Modélisation de l'arbre

bois ρe bois ρe

aig^dlma ele ρeVe

de l'amortissement pour dissiper le bruit numérique dans les hautes fréquences si l'on souhaite

utiliser ce schéma. Par contre, l'ajout d'amortissement dans le système impacte négativement la

valeur du pas de temps critique comme le montre la relation suivante :

∆t≤ 2

ω

(q

1 +ξ

−ξ

) (1.9)

oùξ

correspond dans ce cas au facteur d'amortissement du mode le plus élevé.

Les calculs Eléments Finis ont été eectués en utilisant le logiciel ABAQUS (ABAQUS inc.,

Pawtucket, EUA [1]). Les trois méthodes d'analyse dynamique sont disponibles dans le logiciel.

Puisque nous avons décidé d'étudier le comportement mécanique de l'arbre en non-linéaire, nous

avons utilisé les méthodes d'intégration directe. Le choix d'un opérateur explicite ou implicite

pour prédire l'histoire des déplacements dépend des cas d'application. L'analyse modale a été

employée pour identier les modes propres des arbres modélisés.

1.2 Modélisation de l'arbre

1.2.1 Type d'éléments

Dans le modèle, chaque axe ligneux aérien est maillé par un ensemble d'éléments nis de

poutre (Fig. 1.1) dont l'identicateur dans ABAQUS est B31. Ce sont des éléments de type

Tim-oshenko sur lesquelles toutes les composantes de déplacement(u, v, w, ω

, ω

, ω

)sont interpolées

linéairement (cf. Abaqus Theory Manual [1]).

L'utilisation d'éléments de poutre est justiée par le fait que les axes ligneux sont des corps

élancés. Leurs dimensions transverses sont faibles devant leur dimension longitudinale. Le choix

d'un polynôme d'interpolation linéaire plutôt que quadratique ou cubique s'est fait en raison

du grand nombre d'éléments dans les structures modélisées. Dans certains cas d'application, les

axes ligneux sont discrétisés en masses ponctuelles ou en corps rigides à partir d'un ordre de

ramication donné.

con-Fig. 1.1 (a) Exemple de discrétisation d'un axe ligneux en éléments de poutre multi-couches,

d'après Fourcaud et Lac [19]. (b) Elément de poutre et degrés de liberté associés.

necteur (Fig. 1.2). Le connecteur utilisé autorise deux degrés de liberté en rotation autour d'axes

horizontaux et orthogonaux.

Fig. 1.2 Connecteur exible simulant le comportement de la plaque racinaire d'après [1] et son

repère local.

1.2.2 Propriétés géométriques des éléments

La section des éléments de poutre est choisie circulaire pleine. La conicité d'un axe ligneux

est simulée par la discrétisation de l'axe en éléments de section diérentes égales à la section

réelle de l'axe au milieu de l'élément Enn, les éléments sont cylindriques de section circulaire.

Les variations de section le long d'un axe ligneux sont représentées par une discrétisation de l'axe

en plusieurs éléments de sections diérentes (Fig. 1.1). Le nombre d'éléments utilisé pour mailler

chaque axe est décrit pour chaque d'application du modèle. Il est choisi de façon à assurer la

convergence de la solution. Il est aussi conditionné par la nécessité de placer un noeud au point

où les branches portées viennent s'insérer dans l'axe porteur à mailler.

1.2. Modélisation de l'arbre 19

1.2.3 Propriétés matérielles des éléments

Le bois est un matériau hétérogène et orthotrope [31]. Le repère d'orthotropie est formé par

les directions longitudinale, radiale et tangentielle. La direction longitudinale dans un axe est

orientée par la direction de la bre. Nous faisons ici l'hypothèse que la génératrice des éléments

et la direction longitudinale du repère sont confondues. Les propriétés dans les directions

trans-verses sont négligées puisqu'on travaille avec des éléments de type poutre.

Le bois est mise en place dans l'arbre au cours de la croissance. Ses propriétés, tels que sa

masse volumique et son module d'élasticité longitudinal, varient entre autre en fonction son âge

physiologique. Dans le modèle nous travaillons avec des valeurs équivalentes de ces grandeurs,

i.e. homogénéisées sur le volume de bois d'un axe ligneux. En outre, nous faisons l'hypothèse

d'un comportement élastique du bois en traction/compression. Les hypothèses de travail sur le

matériau sont relativement fortes. Elles ne se justient que par l'échelle de l'étude menée au

niveau de la structure arbre. Il est de plus envisageable d'aner la modélisation du matériau si

les hypothèses formulées sont trop fortes pour étudier le phénomène.

Si les axes ligneux du système aériens sont entièrement décrits, ce n'est pas le cas du feuillage.

Nos travaux se limitant à l'étude des conifères, il est plus approprié de parler d'aiguilles. Leur

présence sur un élément d'axe modie la masse volumique de l'élément en question. Celle-ci est

recalculée en fonction de la densité linéique de masse d'aiguilles,dlma, et du volume de l'élément

porteur. Le module d'élasticité longitudinal d'un élémént n'est pas aecté par le port d'aiguilles.

La loi de comportement du connecteur modélisant le comportement du système racines/sol est

élastique. A nouveau il s'agit d'une hypothèse simplicatrice car le comportement de

vérita-bles plaques racinaires met en évidence de la plasticité et de l'endommagement [12]. L'usage du

connecteur autorise des lois de comportement plus complexes. Il est envisageable de simuler un

comportement expérimental ou fourni par des modèles d'ancrage plus évolués [7].

Une manière simple de construire la matrice d'amortissement d'un système dynamique est

de suivre l'hypothèse de Rayleigh [26].

C=αM +βK (1.10)

et de rigité du système. Les coecients d'amortissement modaux s'expriment alors :

ξ

= 1

2(

∆t≤ ²

= ¹

2⁽

⁺^βω

⁾ (1.11)