Dans cette partie, l'appellation modèles de turbulence simples regroupe les modèles al- gébriques du premier ordre où les échelles de longueur et de vitesse caractéristiques de la turbu- lence sont résolues directement par des relations algébriques. Nous incluons également les modèles à une équation de transport portant sur la viscosité de la turbulence elle-même.
4.3.1 Modèles algébriques ou à longueur de mélange
Les modèles algébriques aussi appelés modèles à longueur de mélange sont en général ro- bustes et peu coûteux, mais la simplicité de leur formulation avec notamment une absence totale d'histoire de la turbulence rend leur domaine de validité très limité.
Il existe un certain nombre de modèles basés sur le concept de longueur de mélange, aucun ne sera utilisé dans cette étude, mais les plus importants d'entre eux seront néanmoins présentés succinctement pour permettre au lecteur de mieux comprendre l'historique des recherches menées sur les modèles RANS et de mieux appréhender les hypothèses simpli catrices existantes.
Le choix de la longueur de mélange par analogie au libre parcours moyen est critiquable car le libre parcours moyen, contrairement à la longueur de mélange, ne dépend que des conditions thermodynamiques du uide. D'autre part, le calcul de la distance à la paroi peut poser problème
4.3. MODÈLES DE TURBULENCE SIMPLES
en cas de géométries complexes. En n, cette expression de µt ne prend pas en compte l'histoire
de la turbulence.
Modèle standard de Prandtl
Prandtl suggère, en 1925, le choix d'une longueur analogue au libre parcours moyen des particules pour représenter l'échelle de longueur Lµt. Il propose pour cela le concept de longueur de mélange lm, correspondant à la distance durant laquelle une quantité de uide peut être
identi ée avant qu'elle ne se mélange. L'échelle de vitesse Uµt est alors exprimée en fonction de la vitesse moyenne de l'écoulement : Uµt = Lµt
∂u
∂y = lm∂u∂y. Le modèle de longueur de mélange
repose donc sur l'expression suivante pour la modélisation de la viscosité de la turbulence : µt= Cµstet ρ l
2
m|D| , |D| =
p
2 DijDij (norme du tenseur des déformations)
La longueur de mélange lmdoit être déterminée, elle est généralement assimilée à une fonction
de la distance à la paroi la plus proche (caractéristique de la taille des plus grosses structures) en zone interne et à une fonction de l'épaisseur de couche limite dans la zone externe.
Dans les régions interne et externe de la couche limite, Prandtl propose d'exprimer lm sous
les formes : li
m= κ y et lem= 0.085 δ , ce qui mène à l'expression globale suivante
µt= ρ l2mFV D2 |D| ; lm= min(κ y , 0.085 δ)
où FV D est la fonction d'amortissement de Van Driest FV D= (1 − e−y
+/A+ ). Modèle de Michel [50]
En 1969, Michel et al. proposent d'utiliser une longueur de mélange universelle permettant de décrire la région interne et la région externe :
lm = 0.085 δ tanh(
κ 0.085
y δ)
Cette expression est cohérente en y = 0 et en y/k → 1 au comportement proposé par Prandtl. Modèle de Cebeci-Smith [114]
A n d'éviter une surestimation de la longueur de mélange et donc de la viscosité de la turbulence pour les couches limites soumises à des gradients de pression positifs, Cebeci et Smith utilisent, dans la région externe de la couche limite, la relation de Clauser pour le maximum de viscosité de la turbulence :
µt=
(
µti = ρ(κ y)2FV D2 |D| pour y < ycrossover
µte = ρ CClauserueδ1γ(y , δ) pour y > ycrossover
Où CClauser = 0.0168 et γ(y , δ) = 1 + 5.5 (y/δ)6−1 est une fonction limitant la viscosité de
la turbulence, inspirée de la fonction de Klebano pour la prise en compte de l'intermittence de frontière de la turbulence. On note ycrossover la plus petite distance à la paroi pour laquelle les
viscosités interne et externe µti et µte sont égales.
Modèle de Baldwin-Lomax [10]
Devant les di cultés inhérentes au calcul numérique de l'épaisseur de couche limite de certains écoulements, notamment les écoulement de sillage, Baldwin et Lomax proposent en 1978 un nouveau modèle inspiré de celui de Cebeci et Smith, qui met en jeu la norme du tenseur de vorticité |Ω| = p2 ΩijΩij, où Ωij = 12 ∂ui ∂xj − ∂uj ∂xi
. Ce modèle repose sur l'expression de la viscosité de la turbulence suivante :
µt=
(
µti = ρ (κ y)2FV D2 |Ω| pour y < ycrossover
µte= ρ CClauserCcpueFW akeFKleb pour y > ycrossover
où on note FW ake = min y|FmaxFmax ; CW Ky|Fmaxu2DIF/Fmaxla fonction de sillage où y|Fmax et Fmaxsont issus du maximum de F (y) = y|Ω|(1−e(−y
+/A+
). La fonction de Klebano est notée FKleb = (1 + 5.5(y CKleb/y|Fmax)6)−1, les constantes Ccp = 1.6, CW K = 0.25, CKleb = 0.3, et en n on note uDIF la diérence de vitesse entre les deux écoulements d'un sillage.
Ce modèle présente un certain nombre d'inconvénients qui mènent à une surestimation du tenseur des contraintes turbulentes pour les écoulements décélérés et une surestimation pour les écoulements approchant la séparation.
Modèle de Johnson et King [54]
Pour mieux prendre en compte les eets d'advection et de diusion, ce modèle propose d'utiliser le maximum de la tension turbulente −u′v′max comme échelle de longueur dans le
modèle de Cebeci-Smith : µt= µte h 1 − exp − µt i µte i µti = ρκ y FV D2 q −u′v′max µte= Csteγ(y , δ) (4.13) Le maximum de la tension turbulente est évalué par résolution de l'équation de transport de l'énergie cinétique de la turbulence en supposant −u′v′max et kmax proportionnels.
Ce modèle a montré de bons résultats pour les écoulements séparés, mais pas pour les écoule- ments attachés. Il reste en outre peu robuste et relativement compliqué à implémenter.
4.3.2 Modèles à une équation de transport de la viscosité de la turbulence
Il n'est évidemment pas possible de déduire des équations de Navier-Stokes une équation exacte de transport de la viscosité de la turbulence qui n'est pas une grandeur physique. Cepen- dant, diérents auteurs ont tenté de créer des modèles basés sur cette équation. Deux types d'approches peuvent être trouvées dans la littérature, l'une d'elle introduite par Baldwin et Barth [11] consiste à dériver une équation de transport pour la viscosité de la turbulence à partir d'équations de transport exactes, citons notamment le modèle de Menter pour lequel l'équation de transport de µt est dérivée des équations de conservation de k et ε, cette équation s'écrit
dνt dt = c1νtΩ − c2 νt L′ V K 2 + divνt σ −−→ grad νt
avec νt = µt/ρ et où Ω est la norme du vecteur
vorticité et L′
V K une échelle de longueur.
La seconde approche consiste à construire empiriquement l'équation de transport de µt. C'est
ainsi que Spalart et Allmaras ont développé le modèle suivant, modèle qui sera utilisé dans le dernier chapitre de ce mémoire.
4.3.2.1 Modèle de Spalart Allmaras
Le modèle de Spalart Allmaras [118] propose de résoudre une équation de transport pour une pseudo-viscosité, cette équation est la suivante :
d˜ν dt = Cb1|| −→ rot ~u || ˜ν + 1 σ
div(˜ν−−→grad ˜ν) + Cb2−−→grad ˜ν · −−→grad ˜ν
(4.14) Cette équation est construite en améliorant terme à terme le modèle pour l'adapter à des écoule- ments de complexité croissante (écoulement homogène, écoulement cisaillé, région logarithmique,