Modélisation des contraintes

Fonction objectif

2.5 Nouvelle modélisation du problème intégré

des coûts de production, de stockage, de rupture de stock et de lancement. La fonc- tion objectif s'écrit de la manière suivante :

MinimiserX i,l cp_iXil+ X i,l (cinv_i I_il++ cback_i I_il−) +X i,l cs_iYil

Équations d'équilibre des stocks

Les équations d'équilibre des stocks s'écrit comme suit :

I_il+− I_il− = I_il−1+ − I_il−1− + Xil− Dil− X j∈DS(i)

gijXjl+Lj ∀i, l

Contraintes de lancement

Les contraintes liant les variables continues et binaires sont les suivantes :

Xil ≤ ( T X k=1 Dik)Yil ∀i, l Contraintes de capacité

Dans la modélisation des contraintes de capacité, nous choisissons de prendre en compte des contraintes provenant de l'ordonnancement. L'idée consiste à modéli- ser les chemins du graphe conjonctif, ce graphe étant une manière de représenter un ordonnancement. Ainsi, en modélisant les chemins du graphe conjonctif, nous modélisons l'ensemble de contraintes d'ordonnancement.

Exemple 2.1. Nous allons appuyer nos propos par un exemple avec trois périodes, deux machines, deux ordres de fabrication et deux opérations par produits. Le graphe conjonctif associé à cet exemple est donné par la gure 2.5.

Fig. 2.5  Exemple d'un graphe conjonctif avec deux ordres de fabrication

Dans le graphe conjonctif, un certain nombre de contraintes doivent être respec- tées :

• Contraintes C1 : les opérations appartenant à l'ensemble L des dernières opérations des gammes doivent être terminées avant une date due. Ces condi- tions expriment l'obligation de fabriquer les quantités aux périodes prévues. La gure 2.6 illustre ces contraintes sur l'exemple de la gure 2.5.

• Contraintes C2 : ce sont les contraintes sur les opérations appartenant à l'ensemble F des premières opérations des gammes. Rappelons que le délai d'obtention, c'est-à-dire le nombre de périodes pour fabriquer un produit, est pris en compte dans la formulation du problème. La date de démarrage pour fabriquer un produit, correspondant à la date due moins le délai d'obtention du produit, est donc connue. Pour la modéliser, on impose aux opérations appartenant à F de ne pas commencer avant cette date. Dans l'exemple 2.5, le délai d'obtention est supposé égal à 1 pour chaque produit, et les opérations 5 et 11 ne doivent pas commencer avant la période 2 (voir gure 2.7).

2.5 Nouvelle modélisation du problème intégré

Fig. 2.6  Représentation des contraintes C1

• Contraintes C3 : les opérations appartenant à une même gamme doivent être produites selon un ordre précis, par dénition d'une gamme (voir gure 2.8). • Contraintes C4 : les opérations produites sur une même machine doivent être

produites selon un ordre précis, puisque la séquence des opérations est xée (voir gure 2.9).

Fig. 2.7  Représentation des contraintes C2

• Contraintes C5 : les opérations appartenant à l'ensemble L des dernières opérations des gammes ne doivent pas être produites avant une date xée. Nous établissons cette hypothèse an de ne pas engendrer de coûts de stockage supplémentaires. En eet, soit o la dernière opération d'une gamme telle que l(o) = t. Si cette opération est terminée avant la n de la période t − 1, alors un coût de stockage doit être comptabilisé durant la période t. Dans le graphe conjonctif, nous ajoutons donc des arcs qui lient le sommet source aux opérations appartenant à L. Cependant, par souci de clarté, ils ne gurent pas dans le schéma.

• Contraintes C6 : an de respecter les délais, il est nécessaire que toutes les opérations soient produites avant la n de l'horizon de temps T. Plus précisé- ment, la durée totale d'exécution et de lancement des opérations sur chaque machine ne doit pas dépasser la n de l'horizon de temps.

2.5 Nouvelle modélisation du problème intégré

Fig. 2.8  Représentation des contraintes C3

Fig. 2.9  Représentation des contraintes C4

Les contraintes C3 et C4 sont garanties dans la dénition des chemins du graphe. Pour modéliser les contraintes C1, C2 et C5 nous associons à chaque opération o une variable r(o). Cette variable peut être vue comme la date de début de l'opération o. Elle est dénie de la façon suivante :

r (o) = l(o)−Li(o) X l=1 capal ∀o ∈ F (2.19) r(o) = l(o)−1 X l=1 capal ∀o ∈ L (2.20) r (o) = max( l(o)−Li(o) X l=1 capal, l(o)−1 X l=1 capal) ∀o ∈ F ∩ L (2.21) r(o) = 0 ∀o /∈ F ∪ L (2.22)

An d'assurer la contrainte C6, nous dénissons la nouvelle contrainte suivante :

r(of_c) +X o∈c (pu_oXi(o)l(o)+ soYi(o)l(o)) ≤ l(ol c) X l=1 capal ∀c ∈ C(y) (2.23) Avec :

C(y) : ensemble des chemins du graphe associé à la séquence y. of

c : première opération du chemin c. ol

c : dernière opération du chemin c.

Cette contrainte indique que la somme des durées d'exécution et de lancement des opérations sur un chemin doit être inférieure à la date de n au plus tard de la dernière opération du chemin. Elle modélise tous les chemins du graphe conjonctif et permet ainsi de modéliser toutes les contraintes C1 à C6.

2.5 Nouvelle modélisation du problème intégré

Application :

L'exemple précédent permet à nouveau d'illustrer ce travail. Deux chemins par- ticuliers ont été choisi pour montrer la prise en compte des contraintes d'ordonnan- cement.

Un premier chemin, que l'on notera Ch1, passe par les deux opérations 1 et 2 (voir gure 2.10). Dans ce cas, la contrainte (2.23) associée au chemin Ch1 s'écrit comme suit :

pu₁Xi(1)l(1)+ s1Yi(1)l(1)+ pu2Xi(2)l(2)+ s2Yi(2)l(2)≤ capa1 avec r(of

c) = 0 car ofc = 1.

Ainsi, les opérations 1 et 2 doivent être terminées avant la n de la période 1, et les contraintes C1, C3 et C6 sont respectées.

Le deuxième chemin que nous avons choisi est noté Ch2 (gure 2.11). Nous considérons dans ce cas que le délai d'obtention de l'opération 5 est égal à 1. La première opération du chemin Ch2 étant l'opération 5, r(of

c) = r(5) = capa1 par la formule (2.19). La contrainte (2.23) associé au chemin Ch2 s'écrit comme suit :

capa1+ pu5Xi(5)l(5)+ s5Yi(5)l(5)+ pu6Xi(6)l(6)+ s6Yi(6)l(6)+ pu10Xi(10)l(10)+ s10Yi(10)l(10) ≤ capa1+ capa2+ capa3

Ainsi, l'opération 5 ne commence pas avant le début de la deuxième période et les opérations 5, 6 et 10 doivent être terminées avant la n de la période 3. Les

Fig. 2.10  Représentation du chemin Ch1

contraintes C2, C3, C4 et C6 sont respectées.