Conclusions

// ´Echantillonnage du mod`ele initial

pour chaque t

^′

∈ {1, . . . , n}faire

(x

t′,1

, . . . , x

t′,D

)←A

^statique

échant

({p

ⁱⁿⁱ_t′,1

, . . . , p

ⁱⁿⁱ_t′,D

});

fin

// ´Echantillonnage du mod`ele de transition

pour chaque t∈ {n+ 1, . . . , T} faire

(x

t,1

, . . . , x

t,D

)←A

^statique

échant

({p

^→_t,1

, . . . , p

^→_t,D

});

fin

1.5 Conclusions

Ce chapitre fournit des éléments sur le formalisme des modèles graphiques probabilistes

statiques et markoviens. L’exemple traité tout au long du chapitre illustre les possibilités

offertes par ces outils en ce qui concerne la modélisation de systèmes complexes. L’intérêt

principal de ce type d’approche provient du caractère intuitif induit par l’aspect graphique

de la modélisation. En outre, les méthodes présentées pour résoudre les problèmes

d’ap-prentissage et d’inférence probabiliste fournissent aux utilisateurs des outils d’analyses

performants et génériques. Ceci permet d’expliquer en partie l’engouement actuel pour

les modèles graphiques probabilistes que ce soit en intelligence artificielle, pour l’aide au

diagnostic en général ou encore en sûreté de fonctionnement.

L’utilisation de ce type d’outils paraît donc pertinente pour le problème de modélisation de

la maintenance en général et de la voie ferrée en particulier. L’apprentissage d’un processus

de vieillissement, son intégration dans un modèle de maintenance et enfin le calcul

d’in-dicateurs de la fiabilité ou le coût du système sont des tâches complexes, mais accessibles

aux modèles graphiques comme la suite de ce document le démontre.

1.5 Conclusions 49

d’un système. Pour ce faire et de par leur formalisme approprié, les modèles graphiques

probabilistes markoviens y jouent un rôle important. Il y est question en particulier d’un

Chapitre

2

Mod`eles Graphiques de Dur´ee

Sommaire

2.1 Introduction . . . 52 2.2 Description graphique. . . 54 2.3 Description probabiliste . . . 55 2.3.1 Distribution initiale des ´etats du syst`eme . . . 56 2.3.2 Distribution initiale des temps de s´ejour . . . 56 2.3.3 Politique d’action. . . 59 2.3.4 Mod`ele de transition des ´etats du syst`eme . . . 59 2.3.5 Mod`ele de transition du temps de s´ejour . . . 62 2.3.6 Remarques . . . 64

2.4 Apprentissage des LPC et simulation de trajectoire. . . 67 2.4.1 Donn´ees attendues . . . 68 2.4.2 Estimation du maximum de vraisemblance . . . 68 2.4.3 Simulation de trajectoires . . . 69

2.5 Inf´erence probabiliste exacte . . . 71 2.5.1 Probabilit´e d’une trajectoire. . . 71 2.5.2 Calcul na¨ıf . . . 73 2.5.3 Calculad hoc . . . 74

2.6 Application `a l’´etude de la fiabilit´e . . . 77 2.6.1 MGD et mesures de fiabilit´e. . . 77 2.6.2 Illustration . . . 78

52 Chapitre 2. Modèles Graphiques de Durée

2.1 Introduction

Ce chapitre aborde le problème de la modélisation d’un système dynamique(Howard 2007a)

à états discrets et finis dans le cadre des modèles graphiques probabilistes. Le terme système

dynamique conserve le sens donné au début de la partie1.4. Les qualificatifs discret et fini

indiquent que l’espace des états doit être un ensemble dénombrable et fini. L’objectif de ce

chapitre concerne en particulier la modélisation :

– des temps qui s’écoulent entre deux événements (ex : durée de vie d’un individu ou

d’un système physique, durée entre le déclenchement d’une maladie et la guérison, durée

d’un épisode de chômage, durée entre l’établissement d’un prêt et une défaillance de

remboursement. . .) ;

– des transitions entre deux événements (ex : transition entre deux états de fonctionnement

pour un système de production industriel, transition entre les différents stades d’une

maladie, changement comportemental d’un individu au cours d’une partie de poker. . .).

La figure2.1donne un exemple d’évolution d’un système dynamique à trois états au cours

du temps. On parle en général d’une trajectoire du système. La question est de proposer un

modèle capable d’exploiter au mieux l’information contenue dans les trajectoires observées

d’un système (transitions et temps de séjour dans chaque état). La problématique soulevée

ici est très générale et trouve des applications dans de nombreux domaines tels que la

biologie, la médecine, la démographie, l’économie, la finance. . . Ce document aborde ce

problème dans le cadre de la sûreté de fonctionnement. Toutefois, les développements

réalisés sont aisément transposables dans de nombreux domaines connexes.

Il existe de nombreux travaux traitant de l’analyse de la fiabilité dans la littérature. Des

outils tels que les chaînes de Markov (Aven and Jensen 1999) sont bien adaptés pour la

modélisation des transitions dans un système multi-états. L’inconvénient majeur de cette

approche reste la contrainte implicite sur les temps de séjour dans les états du système. Dans

ce cas, ces derniers sont nécessairement distribués géométriquement (ou exponentiellement

en temps continu). Pour dépasser cette limitation les modèles semi-markoviens (Limnios

and Oprisan 2001) ont été développés permettant de spécifier explicitement des lois de

temps de séjour dans chacun des états. D’autre part le modèle de Cox (1972)ou plus

gé-néralement un modèle à hasards proportionnels(Kay 1977)sont des outils intéressants dès

qu’il s’agit d’analyser l’influence de variables contextuelles sur la dégradation du système.

Les méthodes citées précédemment fournissent des outils d’analyses performants lorsque le

système étudié reste de taille raisonnable. Elles possèdent en outre l’avantage d’être flexibles

sur leurs conditions d’utilisation (temps discret/continu, variables discrètes/continues). En

revanche, ces approches sont difficilement applicables aux grands systèmes caractérisés par

un grand nombre de variables interdépendantes.

Par ailleurs, de récentes études reposant sur l’utilisation de MGP se sont avérées pertinentes

pour représenter les systèmes dynamiques et étudier leur fiabilité. En effet, le fort potentiel

des MGP en matière de modélisation permet de représenter relativement intuitivement des

systèmes complexes en décrivant leur comportement stochastique local. Ce gain de

flexibi-lité en matière de représentation se fait néanmoins au détriment de conditions d’utilisation

parfois plus restrictives, notamment la nécessité de travailler en temps discret.Boudali and

2.1 Introduction 53

Fig. 2.1– Évolution de l’état d’un système dynamique au cours du temps (trajec-toire du système sur dix pas de temps).

Dugan (2005) etCeleux et al. (2006)ont donné des exemples d’études de fiabilité sur des

systèmes composés de nombreuses variables interdépendantes à partir de MGP statiques.

Langseth and Portinale (2007) etMontani et al. (2006) ont montré qu’il était possible de

représenter les arbres de défaillance (Vesely et al. 1981) avec un MGP. Weber and Jouffe

(2003)ont utilisé les Modèles Graphiques Probabilistes Markoviens d’ordre un (1-MGPM)

afin de modéliser des chaînes de Markov dépendant de variables exogènes pour étudier la

fiabilité d’un système dynamique à temps discret en tenant compte de son contexte.

L’in-térêt majeur de cette technique est la possibilité de représenter de grands systèmes dont

l’aspect dynamique est géré localement par des chaînes de Markov. Bien que suffisante dans

certains cas, cette approche souffre de la limitation liée au temps de séjour géométrique.

Dans le cadre d’un problème d’apprentissage dans les modèles de Markov cachés,Murphy

(2002) a proposé d’introduire explicitement une variable de temps de séjour associée à

l’état des variables cachées, l’objectif étant d’améliorer les procédures d’apprentissage en

tenant compte de l’information sur les durées passées dans chaque état. Toutefois l’ajout

de ces variables de durée engendre souvent une complexité spatiale importante de sorte que

les algorithmes d’inférence exacte génériques dédiés aux MGPM voient leur performance

chuter significativement.

54 Chapitre 2. Modèles Graphiques de Durée

Dans ce chapitre, nous introduisons un 1-MGPM discret et fini particulier s’inspirant des

modèles à variables de durée proposés par Murphy (2002). Cette structure a pour

voca-tion de représenter l’évoluvoca-tion d’un système multi-états dont les lois de temps de séjour

sont quelconques. Cette structure prévoit également la prise en compte d’actions agissant

éventuellement sur le système au cours du temps. La description graphique et probabiliste

de ce 1-MGPM, que nous appelons Modèle Graphique de Durée (MGD), est abordée

res-pectivement dans la partie 2.2 et la partie 2.3. Par la suite, nous mettons l’accent sur le

problème de l’apprentissage et de la simulation de données pour un MGD dans la partie

2.4. Dans la partie 2.5, nous décrivons une méthode d’inférence probabiliste efficace

dé-diée à cette structure particulière. Enfin, une comparaison empirique sur l’évaluation de la

fiabilité d’un système représenté à partir d’un MGD et à partir d’une Chaîne de Markov

(CM) est proposée dans la partie2.6.

Dans le document Modélisation de la fiabilité et de la maintenance par modèles graphiques probabilistes : application à la prévention des ruptures de rail (Page 49-55)