Calcul des réluctances d’entrefer

3

Joules phase eff phase d q

P R I R I I (IV.20) . nette spire s bobines phase Cu Cu enc remp s L N N l Avec R S S Coef N (IV.21)

Cu définissant la résistivité du cuivre ; Lspire, la longueur d'une spire ; Nbobines, le nombre de bobines par phase ; Sencnette, la surface d'encoche nette et Coefremp., le coefficient de remplissage pour le bobinage.

Remarque : Les pertes fer, mécaniques et aérauliques ne sont pas prises en compte.

4.3 Calcul des réluctances d’entrefer

Dans la littérature, de nombreuses méthodes sont proposées en vue de calculer la valeur des réluctances ou perméances d'entrefer. Nous pouvons à juste titre citer :

Méthode des dents droites (ou de chevauchement) [HLI-08], [RAM-06], [SES-11] Méthode de la longueur d'entrefer [RAM-09]

Méthode des dents trapézoïdales [DOG-13]

Méthode par interpolation trigonométrique [HEC-95] Méthode des éléments finis [BRA-12], [VOY-97]

Méthode des éléments finis de frontière (Boundary Element Method) [TOU-11] Méthode de contour de dents (TCM) [PET-07], [ILH-10]

Méthode séries de Fourier [RAM-08], [DOG-13] Méthode par approximations géométriques [ROT-58] Méthode par fonctions trigonométriques [RAM-06]

Dans notre cas, nous avions vu (§ 4.2.6.2) que le seul paramètre variable du réseau lors de la rotation du rotor est la largeur des réluctances d’entrefer. En conséquence, celle-ci doit être calculée pour chaque position angulaire. La largeur des réluctances d’entrefer peut-être calculée de plusieurs façons. Nous en avons étudié trois différentes qui sont :

Chapitre 4 : Modélisation par rése

Méthode des dents droi Méthode des dents trap Méthode par les séries

4.3.1 Méthode des d

Dans cette première mé partie en regard ou commune être calculée de la façon suiva

entrefer rotor r s

larg R

Avec Rrotor, le rayon du rotor méthode, la valeur de r–s est g

2 1 2 1 2 1 0 r s s s r s s r A B C D

Figure IV.6 : Déterminatio

éseau de réluctances sous RelucTOOL

roites apézoïdales s de Fourier

dents droites

éthode, la largeur d’une réluctance d’entre e entre une dent du stator et un pôle du ro vante :

s

or et r–s, l’angle commun entre le pôle et t géométriquement déterminée et est égale à

tion de la largeur de réluctance d’entrefer – méthode

116

trefer correspond à la rotor. Sa valeur

peut-(IV.22)

t la dent. Pour cette à (cf. figure IV.6) :

(IV.23)

Après l’implémentation de la méthode dans RelucTOOL et CADES, nous pouvons calculer les couples et fem. induites (cf. figures IV.7 et IV.8 et tableau IV.4). Afin de vérifier la validité de la méthode, une comparaison avec Flux2D est donnée pour chaque résultat. Pour les valeurs du tableau, une notation colorée permet d’identifier rapidement les résultats proches ou éloignés de Flux2D, comme suit :

Tableau IV.3 : Niveau de couleur pour les valeurs des résultats de RelucTOOL en comparaison à Flux2D

Niveau Rouge Orange Bleu Vert

Estimation Mauvaise Moyenne Bonne Très bonne

Figure IV.7 : Couple magnétique – méthode dents droites et Flux2D

Figure IV.8 : fem.induite – méthode dents droites et Flux2D

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Chapitre 4 : Modélisation par réseau de réluctances sous RelucTOOL 118 Tableau IV.4 : Couples et harmoniques de fem. – Méthode dents droites et Flux2D

Flux2D Méthode dents droites

Couple moyen 212.9 230 Ondulations de couple – H6 20.9 19.1 Ondulations de couple – H12 4.9 2.2 Fem. – H1 445.8 431.3 Fem. – H3 8.4 42.4 Fem. – H5 128.7 176 Fem. – H7 37.7 127.8

Temps de calcul 200 sec. 180 ms

A partir des résultats, nous pouvons observer des valeurs proches avec les EF pour le couple moyen, le fondamental de la fem. et la valeur des ondulations de couple (harmonique 6). De plus, le temps de calcul pour Flux2D est d’environ 200 secondes tandis que pour RelucTOOL, le calcul ne dure que 180 ms soit un rapport d’environ 1000. En revanche, les valeurs des harmoniques 3, 5 et 7 de la fem. sont surestimées. Les différences des résultats peuvent provenir du fait que certains chemins de flux dans l’entrefer ne sont pas pris en compte. En effet, dans le cas où r2 est plus petit que s1 et que sa valeur est en même temps proche de s1 (cas D de la figure IV.6), cette méthode donne une largeur

d’entrefer égale à 0. En réalité, des flux de fuites existent et doivent-être considérés.

4.3.2 Méthode des « dents trapézoïdales »

Pour prendre en compte les flux de fuites et avoir une meilleure précision, les dents et les pôles ne sont plus représentés par des simples dents droites. On rajoute aux extrémités des pentes de façon à avoir des formes trapézoïdales. La figure IV.9 illustre ce procédé. Pour cette méthode, les largeurs de réluctances d’entrefer sont calculées de la façon suivante :

entrefer rotor r s rotor

larg R R F d (IV.24)

avec F S R (IV.25)

Enfin, les résultats de simulations sont représentés en figures IV.10 et IV.11 et dans le tableau IV.5 :

Figure IV.9 : Méthode dents trapézoïdales

Figure IV.10 : Couples : Méthode dents trapézoïdales et Flux2D

!

Chapitre 4 : Modélisation par réseau de réluctances sous RelucTOOL 120

Figure IV.11 : fem. induites : Méthode dents trapézoïdales et Flux2D

On remarque de manière globale, une amélioration au niveau de la ressemblance des courbes et de la précision des résultats. Toutefois, certaines valeurs telles que le fondamental électrique sont mal estimées. Une autre méthode prenant en compte les flux de fuites tout en évitant les discontinuités pourrait fournir de meilleurs résultats.

Tableau IV.5 : Couples et harmoniques de fem. – Méthode dents trapézoïdales et Flux2D

Flux2D Méthode dents trapézoïdales

Couple moyen 212.9 216.7 Ondulations de couple – H6 20.9 14.9 Ondulations de couple – H12 4.9 3.7 Fem. – H1 445.8 344 Fem. – H3 8.4 12.5 Fem. – H5 128.7 152 Fem. – H7 37.7 45.2

Temps de calcul 200 sec. 540 ms

4.3.3 Méthode par les séries de Fourier

Cette dernière méthode est basée sur le même principe que la précédente. La seule différence concerne la forme des fonctions S( ) et R( ) qui sont dessinées à partir des séries de Fourier (cf. figure IV.12). Cette méthode se rapproche aussi aux lois d'évolution

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continue de la perméance d'entrefer s'appuyant sur l'interpolation trigonométrique [ HEC-95]. Ainsi, pour le stator, l'expression de la fonction S( ) est :

1 4 ( ) sin( ) cos( ) 2 2 2 n dents dent

dent dents dents

i

N larg

S larg i N i N

i (IV.26)

Avec largdent, la largeur des dents du stator et Ndents, le nombre d'encoches au stator. De même, pour le rotor, l'expression de la fonction R( ) est :

1 4 ( ) sin( ) cos( ( ) ) 2 2 2 n pole pole

pole pole pole

i

N larg

R larg i N i N

i (IV.27)

Avec largpole, la largeur des pôles du rotor ; Npole, le nombre de pôle au rotor et , l'angle de rotation définissant la position du rotor par rapport au stator.

Le nombre de termes, égal à 6, est choisi de manière à reproduire au mieux le phénomène des flux de fuites visualisées au préalable grâce à des simulations éléments finis.

Chapitre 4 : Modélisation par réseau de réluctances sous RelucTOOL 122

Enfin, les résultats sont présentés en figure IV.13, IV.14 et tableau IV.6.

Figure IV.13 : Couples : Méthode séries de Fourier et Flux2D

Figure IV.14 : fem. induites : Méthode séries de Fourier et Flux2D

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Tableau IV.6 : Couples et harmoniques de fem. – Méthode séries de Fourier et Flux2D

Flux2D Méthode séries de Fourier

Couple moyen 212.9 211.3 Ondulations de couple – H6 20.9 12.2 Ondulations de couple – H12 4.9 1.3 Fem. – H1 445.8 432.7 Fem. – H3 8.4 4.6 Fem. – H5 128.7 128.2 Fem. – H7 37.7 36.9

Temps de calcul 200 sec. 340 ms

Par observation, nous pouvons dire que les résultats de simulations obtenus grâce à cette méthode sont très proches de Flux2D. Les meilleures précisions sont obtenues pour les harmoniques de fem. et pour la valeur du couple moyen. Seules les ondulations de couple sont sous-estimées. Le temps de simulation reste également très rapide (moins d’une seconde). Finalement, cette dernière méthode a été sélectionnée pour l'étape postérieure correspondant à l'optimisation des paramètres géométriques de la machine grâce au logiciel CADES.