4.3 Dégradation d’un coupon élémentaire
4.3.2 Modélisation
La figure4.4présente le Modèle Graphique Probabilistes Markovien d’ordre un (1-MGPM,
cf. chapitre 1) associé au processus de dégradation d’un coupon élémentaire. Ce dernier
étant constitué d’une pleine barre de rail de longueur L
ceet d’une éventuelle soudure, le
processus global est représenté par deux sous-modèles correspondant à ces deux
compo-sants. Dans cette application, nous utilisons les Modèles Graphiques de Durée (MGD, cf.
chapitre 2) de manière à faire face à d’éventuels dynamiques d’évolution complexes.
Fig. 4.4– Modèle de transition du1-MGPM associé à la dégradation d’un coupon élémentaire. Comme dans les chapitres précédents, les liens de couleur rouge indique une dépendance entre la tranchet−1 et la tranchet.
Le vecteur aléatoire X
pb,t= (X
pb,t, S
pb,t) représente les caractéristiques de la pleine
barre de rail à l’instant t. La variable aléatoire X
pb,tà valeurs dans l’ensemble d’états
X = {N,OX1,X2S,SRup} désigne son niveau de dégradation à l’instant t. La variable
aléatoire S
pb,tà valeurs dans S ={1, . . . , T
S} désigne le temps restant à l’instant t avant
le prochain changement d’état, où T
Scorrespond au temps de séjour maximum possible
dans chaque état. De même, le vecteur aléatoire X
sd,t= (E
sd,t, X
sd,t, S
sd,t) représente les
4.3 Dégradation d’un coupon élémentaire 133
caractéristiques de la soudure à l’instant t. La signification des variables aléatoires X
sd,tet S
sd,test analogue à ce qui est décrit pour la pleine barre. La variable E
sd,t, à valeurs
dans l’ensembleE={absente,présente}est une variable aléatoire à deux états permettant
de modéliser la probabilité que le coupon élémentaire présente ou non une soudure. De
manière synthétique, l’état du coupon élémentaire est défini comme étant égal à l’état le
plus critique entre celui de la pleine barre et celui de la soudure associée. De ce fait, nous
introduisons également la variable aléatoire X
ce,tde manière à représenter explicitement
l’état du coupon élémentaire à l’instantt. Par ailleurs, la variable d’utilité C
tsysdésigne le
coût associé à l’état du système, autrement dit à l’état du coupon élémentaire, à l’instant
t. Ce coût s’interprète comme la pénalité économique engendrée par une indisponibilité du
système.
Le contexte est décrit par un vecteur z supposé indépendant du temps et agissant sur la
dégradation de la pleine barre et de la soudure. La variable symbolisant le contexte est
volontairement notée en lettre minuscule de façon à souligner le fait qu’il ne s’agit pas
d’une variable aléatoire. Chaque étude sur la dégradation du système est donc réalisée
avec un contexte définia priori. De ce contexte, nous pouvons déduire les deux grandeurs
suivantes :
– L
v,z, le nombre de mètres de rails correspondant au contexte z;
– N
ce,z=L
v,z/L
ce, le nombre de coupons élémentaires associé à la voie de contexte z.
Pour finir, en utilisant les notations de l’approcheVirMaLab (cf. chapitre 3), le vecteur
aléatoire représentant l’état global du système correspond à X
t= (z,X
pb,t,X
sd,t, X
ce,t).
Description probabiliste
Soitz le vecteur contenant les informations contextuelles relatives à la voie que nous
sou-haitons étudier. D’un point de vue probabiliste, le processus de dégradation naturelle d’une
pleine barre est caractérisé par la distribution de son état à l’instant initial, notée α
pb,z,1,
sa Loi de Probabilité Conditionnelle (LPC) de transition naturelle, notéeQ
syspb,z, et sa LPC
des temps de séjour, notéeF
pbsys,z. Rappelons que la loiα
pb,z,1constitue un des paramètres
descriptifs du modèle puisqu’il permet de spécifier l’état initial des pleines barres sur la voie
considérée. En général, nous nous plaçons dans le cas où la voie est initialement neuve en
affectant une probabilité égale à un à l’état N. Sous réserve d’existence, l’évolution d’une
soudure possède des caractéristiques probabilistes analogues. Exceptée la LPC des temps
de séjourF
sdsys,z, les paramètres probabilistes de la soudureα
sd,z,1etQ
syssd,zdépendent
expli-citement de son existence. En pratique, s’il n’y pas de soudure à l’instantt, c’est-à-dire si
E
sd,t=absente, une probabilité égale à1est associée à l’état N. Nous considérons donc que
l’absence de soudure est modélisée par une soudure neuve qui ne se dégrade pas. D’autre
part, nous supposons que :
– les processus de dégradation ne sont pas auto-réparables ;
– l’état rupture est absorbant ;
– les transitions entre états s’effectuent de proche en proche, dans l’ordre croissant de
gravité.
134 Chapitre 4. Application à la prévention des ruptures de rails
Ces remarques, et en particulier le dernier point, sont conformes à la physique de
pro-pagation des fissures internes. D’après les descriptions précédentes, les lois de transition
naturelle de la pleine barre et de la soudure vérifient respectivement :
Q
syspb,zX
pb,tX
pb,t−1N OX1 X2S SRup
N 0 1 0 0
OX1 0 0 1 0
X2S 0 0 0 1
SRup 0 0 0 1
Q
syssd,zX
sd,tX
sd,t−1E
sd,tN OX1 X2S SRup
N absente 1 0 0 0
OX1 absente 1 0 0 0
X2S absente 1 0 0 0
SRup absente 1 0 0 0
N présente 0 1 0 0
OX1 présente 0 0 1 0
X2S présente 0 0 0 1
SRup présente 0 0 0 1
Il est important de noter que le processus de dégradation de la soudure dépend également
de l’évolution de sa probabilité de présence. Rappelons que dans cette section nous nous
intéressons à l’évolution naturelle du coupon élémentaire. Le processus décrivant l’existence
d’une soudure est donc défini dans un premier temps par sa loi initiale de présence, notée
ω
sd,z,1. À l’instar des lois initialesα
pb,z,1etα
sd,z,1, la loiω
sd,z,1est un paramètre descriptif
du modèle permettant de tenir compte du nombre de soudures présentes initialement sur
la voie, noté N
sd,z,1. Rappelons que par hypothèse, le nombre de soudures est au plus
égal au nombre de coupons élémentaires, c’est-à-direN
sd,z,1≤N
ce,zLa probabilité initiale
d’existence d’une soudure est alors donnée par
P(E
sd,1=présente;z) =ω
sd+,z,1= N
sd,z,1N
ce,z, (4.1)
Le processus régissant l’existence de la soudure dépend également de sa loi de transition
naturelle, notée W
sdsys. Or, après la pose initiale et sans intervention extérieure, il ne peut
y avoir création de soudures, ces dernières étant introduites sur la voie lors d’opérations
de maintenance correctives. Autrement dit, la probabilité de présence d’une soudure ne
change pas et par conséquent la LPCW
sdsyscorrespond à la LPC identité :
W
sdsysE
sd,tE
sd,t−1absente présente
absente 1 0
4.3 Dégradation d’un coupon élémentaire 135
La définition de la LPC de transition artificielle de création/suppression de soudure, notée
W
sdact,z, est abordée à la fin de la partie 4.5.4.
Nous introduisons enfin la LPC Σ
cdpermettant de définir l’état du coupon élémentaire
conditionnellement à l’état de la pleine barre et à l’état de la soudure. Rappelons que l’état
du coupon élémentaire correspond à l’état de dégradation le plus critique entre celui de la
pleine barre et celui de la soudure. Cela se traduit formellement par :
Σce Xce,t Xpb,t Xsd,t N OX1 X2S SRup N N 1 0 0 0 OX1 N 0 1 0 0 X2S N 0 0 1 0 SRup N 0 0 0 1 N OX1 0 1 0 0 OX1 OX1 0 1 0 0 X2S OX1 0 0 1 0 SRup OX1 0 0 0 1 N X2S 0 0 1 0 OX1 X2S 0 0 1 0 X2S X2S 0 0 1 0 SRup X2S 0 0 0 1 N SRup 0 0 0 1 OX1 SRup 0 0 0 1 X2S SRup 0 0 0 1 SRup SRup 0 0 0 1