10.2 Résultats sous polarisation DC
11.1.1 Modélisation de la mesure résolue en phase
Les mesures résolues en phase sont particulières en ce qui a trait à la modélisation de la mesure. Il ne suffit pas de modéliser le gain en puissance de l’amplificateur par un simple facteur multiplificatif réel pour chaque fréquence. En effet, l’équation (7.131) démontre que la mesure de S˜φ(f) implique non seulement le signal à la fréquence f
=
ω/(2]), mais aussi ses composantes auxfréquences
−
f+
nf0 ∀ n∈
Z. La modélisation présentée à la figure10.1est doncinadéquate dans le cas de mesures résolues en phase.
Plutôt que de considérer le gain en puissance de l’amplificateur, introduisons son gain en courant g˜(f) qui s’applique directement sur le signal plutôt que sur la densité spectrale. Notons que puisqu’on mesure expérimentalement toujours un signal réel1, on a nécessairement que g(t)
∈
Rde sorte que g˜∗(f)=
g˜(−
f).Ainsi, g˜(f) peut être
∈
C, mais doit être hermitien [76, §4.1.2.1] ; sa partiecomplexe pouvant être assimilée à un délai temporel ou décalage en phase
1. Une série de valeurs de courants — ou de tensions associées à celui-ci — au cours du temps.
introduit à la fréquence f par l’amplificateur. De plus, comme l’amplificateur est stable au cours du temps et des mesures, on a l’identité ⟨g˜ (f)⟩
=
g˜(f).On traite donc le gain de l’amplificateur en partant du signal ı˜T(f) de l’équation (7.19) et en modélisant le signal mesuré post-amplification par
ı˜T,m(f)
=
g˜(f)ı˜T(f) . (11.1)Si on regarde un seul des corrélateurs courant–courant dans le domaine fré- quentiel de l’équation (7.131), soit ⟨ı˜T(
−
f+
nf0) ı˜T(f)⟩, et qu’on veut mesurer l’effet de l’amplification sur celui-ci, il suffit d’observer la conséquence de la substitution ı˜M→
ı˜T,m, soit⟨ı˜T,m(
−
f+
nf0) ı˜T,m(f)⟩=
γ˜n(f)⟨ı˜T(−
f+
nf0) ı˜T(f)⟩ , (11.2) avec, par définition,γ˜n(f)
=
g˜(−
f+
nf0)g˜ (f) . (11.3)Ce facteur γ˜n(f) agit donc comme un gain complexe en puissance2, de manière analogue au G˜A(f) du traitement non résolu en phase. En général, l’effet de la substitution ı˜M
→
ı˜T,msur les β˜n(f) définis à l’équation (7.130) est doncβ˜n(f)
−→
γ˜n(f) β˜n(f) . (11.4)Ce dernier résultat, de pair avec la modélisation de la mesure non résolue en phase de l’équation (10.1) et l’identité (7.137), impose
γ˜0(f)
=
G˜A(f) . (11.5)On modélise alors la mesure en considérant S˜φ,m(f), le signal résolu en phase mesuré à la carte d’acquisition. Ce dernier est simplement le S˜φ(f) de (7.131) soumis à la substitution ı˜M
→
ı˜T,mpour modéliser le gain de l’amplifica- teur et auquel on ajoute aussi un terme de de bruit d’amplification pour chaquevaleur de n, soit S˜φ,m(f)
=
∞∑
n=−∞ γ˜n(f)(β˜n(f)+
[˜n(f)) einφ, (11.6)où les termes [˜n(f) représentent la contribution de bruit parasite du montage. Notons qu’à l’instar des γ˜n(f), on a que [˜0
=
S˜A(f). Pour des amplificateurs idéaux, on s’attendrait normalement à ce que [˜n̸=0=
0, puisque les propriétésdes amplificateurs devraient être insensibles au signal d’entrée, le bruit qu’ils ajoutent ne devrait donc pas être modulé selon l’excitation. En pratique, un début de saturation ou de légères non-linéarités à n’importe quelle étape de l’acquisition peuvent causer ce comportement3. On s’attend donc à des valeurs de [˜n(f) très
faibles pour
|
n| >
0. Notons qu’on considère en général que [˜n(f)∈
C bienqu’il soit tentant de le présumer réel, étant donné que la chaîne d’amplification n’est pas synchronisée avec la mesure ; cette présomption n’est cependant pas nécessaire au reste du traitement.
On profite aussi de la résolution en phase de la mesure, qui force S˜φ,m(f) à être périodique en φ, de sorte à pouvoir l’exprimer par la série de Fourier
S˜φ,m(f)
=
∞
∑
n=−∞β˜n,m(f) einφ, (11.7)
où les β˜n,m(f) sont les coefficients de Fourier du signal mesuré expérimentale- ment. On peut alors simplement égaler (11.6) et (11.7) pour trouver
β˜n,m(f)
=
γ˜n(f) (β˜n(f)+
[˜n(f)) . (11.8)Le cas n
=
0 correspond ainsi à la modélisation insensible à la phase de la section10.1, ce qui est attendu puisque β˜0(f)
=
S˜ˆ(f), γ˜0(f)=
G˜A(f) et [˜0(f)=
S˜A(f), alors que les autres valeurs de n incarnent les subtilités supplémentaires liées à la résolution en phase. Partant des β˜n,m(f) mesurés, il suffit donc de connaître les γ˜n(f) et [˜n(f) pour obtenir les β˜n(f) du signal et ainsi reconstruire le signal3. On peut par exemple imaginer qu’un amplificateur conçu pour fonctionner en large bande exhibe une légère non-linéarité lorsque le signal incident est concentré autour d’une seule fréquence.
d’intérêt. La modélisation de la mesure résolue en phase est présentée la figure 11.1.
˜
β
n(f)
˜[
n(f)
˜γ
n(f)
˜
β
n,m(f)
Figure 11.1 – Modèle de la mesure résolue en phase.
Bien qu’il puisse sembler difficile de mesurer tous les γ˜n(f) nécessaires à la calibration, la structure même de ceux-ci simplifie grandement le processus. En effet, il est possible d’exprimer γ˜n(f) pour un n donnée en fonction des deux
γ˜n(f) de valeurs de n inférieures ou supérieures à la sienne. Par exemple si
on connaît γ˜0(f)
=
g˜(−
f)g˜ (f) et γ˜1(f)=
g˜(−
f+
f0)g˜ (f) et qu’on chercher àcalculer γ˜2(f)
=
g˜(−
f+
2f0)g˜ (f), on peut simplement multiplier ce dernierpar un facteur 1 judicieux pour le réexprimer
γ˜2(f)
=
g˜(−
f+
2f0)g˜ (f) (11.9)=
g˜(−
f+
2f0)g˜ (f−
f0) γ˜1(f−f0) g˜(−
f+
f0)g˜ (f) γ˜1(f) g˜(f−
f0)g˜ (−
f+
f0) γ˜0(f−f0) (11.10)=
γ˜1(f−
f0) γ˜1(f) γ˜0(f−
f0) . (11.11)Cette même approche permet de trouver la forme générale4
γ˜n(f)
=
γ˜n±1(f±
f0) γ˜n±1(f)γ˜n±2(f
±
f0) . (11.12)Il est donc seulement nécessaire de connaître deux γ˜n(f) de n adjacents afin de pouvoir tous les calculer.
4. On utilise la convention selon laquelle le choix du signe est le même pour tous les±. L’équation (11.12) correspond donc à deux équations distinctes, et non pas trente-deux.
11.1.2
Calibration via limite à grand V
dcSimilairement à la calibration sans résolution en phase, c’est le régime à grande polarisation en tension continue qui permet d’extraire les γ˜n(f) requis pour la calibration. On rappelle le résultat de S˜φ,m à grand Vdc positif5 de l’équation (7.168), soit S˜paφ (ħν
≫ |E|
)=
Re(Vdc+
Vaccos φ) qu’on peut exprimersous différentes formes, soient
S˜paφ (eVdc
≫ |E|
)=
R(e Vdc+
Vaccos φ) (11.13)=
eVac2R e−iφ
+
ReVdc+
eV2R eac iφ (11.14)=
β˜−1(f) e−iφ+
β˜0(f)+
β˜1(f) eiφ, (11.15)pour remarquer que, dans ce régime,
β˜0(f)
=
eRVdc (11.16)
β˜±1(f)
=
Re V2ac (11.17)β˜|n|≥2(f)
=
0. (11.18)En combinant ces équations avec (11.8), on trouve
β˜0,m(f)
=
G˜A(f)(ReVdc+
S˜A(f)) (11.19)β˜±1,m(f)
=
γ˜±1(f)(eRV2ac
+
[˜±1(f)) (11.20)β˜|n|≥2,m(f)
=
γ˜n(f) [˜n(f) . (11.21)Ainsi, à grand Vdc
>
0, on peut utiliser le β˜0,m(f) mesuré pour obtenir γ˜0(f)=
G˜A(f) et S˜A(f) comme dans la situation habituelle. On peut aussise mettre dans la situation Vac
=
0 et extraire γ˜±1(f) [˜±1(f) de (11.20), ce quipermet ensuite d’effectuer une régression linéaire en Vac de la forme
RRRRRβ˜±1,m(f)
−
γ˜±1(f) [˜±1(f)RRRRR=|
γ˜±1(f)|
Re V2ac (11.22) 5. On se concentre ici sur le cas Vdc>0, mais la situation Vdc<0 est aussi valide.et d’en extraire
|
γ˜±1(f)|
de la pente. On utilise alors le fait que eV2Rac∈
R, si bienque
Arg[β˜±1,m(f, Vac)
−
γ˜±1(f) [˜±1(f)]=
Arg[γ˜±1(f)] , (11.23)pour obtenir la partie imaginaire des γ˜±1(f). De là, tous les γ˜n(f) peuvent être calculés via (11.12). Finalement, l’équation (11.21) donne directement les termes constants des β˜|n|≥2,m(f). On a donc finalement accès à tous les β˜n(f) — et du même coup à la densité spectrale intrinsèque S˜φ(f) résolue en phase — en inversant (11.8), c’est-à-dire
β˜n(f)
=
β˜n,m(f)−
γ˜n(f) [˜n(f)γ˜n(f) . (11.24)
Il y a cependant un bémol sur ce dernier point. Bien qu’on puisse extraire les γ˜n(f) et [˜n(f) via la procédure étalée ci-haut, la bande passante de l’am- plificateur vient poser certaines limitations sur les fréquences pour lesquelles la reconstruction de S˜φ(f) sera valide. En effet, les gains complexes en cou- rant g˜(f) approchent 0 en dehors de la bande passante de l’amplificateur et le mélange des g˜(f) associés à des fréquences différentes dans les γ˜n(f) — mis en évidence par (11.3) — force les γ˜n(f) à être nuls pour certaines fréquences. Par exemple, γ˜1(f0)
=
g(0)g(f)=
0 parce que f=
0 est en dehors de la bandepassante. Similairement, si on note fcritla fréquence limite de la bande passante
tel que g˜(
|
f| ≥
fcrit)=
0, on aura γ˜−1(fcrit−
f0)=
g˜(−
fcrit)g˜ (fcrit−
f0)=
0.Généralement, la procédure décrite ici permet de calibrer l’effet de l’amplifi- cateur sur la mesure, mais des effets incontournables liés à la bande passante de la mesure empêchent d’obtenir les γ˜n(f) pour certaines fréquences. Les mul- tiples entiers de la fréquence d’excitation f0 ainsi que les fréquences à moins
de f0 de la limite supérieure de la bande passante ne seront pas correctement
reconstruites — puisque la mesure n’y est pas sensible.
Cette limitation n’est que l’effet de la bande passante finie de la mesure. Ce qui est inattendu est que cette dernière soit ressentie même pour des fréquences au sein de la bande passante. Concrètement, pour les conditions expérimentales étudiées ici, soit f0
=
4 GHz et une bande passante de≈
250 MHz—10 GHz, ondevrait obtenir une mesure calibrée fiable entre