est alors 𝑛₀ = 𝑛_𝑡. Le nombre d’ions passant du niveau fondamental ³H6 au niveau ³F4 pendant une durée très courte Δ𝑡 par absorption de photon de longueur d’onde 𝜆 et de fréquence 𝜈 =^𝑐_𝜆 s’écrit Δ𝑛₁ = 𝑛₀𝜎_01ℎ𝜈^𝐼 Δ𝑡 avec 𝜎₀₁ la section efficace d’absorption de la transition et _ℎ𝜈^𝐼 le flux de photon par seconde défini comme l’intensité lumineuse divisée par l’énergie d’un photon à la longueur d’onde 𝜆.

3.2.1.3. Emission de photon

Nous différentions l’émission stimulée de l’émission spontanée.

Emission stimulée

La désexcitation par émission stimulée de photons suit une loi similaire à l’absorption. Ainsi le nombre d’ions qui passent du niveau 3F4 au niveau 3H6 par émission stimulée de photons pendant un temps très court Δt s’écrit Δ𝑛₀ = 𝑛₁𝜎_10ℎ𝜈^𝐼 Δ𝑡 avec 𝜎₁₀ la section efficace d’émission du niveau 3F4 au ³H6.

Emission spontanée

L’émission spontanée de photon est la source de la fluorescence et de l’ASE. Elle correspond à la désexcitation radiative d’un ion sans interaction avec un photon.

Lorsque l’on s’intéresse à l’évolution cinétique du nombre d’ion des différents niveaux d’énergie dû à la désexcitation spontanée il faut tenir compte des temps de vies radiatif des niveaux d’énergie comme on a vu paragraphe 2.2.2.4. Prenons l’exemple de la désexcitation du niveau ³F4 vers le niveau³H6. La variation de population du niveau ³H6 causée par à l’émission spontanée s’écrit Δ𝑛₀ = ^𝑛1

𝜏𝑅1Δ𝑡 avec 𝜏_𝑅1 le temps de vie radiatif du niveau 3F4. Ce terme englobe tout l’émission spontanée, guidée ou non guidée quel que soit la longueur d’onde émise.

Lorsque l’on s’intéresse à l’évolution le long de la fibre du nombre de photon émis par l’émission spontanée à chaque longueur d’onde, l’émission spontanée peut être traitée comme l’interaction d’un ion avec le bruit quantique densité spectrale de puissance d’intensité 𝐼₀ à la longueur d’onde 𝜆_𝑖 et la fréquence 𝜈_𝑖 pour la bande de fréquence 𝑑𝜈_𝑖 avec 𝐼₀ = ℎ𝜈_𝑖 𝑑𝜈_𝑖. Plaçons-nous en un point de coordonnées (𝑥, 𝑦, 𝑧). La densité spectrale de l’émission spontanée guidée dans la fibre suivant 𝑧, pour un mode transverse 𝜙(𝑥, 𝑦) et un segment de fibre de longueur 𝑑𝑧 s’écrit 2 𝜎₁₀(𝜆_𝑖) 𝑛₁(𝑥, 𝑦, 𝑧)^ℎ𝑐_𝜆²

𝑖

3 𝜙(𝑥, 𝑦)𝑑𝜆_𝑖 𝑑𝑧 avec 𝑛₁ le nombre d’ion au niveau

3F4 (Desurvire, et al., 1989). Le facteur 2 tient compte des deux polarisations du mode 𝜙.

3.2.1.4. Emission de phonon

Un autre type de désexcitation d’un ion vers un niveau d’énergie inférieur est l’émission d’un ou plusieurs phonons. La variation temporelle de la population d’un niveau énergétique est inversement proportionnelle à son temps de vie non radiatif. Prenons par exemple la

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désexcitation du niveau 3H4 vers le niveau 3H6. La variation de population du niveau 3H4

s’écrit Δ𝑛₃ = − ^𝑛3

𝜏_𝑁𝑅3Δ𝑡 avec 𝜏_𝑁𝑅3 le temps de vie non radiatif du niveau ³H4.

3.2.1.5. Relaxation croisée et ETU

Les mécanismes non linéaires font intervenir plusieurs niveaux énergétiques et donc le nombre d’ions dans chacun de ces niveaux. Par exemple la relaxation croisée fait intervenir les niveaux 3H4 et 3H6 et leur peuplement 𝑛₀ et 𝑛₃ ainsi qu’un paramètre 𝑘_30→11 pour peupler le niveau ³F4. Δ𝑛₁ = −Δ𝑛₀− Δ𝑛₃ et Δ𝑛₀ = Δ𝑛₃ = −𝑛₀𝑛₃ 𝑘_30→11Δ𝑡 Soit Δ𝑛₁ = 2𝑛₀𝑛₃ 𝑘_30→11Δ𝑡.

De la même manière que pour la relaxation croisée, la variation de population due au mécanisme ETU 2 s’écrit Δ𝑛₁ = −2𝑛₁2 𝑘_11→30Δ𝑡

3.2.1.6. Etablissement des équations différentielles du modèle

Nous allons détailler l’évolution du nombre d’ion pour chacun des niveaux énergétiques en un point quelconque de la fibre (équation cinétiques). On désigne le nombre total d’ion 𝑛_𝑡 avec 𝑛_𝑡= 𝑛₀+ 𝑛₁+ 𝑛₂+ 𝑛₃ , où 𝑛₀, 𝑛₁, 𝑛₂ et 𝑛₃ sont respectivement les concentrations locales d’ion dans les quatre premiers niveaux d’énergie.

En un point de la fibre de coordonnée (𝑥, 𝑦, 𝑧), pour le niveau 3H6 :

𝜕𝑛₀ 𝜕𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑛₁(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∫ 𝜎₁₀(𝜆)^{𝐼(𝑥, 𝑦, 𝜆)} ℎ𝜈 ^{𝑑𝜆 − 𝑛0}(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∫ 𝜎₀₁(𝜆)^{𝐼(𝑥, 𝑦, 𝜆)} ℎ𝜈 ^𝑑𝜆 − 𝑛₀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∫ 𝜎₀₃(𝜆)^{𝐼(𝑥, 𝑦, 𝜆)} ℎ𝜈 ^{𝑑𝜆 − 𝑛0}(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑛₃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘_30→11 + 𝑛₁2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘_11→30+^{𝑛1(𝑥, 𝑦, 𝑧)} 𝜏₁ (3.1) Avec _𝜏¹ 1 =_τ¹ R1+_𝜏¹ 𝑁𝑅1.

Pour le niveau 3F4, en omettant les coordonnées spatiales pour plus de clarté : 𝜕𝑛₁ 𝜕𝑡 ^{= −𝑛1∫ 𝜎10}(𝜆)^{𝐼(𝜆)𝜙} ℎ𝜈 ^{𝑑𝜆 +𝑛0∫ 𝜎01}(𝜆)^{𝐼(𝜆)𝜙} ℎ𝜈 ^{𝑑𝜆 +} 𝑛₂ 𝜏₂ ⁻ 𝑛₁ 𝜏₁ ^{+ 2𝑛0𝑛3 𝑘30→11} − 2𝑛₁2 𝑘_11→30 (3.2) Avec _𝜏¹ 2 =_τ¹ R2+_𝜏¹ 𝑁𝑅2 et _𝜏¹ 3 =_τ¹ R3+_𝜏¹ 𝑁𝑅3. Pour le niveau ³H5 : 𝜕𝑛₂ 𝜕𝑡 ⁼ 𝑛₃ 𝜏₃ ⁻ 𝑛₂ 𝜏₂ (3.3) Pour le niveau 3H4 :

Chapitre 3 - - Modélisation des amplificateurs à fibre dopée Thulium 75

𝜕𝑛₃

𝜕𝑡 = 𝑛₀∫ 𝜎₀₃(𝜆)^{𝐼(𝜆)𝜙}_ℎ𝜈 𝑑𝜆 − 𝑛₀𝑛₃ 𝑘_30→11− ^𝑛3

𝜏₃ + 𝑛₁2 𝑘_11→30 (3.4) Les équations 3.1, 3.2, 3.3 et 3.4 forment les équations cinétiques du modèle. A côté des équations cinétiques, l’évolution des intensités lumineuses est décrite par un autre jeu d’équation, les équations de propagation. Dire que la somme est nulle

On se place toujours en un point de coordonnées (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la fibre. L’intensité lumineuse se propage suivant la direction 𝑧 dans les deux sens, un sens positif et un sens négatif. Le sens de propagation de l’intensité est repéré par un exposant, + et -.

(± ^𝜕 𝜕𝑧⁺ 𝑛 𝑐 𝜕 𝜕𝑡^{) 𝐼±}(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑛₁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎₁₀(𝜆)𝐼±(𝑥, 𝑦, 𝜆) − 𝑛₀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎₀₁(𝜆)𝐼±(𝑥, 𝑦, 𝜆) − 𝑛₀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎₀₃(𝜆)𝐼±(𝑥, 𝑦, 𝜆) − 𝛼 𝐼±(𝑥, 𝑦, 𝜆) + 2 𝑛₁(x, y, z) ^ℎ𝑐 2 λ3 𝜎₁₀(λ) 𝑑λ (3.5) Avec 𝛼 les pertes intrinsèques de la fibre.

L’équation 3.5 est l’équation de propagation classique d’une onde électromagnétique dans un milieu d’indice𝑛.