6. Modélisation de la croissance par agglomération
6.1. Modèles simples
6.1.1. Modèles basés sur les collisions entre particules
La croissance des particules par agglomération est basée sur une série de collisions binaires entre particules. La vitesse de coalescence de particules de la classe i avec des
particules de la classe j dépend de leur concentration en nombre ni et nj. La coalescence des
particules est considérée aléatoire et la vitesse de croissance dépend du produit, de la
fréquence de collision Kij et de la fraction Eij de chocs non-élastiques dans le système. La
cinétique d’agglomération (Gij) est exprimée par la relation suivante (Sastry et Fuerstenau,
1970 ; Sastry, 1975) :
Gij = Kij Eij (ni nj / NT(2-a) ) (Eq. 1.31)
où Kij : fréquence de collision, Eij : fraction de chocs non-élastiques, NT : nombre total de
particules, a : encombrement du milieu (a = 1 pour un milieu dense et a = 2 pour un milieu dilué).
Un autre modèle est celui proposé par Tardos et al. (1997) pour décrire la croissance de particules, leur déformation et rupture pendant le procédé d’agglomération en lit fluidisé, en utilisant le nombre de Stokes. Les équations proposées incluent l’énergie dissipée dans les ponts liquides lorsque deux particules entrent en collision (Ennis et al., 1991). L’ensemble des corrélations avec le nombre de Stokes, décrit la croissance des particules suivant différents régimes en fonction de la taille de l’agglomérat. Le modèle est valable quand les pertes d’énergie par déformation interne des particules sont moins grandes que celles intervenant à la surface. C’est le cas lorsqu’on a des granules rigides et de faibles vitesses d’impact.
6.1.2. Modèles basés sur la structure des agglomérats
Smith et Nienow (1983 a, b) ont proposé un modèle d’agglomération en lit fluidisé discontinu qui relie le diamètre moyen des agglomérats formés à la quantité de liant pulvérisée. A partir d’une représentation idéalisée d’un agglomérat (Figure 1.6.1) constitué de particules initiales, de liant solide et d’air piégé dans le volume de l’agglomérat, ils montrent que le rapport Y entre le volume de liant pulvérisé et le volume total de particules initiales dans le lit est une fonction linéaire de d, le rapport de taille entre les particules initiales et les agglomérats :
Y = k ( f – 3 s.dp) (Eq. 1.32)
où k = εa / (1- εa) = fraction volumique de « vide » dans un agglomérat de porosité ε
(« vide » = air + liant), s = paramètre adimensionnel caractéristique du retrait du liant dans les
interstices entre particules à la surface de l’agglomérat sur une épaisseur (s.ru), f = fraction
volumique du « vide » dans l’agglomérat occupée par le liant (1-f) = fraction occupée par l’air)
Le tracé de Y = f(d) conduit à une droite dont la pente vaut (-3k s) et l’ordonnée à l’origine est (k f).
Une relation est proposée pour la détermination de f à partir de Y, ρp et ρliant, les
masses volumiques vraies des particules initiales et du liant et ρap la masse volumique
« apparente » ou « d’enveloppe » des agglomérats :
f = Y ρap / (Y . ρliant + ρp – ρ ap ) (Eq. 1.33)
Connaissant f, l’ordonnée à l’origine de la droite Y = f(d) permet de déterminer k puis s à partir de la pente de la droite.
Ce modèle a été validé par des essais d’agglomération en lit fluidisé de billes de verre avec des solutions de Carbowax à 5% et 1%. Les courbes Y = f(d) obtenues étaient des droites. Leur exploitation a permis de déterminer les valeur de f et s pour les deux concentrations de la solution de liant : f et s augmentent lorsque la concentration augmente.
Pont (2000) a proposé une loi phénoménologique permettant de relier la constante cinétique d’agglomération (β), définie comme la pente de la droite représentant l’évolution du diamètre moyen massique en fonction du temps, aux paramètres physico-chimiques et à la taille des particules initiales :
β = 13560 σL . cos ωs . dp-1.5 + 0,24 (Eq. 1.34)
Cette loi semi-empirique est limitée aux particules de taille inférieure à 400µm.
6.1.3. Modèles utilisant les bilans de matière et chaleur
Dans les modèles les plus simples, le lit fluidisé est supposé parfaitement agité avec une distribution homogène du liquide sur l’ensemble des particules. Les teneurs en eau estimées sont plus faibles que celles obtenues en réalité. Il y a des modèles qui introduisent
dans les bilans le facteur de mouillage des particules ϕ = Spm /Spt, rapport entre la surface
mouillée des particules (Spm) et la surface totale des particules (Spt) (Heinrich et Mörl, 1999a,
b).
Afin de caractériser la distribution du liquide pulvérisé dans la « zone de pulvérisation » du lit fluidisé où les particules entrent en contact avec les gouttes de liquide, certains auteurs ont introduit la notion de débit de pulvérisation adimensionnel (Ψa) (Watano et al., 1995 ; Lister et al., 2001 ; Hapgood et al., 2004 ). Le terme Ψa est défini comme le rapport entre le débit surfacique de liquide pulvérisé (surface couverte par les gouttes pulvérisées par unité de temps) et le débit surfacique de solide A’ (surface de solide traversant la zone de pulvérisation par unité de temps). Cette notion est utilisée dans les bilans de matière et chaleur pour évaluer l’efficacité du séchage pendant le procédé d’agglomération dans un lit fluidisé.
Certains modèles plus récents décrivent le phénomène de séchage de façon plus détaillée avec l’introduction d’un coefficient de dispersion axial des particules solides dans le lit fluidisé, avec des équations en coordonnées cylindriques afin de prendre en compte leur position, et proposent une distribution des particules solides dans différentes régions du lit avec des temps de séjour et des conditions de séchage différentes (Becher et Schlünder, 1997).
D’après différents études sur les distributions de température et humidité dans le lit fluidisé avec pulvérisation en « top » (Smith et Nienow, 1982 ; 1983a ; Maronga et
Wnukowski, 1997a, b ; 1998 ; Caiyuan et al., 2002 ; Heinrich et al., 2003), le lit fluidisé peut être divisé en trois régions différentes :
a) Région d’évaporation : c’est la région supérieure du lit (très proche de la buse de pulvérisation) où il y a principalement mouillage des particules et évaporation du solvant (eau) pulvérisé.
b) Région isotherme : c’est la région centrale du lit dans laquelle il n’y a ni transfert de matière, ni transfert de chaleur. L’air de fluidisation et les particules sont à la même température. La teneur en eau des particules et l’humidité de l’air sont constantes. c) Région de transfert actif : c’est la région inférieure du lit dans laquelle le gradient de
température est très grand par rapport à la hauteur du lit.
Des bilans de matière et de chaleur sur l’ensemble du lit fluidisé et sur chacune des différentes zones permettent d’établir des équations pour le calcul théorique de la température du lit, de la température de l’air en sortie et de l’humidité de l’air en sortie, et la teneur en eau des particules dans la région d’évaporation. Heinrich et al. (2003) ont trouvé que pour des débits de pulvérisation élevés, des lits fluidisés avec une hauteur faible, la région isotherme est difficile à identifier et ils considèrent seulement deux régions, supérieures et inférieures.