Modèles phénoménologiques

(3.29) ˙ρs mc= ^˙γc^s b r0 c L0 − ycρ^s_mc− ^yc b2 b N X r=1 ρ^p_mc− ξ N X r=1 θr c dr˙γr c ! (3.30) où yv et ycsont respectivement les distances moyennes entre les dislocations vis et coin, r0

v et r0

c des coefficients associés à la production de dislocations. On note que ξ est un paramètre situé entre 0 et 1. θs

v et θs

c sont les désorientations associées aux dislocations respectives vis et coins et sont fonctions des vitesses de cisaillement. Par ailleurs, le modèle de Fournier et al. [183] utilise une variable d’écrouissage cinématique de type Frederick-Armstrong [179] et Chaboche [180] : ˙ χs= C sign (τs − χ^s) − ^χs χs max ! | ˙γv^s+ ˙γs c| ^(3.31) χs

max est l’écrouissage cinématique à saturation et est donné selon la taille et la désorienta-tion des blocs de lattes martensitiques (cf. §1.2.3.1).

Discussion des modèles à base de densité de dislocations. Comme évoqué pré-cédemment, l’ensemble des modèles à base de densités de dislocations sont fondés sur des phénomènes physiques locaux qui ne sont guère évidents à considérer. Un certain nombre d’hypothèses est toujours nécessaire pour la pertinence de la prédiction du comportement non linéaire. De ce fait, les études de développement des approches à base de densités de dislocations sont bien conséquentes [185–187]... avec une tendance actuelle de la prise en compte des longueurs internes (cf. §3.4).

Par ailleurs, les modèles à base de densité de dislocations présentent le plus souvent un nombre de paramètres assez conséquent dont l’identification n’est pas évidente. La procé-dure d’identification se veut toujours pertinente en attribuant un sens physique à chaque paramètre. Pour ce faire, celle-ci utilise des modèles à une échelle inférieure, notamment des modèles de dynamique de dislocations pour valider sa pertinence [1]. Cependant, cette voie est assez complexe pour certains matériaux, tel que l’acier AISI H11 dont les caracté-risations expérimentales à une échelle locale ne sont pas aisées.

3.2.3.2 Modèles phénoménologiques

Outre les équations à base de densité de dislocations, des approches phénoménologiques peuvent également être utilisées pour prédire le comportement non linéaire local anisotrope des structures métalliques. Si le fondement des équations constitutives phénoménologiques est le plus souvent basé sur un formalisme thermodynamique des milieux continus, celles-ci sont quasi-équivalentes aux modèles issues de la métallurgie physique. Ces modèles ont

6. L’incorporation de la taille de grain comme variables a inciter bon nombre d’études à développer des modèles dits de longueurs internes ou à gradients (cf. §3.4).

tendance à s’appuyer sur les mécanismes élémentaires des systèmes de glissement comme étant un archétype de l’écoulement non linéaire. Le présent paragraphe se destine à une présentation de quelques modèles phénoménologiques développés dans un formalisme tri-dimensionnel.

Modèle de Peirce-Asaro-Needleman (PAN). Le modèle de Peirce-Asaro-Needleman (PAN) [188–191] s’illustre certainement comme étant l’un des pionniers des approches phé-noménologiques locales. La relation de la vitesse de cisaillement est celle de Hutchinson [171] (3.7), i.e. de type multiplicative ne prenant pas en compte une surface de charge. Ce mo-dèle considère uniquement un écrouissage isotrope dont l’évolution temporelle est à l’image de quasiment l’ensemble des équations constitutives locales donné par la relation (3.21). Cependant, le modèle PAN [188–191] permet une distinction entre les mécanismes d’auto-écrouissage et d’d’auto-écrouissage latent via la matrice d’interaction h_∼ :

h

∼ = hsr = h(υ) [q + (1 − q) δsr] _(3.32)

où δsp est le symbole de Kronecker et υ représente le glissement cumulé de l’ensemble des systèmes de glissement (3.49). q est un paramètre caractéristique de cette distinction le plus souvent compris entre 1 et 1,4. À noter que dès lors que q est égal à l’unité, seul l’écrouissage isotrope de Taylor [160] est considéré. Dans le présent contexte, l’expression des coefficients d’interaction est donnée par :

h(υ) = h0 sech2 h0υ τs sat− τs c ! (3.33) υ =^X s Z t 0 | ˙γ^s| dt ^(3.34) sech(x) = cosh−1(x) (3.35)

h0 étant le module d’écrouissage de référence. Il est par ailleurs intéressant de noter que d’autres expressions simplifiés des coefficients d’interactions sont couramment notamment la modélisation des procédés de mise en forme [192].

Modèle de Bassani-Wu. Bien que le modèle de Bassani-Wu [193, 194] utilise une ap-proche viscoplastique équivalente à celle du modèle PAN [188–191] (3.7) et effectue une distinction entre les mécanismes d’auto-écrouissage et d’écrouissage latent, celui-ci opte pour une forme plus ou moins complexe des coefficients de la matrice d’interaction h_∼ (3.32) articulée autours des différentes étapes d’écrouissage :

h(υ) = " (h0− hI) sech2 (h0− hI) υs τs I − τs c ! + hI #  1 +^X s6=r dsr tanh^υs υ0 ^  (3.36) où τs

I et hI sont respectivement la cission critique et le module d’écrouissage associés à la première étape d’écoulement, i.e. « easy glide ». υs et υ0 représentent respectivement les glissements cumulés et de référence du système s, associé à une valeur critique d’écrouissage

liée à l’interaction entre les divers systèmes concernés. Par ailleurs, le modèle de Bassani-Wu [193, 194] se distingue de l’approche PAN [188–191] par de faibles valeurs de q, i.e. les mécanismes d’auto-écrouissage sont plus conséquents que ceux de l’écrouissage latent. Modèle de Méric-Cailletaud. Les équations constitutives de Méric-Cailletaud [20, 21] sont initialement développées pour des applications aéronautiques, plus typiquement pour les superalliages de type AM1 utilisées dans les aubes de turbines. À la différence des mo-dèles précédents qui se destinent essentiellement aux sollicitations quasi-statiques mono-tones, l’approche de Méric-Cailletaud [20,21] permet une prise en compte des sollicitations complexes notamment les chargements cycliques. La vitesse de cisaillement ˙γs utilisée est donnée sous la forme d’une fonction puissance de la cission résolue τs, i.e. de type Norton. Elle considère une fonction d’écoulement non linéaire de type additive équivalente à celle utilisée dans le modèle de Fournier et al. [183] (3.28) :

˙γs = ˙υs sign (τs− χ^s) (3.37) ˙υs = * |τs− χs| − rs− τs 0 K +n (3.38) où K est un paramètre du matériau et rs la variable d’écrouissage isotrope. L’évolution temporelle de rs est donnée selon une variable ρsthermodynamique associée à l’écrouissage isotrope de la manière qui suit :

r^s = b Q^X

r

h^srρ^r (3.39)

˙ρs= (1 − b ρs) ˙υs (3.40)

où Q et b sont des paramètres du matériau liés respectivement à la capacité et la vitesse d’écrouissage isotrope. Il est par ailleurs intéressant de noter qu’à partir des relations (3.39) et (3.55), la variable d’écrouissage isotrope rs peut se réécrire sous forme intégrée indépen-damment de la variable associée ρs :

r^s = Q^X

r

h^sr (1 − exp (−b υr)) (3.41)

Le présent modèle considère également une variable d’écrouissage cinématique χs qui est de type Frederick-Armstrong [179] et Chaboche [180], i.e. équivalente à celle utilisée dans le modèle de Tabourot et al. modifié [78] (3.22). Cette dernière relation peut être étendue pour prendre en compte des mécanismes liés à des phénomènes de fluage et de restauration :

˙ χs = C ˙γs − D ˙υ^sχ^s−     χs M     m sign (χs) (3.42)

où M et m sont des paramètres matériau liés à des phénomènes de restauration statique. Le paramètre m peut être fonction du glissement cumulé υs d’un système donné.

Il est par ailleurs utile de mentionner qu’une modification récente du modèle de Méric-Cailletaud est proposé par Fournier Dit Chabert et al. [195], où une fonction de type sinus

hyperbolique est introduite dans la relation de vitesse de cisaillement ˙γsinitiale (3.37), i.e. : ˙γs = sinh "* |τs− χs| − rs− τs 0 K +n# sign (τs− χs) (3.43)

Une telle modification permet d’établir un seuil de la contrainte visqueuse à des vitesses de sollicitations très élevées, et à haute température.

Modèle de Xu-Jiang. Si le modèle de Xu-Jiang [196] utilise une fonction d’écoulement proche de celle de Méric-Cailletaud [20, 21] (3.37), celle-ci se restreint essentiellement à l’écrouissage cinématique en raison de son application exclusive aux sollicitations cycliques :

f = |τs− χ^s| − τ0^s (3.44)

La variable d’écrouissage cinématique est de type Frederick-Armstrong [179] et Chaboche [180]. Cependant, elle utilise une approche de multi-mécanismes et considère en outre les interactions entre les différents systèmes de glissement :

χ^s=^XN i=1 χ^s_i (3.45) ˙χs i = Cik^s_i ^X r h^sr ˙γs − Ciχ^s_i ^X r ˙υr (3.46)

N étant le nombre de mécanismes pris en compte. Le premier terme de la relation (3.61) est similaire à une évolution temporelle d’un écrouissage isotrope évoqué dans les modèles précédents (3.21). Dans le présent contexte, la matrice d’interaction h_∼ s’inspire du modèle de Bassani-Wu [193, 194], i.e. : h ∼ = hsr = qsr  1 +^X r6=s dsr tanh^υs υ0 ^  (3.47)

Par ailleurs, la variable ks

i utilisée dans la relation (3.61) est associée à l’effet de mémoire. Son incorporation est effectuée via une définition d’une surface de mémoire convexe de type Lemaitre-Chaboche [197] équivalente à celle utilisée pour l’écoulement non linéaire. Par le biais d’une approche thermodynamique, Xu et Jiang [196] définissent son expression selon :

˙ki = b (Qi− ki)     1 − ^ki Q_i      m q ˙ε ∼ p : ˙ε_∼p (3.48)

où ˙ε_∼p est le tenseur des vitesses de déformations plastiques. b, Qi et m étant des paramètres du matériau liés à l’effet de mémoire, qui peuvent être identifiés via des essais de traction quasi-statiques.

Modèle de Cazacu-Ionescu. L’approche de Cazacu-Ionescu [198, 199] se distingue de l’ensemble des équations constitutives précédentes par une relation de la vitesse de cisaille-ment ˙γs de type Peryzna :

˙γs = ¹

ηsh|τs| − r^s− τ0^si sign (τs) (3.49)

où ηs est le paramètre de viscosité. La relation (3.49) peut être perçue comme étant une généralisation d’une loi de type Norton. Par ailleurs, la relation de vitesse de cisaillement de Hutchinson [171] (3.7) est aisément déduite de celle-ci pour ηs donné :

η^s= ^τ0^s ˙γs 0      ˙γs ˙γs 0      1 n−1 (3.50) La relation (3.49) peut se transformer en une loi de type Prandtl-Eyring dès lors que ηs a pour expression :

η^s= Aargsinh (| ˙γs| / ˙γs

0)

| ˙γs| ^(3.51)

où A est une constante. L’usage d’une loi d’écoulement non linéaire de type Peryzna est dû au fait que, selon Cazacu et Ionescu [198,199], les relations de type Norton surestiment les valeurs de vitesse de cisaillement dès lors que la valeur de la cission résolue τsest supérieure à la cission critique τs

c. Par ailleurs, pour des valeurs proches de celles-ci, i.e. un rapport dans la limite de l’unité, la relation de type Norton illustre de fortes variations des modules associés ce qui requiert des traitements numériques particuliers (cf. §4.2.1).

Discussion des modèles phénoménologiques. Si les approches phénoménologiques sont issues de formalismes thermodynamiques des processus irréversibles, celles-ci s’appa-rentent plus ou moins aux modèles à base de densité de dislocations. Cette quasi-équivalence est due au fait que les modèles phénoménologiques considèrent le mouvement de disloca-tion comme étant le mécanisme physique élémentaire de la non linéarité du comportement des structures métalliques. Cependant, les présentes approches sont mieux adaptés pour les sollicitations complexes, notamment le modèle de Bassani-Wu [193, 194] qui considère les différents stades de déformation non linéaire ou encore celui de Xu-Jiang [196] qui intègre l’effet de mémoire... Il est évident que les études de développement des modèles phénomé-nologiques s’orientent vers les mécanismes locaux et pour des sollicitations de plus en plus complexes. Le présent paragraphe s’est contenté de quelques exemples marquants d’équa-tions phénoménologiques. À noter que la liste n’est pas encore exhaustive, on peut faire notamment référence au modèle de McDowell [154, 155] qui se destine au comportement cyclique des alliages de titane ou encore celui de Khotari-Anand [200] qui intègre les effets thermiques, voire également d’autres modèles, notamment dans les références [201–206]...

Par ailleurs, si les approches phénoménologiques présentent un nombre de paramètres équivalent à celui des modèles à base de densité de dislocations, leur identification est désor-mais bien plus aisée. À l’inverse des modèles quasi-physiques, le processus d’identification ne font pas appel à des modèles à une échelle inférieure, i.e. dynamique des dislocations. Celui-ci peut en effet se contenter des réponses globales du matériau et s’appuyer sur les techniques de transitions d’échelles.