11.2 Calibration des données résolues en phase
11.2.2 Extraction des γ˜ n (f)
Connaissant maintenant les valeurs réelles de Vac appliquées à l’échantillon,
on poursuit la calibration en s’intéressant à S˜φ,m dans le régime eVdc/h
≫
10 GHz. La figure11.4montre un exemple de données brutes utilisées pour la calibration résolue en phase pour f=
5 GHz. On ne montre que la norme desdonnées puisque, à fréquence fixe, l’argument complexe provient uniquement des γ˜n(f) et est donc constant. Sur l’axe du haut, on observe bien la forme sinusoïdale attendue de (7.168) en fonction de φ, avec une seule phase initiale
φ0 indépendante9 de Vac, et les courbes avec des Vdc de signes opposés sont
décalées de 180◦ comme prévu par (7.160). L’axe du bas montre, quant à lui, 9. À priori variable selon f, à travers les γ˜n(f).
que l’amplitude des sinus est bel et bien proportionnelle à Vac, confirmant que le
régime de calibration est atteint.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 R R R R R˜ β± 1, m R R R R R(1 0 − 21 A 2 /Hz ) Vac(µV) 0.00 3.63 11.47 eVdc/h=29.29 GHz ˜β−1,m ˜β+1,m eVdc/h=29.29 GHz ˜β−1,m ˜β+1,m -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 f (GHz) -180 -90 0 90 180 A rg [ ˜ β±1, m ] ( ◦) f0=4.0 GHz
Figure 11.5 – Calibration résolue en phase, β˜±1,m(f). Cas Vdc
<
0 montré ;changer le signe de Vdc ne fait que décaler l’argument/ de 180◦.
On se concentre alors sur les coefficients de Fourier β˜±1,m — essentiellement l’amplitude des oscillations de la figure11.4— qu’on présente à la figure11.5, avec l’amplitude et l’argument complexe sur les axes du haut et du bas, respecti- vement. On y remarque que β˜∗1,m(f)
≈
β˜−1,m(−
f), en accord avec l’hermiticitédes g˜(f) et les équations10 (11.3) et (11.20). Notablement, l’argument complexe
est invariant selon Vac comme prévu10; on utilise donc ceux présentés ici pour
reconstruire les γ˜±1 complexes.
La figure11.6résume l’extraction des γ˜n(f) à l’aide de lissages de la forme (11.20) sur les β˜±1,m(f) pour chaque f résolue expérimentalement, suivi de la reconstruction des γ˜n(f) par (11.12). L’axe du haut présente le même RRRRRβ˜−1,mRRRRR
qu’à la figure11.5, cette fois en fonction de Vac et pour quatre valeurs représenta-
tives de f, en plus des droites lissées sur les données à chaque fréquence. L’axe
0 2 4 6 8 10 12 Vac(µV) 0 10 20 30 40 R R R R R˜ β− 1, m (f )RRR R R (10 − 21 A 2 /Hz ) Pente:|˜γ−1(f)| 2Re ˜γ−1(f) ˜[−1(f) Arg[˜γ−1(f)]=Arg[ ˜β−1 ,m−˜γ−1(f) ˜[−1(f)] e|Vdc|/h=29.29 GHz f (GHz) −6.0 −2.0 +0.0 +6.0 Donn´ees Lissage -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 f(GHz) 0 1 2 3 4 | ˜γn (f )| (1 0 6 ) ˜γn(f)= ˜γn±1(f±f0) ˜γn±1(f) ˜γn±2(f±f0) f0=4.0 GHz ˜γ0=GA n ±0 −1 +2 −3 +4
Figure 11.6 – Extraction des
|
γ˜n(f)|
. L’axe du haut correspond à l’extractionde γ˜−1 via β˜−1,mpour quatre valeurs de f. L’axe du bas présente les
|
γ˜n|
ainsiobtenus pour certaines valeurs de n; les résultats des n omis par souci de visibilité s’obtiennent par
|
γ˜−n(f)| = |
γ˜n(−
f)|
. Les points de couleur entourés deblanc sur la courbe de
|
γ˜−1|
correspondent aux résultats des courbes de mêmecouleur sur l’axe du haut.
du bas contient la norme des γ˜n(f) pour certaines valeurs de n. Les valeurs manquantes, qui s’obtiennent trivialement de
|
γ˜−n(f)| = |
γ˜n(−
f)|
, sont omisespar souci de visibilité. On rapelle que l’argument complexe de γ˜±1(f) est simple- ment le Arg[β˜±1,m(f)] de la figure11.5, si bien que — connaissant
|
γ˜±1(f)|
etArg[γ˜±1(f)] — on peut reconstruire tous les γ˜n(f). En pratique, on extrait les
γ˜n(f) avec n
>
1 à partir de γ˜1(f) et ceux pour n<−
1 via γ˜−1(f) à l’aide dela relation (11.12) et du γ˜0(f) obtenu au préalable. Sur l’axe du bas, l’effet du caractère passe-haut de la bande passante sur les γ˜n(f) est évident aux f mul- tiples de 4 GHz, avec des creux à ces fréquences sur toutes les courbes, comme discuté à la section11.1.2. On remarque aussi que l’étalement en fréquence des
terme g˜(
−
f+
nf0) de (11.3).Cet effet fait en sorte que
|
γ˜±4(f)|
n’a pas de valeur non nulle pour|
f| <
6 GHz, ce qui peut sembler problématique étant donné que la bande de validité de la calibration discutée à la section 11.1.2 est de 250 MHz
≤ |
f| ≤
6 GHz.Cependant,
|
n| =
4 correspond à une périodicité de phase ou harmonique de 16 GHz, bien au-delà des limites de la bande passante analogique de 10 GHz ; on ne devrait donc pas pouvoir extraire d’information probante de|
γ˜±4(f)|
mêmes’il était dans la bande de validité. De plus, puisqu’on résout fe/f0
=
8 phasesdistinctes expérimentalement, on obtient aussi 8 valeurs de n
∈
Z pour lescoefficients de Fourier β˜n(f) et β˜n,m(f) ainsi que pour les γ˜n(f); spécifiquement
−
4≤
n≤
3. Ainsi, on a β˜n(f) et β˜n,m(f) pour n=
−
4 sans pour autant les avoir pour n=
4. En outre, puisque l’étalement de|
γ˜−4(f)|
en fréquence n’estpas centré en f
=
0, utiliser ce dernier dans la calibration engendrerait uneasymétrie dans les résultats de S˜φ(f) à
|
f| >
6 GHz. Pour ces raisons, on choisit de ne pas utiliser γ˜−4(f) lors de la calibration et de plutôt forcer β˜−4,m(f)=
0.En somme, les γ˜±4(f) se retrouvent en dehors de l’éventail de fréquences valides pour la calibration, β˜4,m(f) n’est pas accessible par l’expansion en série de Fourier et la bande passante de la mesure nous empêche d’avoir un signal significatif pour β˜−4,m(f); il est donc jugé approprié de simplement annuler ce dernier lors de la calibration.
Selon un raisonnement similaire, on pourrait aussi éliminer les β˜±3, puis- qu’ils correspondent à des périodicités de phase, ou harmoniques, de
±
12 GHz. Or, comme on a expérimentalement accès aux deux signes de γ˜±3(f) — et que leur étalement en f couvre une large part de la zone de validité de la calibra- tion — on préfère simplement appliquer la calibration telle quelle dans ce cas11.La limite de la bande passante s’exprime alors d’elle-même dans les résultats. En bout de compte, les n pertinents sont ceux de
−
2 à 2, correspondant à des|
f| <
10 GHz ; valeurs pour lesquelles on obtient bien la zone de calibrationvalide entre
−
6 GHz et 6 GHz avec des creux autour de±
4 GHz et 0 Hz, tel que prédit à la section11.1.2. Les|
n| ≥
3 sont en quelque sorte analogues aux résultats à|
f| >
10 GHz, qui sont résolus par la mesure ultrarapide et traités 11. On a vérifié que poser γ˜3(f)=0 lors du traitement des données n’a pas d’effet notable surpar la calibration, bien que le signal à ces fréquences soit au final inaccessible pour des raisons de bande passante.
Avec S˜A(f) et tout les γ˜n(f) pertinents en main, on peut maintenant passer des coefficients de Fourier brutes β˜n,m(f) à ceux intrinsèques β˜n(f) à l’aide de (11.8) pour finalement obtenir les S˜φ(f)recherchés à l’aide de (11.7). Les spectres de bruit résolus en phase de la jonction tunnel sont donc expérimentalement accessibles après cette calibration.