Les modèles de dimensionnement

Pour le dimensionnement des machines électriques, nous pouvons classer les modèles en trois grandes familles à savoir :

Les modèles éléments finis (numériques)

Les modèles réluctants (semi-analytiques ou semi-numériques) Les modèles analytiques

Figure II-5 : Front de Pareto des modèles utilisés pour la conception des machines électriques [BRI-07]

Dans son mémoire d’HDR, Brisset illustre les modèles de conception pour les machines électriques présentant chacun des compromis différents entre le temps de calcul et l’erreur de modélisation (cf. figure II-5). Ce qui est important à saisir, c’est qu’il se trouve une complémentarité entre les modèles et qu’aucun ne s’impose comme étant à la fois plus rapide et plus précis. C’est alors au concepteur de choisir le modèle le plus approprié à son problème pour arriver au plus vite et de la manière la plus précise au résultat. De même, la disposition de plusieurs modèles à la fois peut faciliter grandement la tâche en termes de rapidité et de précision [BRI-07].

Chapitre 2 : Dimensionnement efficace de la MSAP 52

2.3.1 Les modèles éléments finis

Dans le domaine des applications électromagnétiques, la méthode des Eléments Finis (EF) est la plus utilisée des méthodes numériques. Son apparition a commencé dès la naissance des premiers ordinateurs de bureau. Le champ électromagnétique est calculé par la résolution des équations de Maxwell dans l’hypothèse des états quasi-stationnaires. Aujourd’hui, grâce à l’avancée impressionnante des puissances de calculs, cette méthode permet d’obtenir des résultats relativement précis et proches de la réalité. De plus, les EF sont génériques, facilement adaptable et permettent aussi la prise en compte de phénomènes physiques différents et fortement couplés (magnétique, électrique, thermique, mécanique et vibratoire) [BRI-07]. Toutefois, cette méthode peut-être gourmande en temps de calculs, surtout si l’on souhaite augmenter la précision des résultats et optimiser la machine. Ils sont donc davantage destinés aux étapes fines du dimensionnement qui correspondent aussi aux phases finales du design.

Figure II-6 : Modèle éléments finis et maillage de la machine 12/8

Si nous appliquons la modélisation EF à la machine 12/8 (cf. figure ci-dessus) et que nous stipulons une précision suffisante, le modèle demanderait au minimum 10 000 éléments et le temps de calcul pour une période électrique en magnétostatique serait de quelques minutes. Pour une caractérisation complète (sans processus d’optimisation) d’une machine avec extraction des résultats comprenant plusieurs points de fonctionnement, une journée entière serait nécessaire.

2.3.2 Les modèles analytiques

En contraste avec les modèles numériques, les modèles analytiques sont beaucoup plus rapides, mais aussi moins précis du fait des hypothèses simplificatrices. Ils sont aussi

les premiers à être utilisés pour la conception des machines bien avant l’apparition des ordinateurs. Ils décrivent la machine par des équations rendant le système explicite. Autrement dit, les expressions des sorties du système sont directement liés par des équations explicites aux entrées. Les avantages apportés consistent d’une part, en la possibilité d’employer des algorithmes déterministes, telle que la méthode du gradient, lors du processus d’optimisation pour une convergence plus rapide vers la solution optimale, et d’autre part, de connaître la sensibilité d’une grandeur de sortie par rapport à une grandeur d’entrée.

Par ailleurs, compte tenu de la difficulté de décrire analytiquement certains phénomènes physiques (saturation magnétique, pertes fer, …), la modélisation comprend souvent des hypothèses fortes (milieu linéaire, hypothèse au sens du 1er harmonique, …) et seules les valeurs fondamentales des sorties sont disponibles. De plus, ces modèles ne sont pas génériques et leur développement est généralement assez long. En effet, il est nécessaire d’avoir non seulement une bonne connaissance théorique de la machine conçue, mais aussi de recaler le modèle avec des prototypes à construire et éventuellement avec des expérimentations dont la réalisation est assez longue [SES-11].

Ainsi, les modèles analytiques sont souvent employés lors des premières phases d’esquisse. Ils permettent de dégrossir l’espace d’étude en jouant le rôle de premier « filtre ». Cette étape est aussi qualifiée de « prédimensionnement ».

2.3.3 Les modèles réluctants

Les modèles réluctants font parties des modèles dit analytiques ou semi-numériques. Ces modèles s'appuient sur la représentation de la machine par un circuit magnétique équivalent (analogie au circuit électrique, cf. figure II-7). Pour chaque trajet de flux et suivant la nature du tube de flux, il est possible de symboliser une réluctance magnétique équivalente dépendant du matériau ou de l'air [ROT-41]. On a alors accès aux valeurs des flux et des inductions pour chaque élément du circuit.Par rapport aux modèles analytiques et numériques, les modèles réluctants ont l’atout de disposer d’un bon compromis entre la rapidité et la finesse des résultats. L’appellation semi-analytique provient du fait que la formulation des éléments du réseau se fait de façon analytique et que la résolution du système d’équations est numérique.

Souvent, on aboutit pas à la dérivée formelle des grandeurs [BRA-12]. En fait, contrairement à ce qu'on croit souvent à tort, il est tout de même possible de dériver de

Chapitre 2 : Dimensionnement efficace de la MSAP 54

manière formellement exacte beaucoup de modèles non-explicites. Pour exemple, dans les travaux de thèse de Coralie Coutel [COU-99], la mise en oeuvre du théorème des fonctions implicites permet de dériver des équations implicites. Egalement, les approches de dérivation de code introduites dans la thèse d'Enciu Petre [ENC-09], permettent de dériver de manière formellement exacte des fonctions continues dérivables et décrites par des algorithmes. Ainsi et grâce aux travaux réalisés par le G2ELab et Vesta Systems, le logiciel

RelucTOOL permet d’obtenir l’expression exacte des sorties en fonction des entrées de

manière explicite, et ainsi d’avoir accès aux dérivées, gradients et Jacobiens du système recherchés pour l’optimisation [DEL-04], [PEL-06].

Figure II-7 : Portion d’un réseau de réluctance d’une machine

Par rapport aux modèles purement analytiques, les modèles réluctants ont aussi l’avantage de prendre en compte plus de phénomènes physiques tels que la saturation magnétique, les harmoniques dans certains cas, les pertes fer, etc. En revanche, même s’il est possible d’intensifier la complexité du modèle par le rajout d’éléments supplémentaires, leur niveau de finesse reste tout de même inférieur aux modèles éléments finis.

Enfin, en temps de développement, les modèles réluctants sont encore situés entre les modèles analytiques et numériques. Il est nécessaire de connaître le trajet des flux magnétiques et d’identifier les bonnes réluctances aux bons emplacements. Pour ce faire, on visualise les trajets de flux grâce à des simulations éléments finis. L’inconvénient est qu’avec un circuit réluctant, il n’est pas possible d’être rigoureusement précis pour chaque niveau de saturation.