Modèle de transport quantique

5.2.1 Modèle de transport quantique stationnaire

Pour pouvoir déterminer la densité des électrons dans la zone active ainsi que le courant passant à travers le composant, on est amené à définir précisément et à déterminer les états d’énergie possibles E, les fonctions d’ondes Ψ_E qui leur sont associées, et à calculer les valeurs des potentiels chimiques associés à la source et au drain.

Dans ce travail, comme nous l’avons expliqué en introduction, on limite notre étude aux états quantiques des électrons pour lesquels la densité est stationnaire : elle ne dépend pas du temps. Ces états peuvent s’écrire sous la forme

Ψ(t,x) := Ψ(x) exp

−iEt

~

,

où la fonction d’ondeΨ(t,x)d’un électron dans un potentiel donnéU(x)est solution de l’équation de Schrödinger

i~∂_tΨ(t,x) =HΨ(t,b x) avec Hb l’opérateur Hamiltonien

Hb :=−~²

2m∆ +U(x) (5.2.1)

et m la masse de la particule. Dès lors, les fonctions Ψ(x) sont alors solutions de l’équation de Schrödinger stationnaire

HΨ(x) =b EΨ(x).

On fait ici l’approximation de la masse effective, habituelle pour le transport d’électrons dans les semi-conducteurs. Dans le cadre de cette approxiamtion, on mo-délise l’action du potentiel cristallin périodique en remplaçant dans toutes les for-mules la masse des particules dans le vide par une masse effective. Celle-ci est alors relative aux différents matériaux conducteurs et aux différentes bandes de conduction considérées. Adoptons la notation (m_x, m₁, m₂) qui définit les masses effectives dans les directions x, z₁ et z₂. L’opérateur Hamiltonien Hb devient alors

H =− ~²

2m_x(z)∂_x²− ~² 2∂1

1 m₁(z)∂1

− ~² 2∂2

1 m₂(z)∂2

. (5.2.2) Les masses effectives dépendent des directions z du fait de la transition entre la couche d’oxyde et le silicium.

Par ailleurs, dans le cas du Silicium qui nous intéresse ici, il existe une anisotropie dans les extrema de la bande de conduction qui conduit à définir pour les électrons

une masse effective longitudinalem`et une masse effective transversemt. Les masses effectives dépendent de la nature du semi-conducteur dans la direction z. Nous no-teronsm_SiO2 la masse effective des électrons dans l’oxydeSiO₂. Nous obtenons alors 3 types de résonances dans le cas du Silicium :

– une configuration (m_t, m_t, m_{`</sub>)qui définit une masse effectivem<sub>t</sub>dans la direc-tion de transport x et les masses m<sub>t</sub> et m<sub>`} dans les directionsz₁ et z₂;

– une configuration (m_{`</sub>, m<sub>t</sub>, m<sub>t</sub>) qui définit une masse effective m<sub>t</sub> dans les di-rectionsz<sub>1</sub>, z<sub>2</sub> etm<sub>`} dans la direction de transport x;

– une configuration (m_t, m_{`</sub>, m<sub>t</sub>)qui définit une masse effectivem<sub>t</sub>dans la direc-tion de transport x et les masses m<sub>`} etm_t dans les directionsz₁ et z₂.

Dans tous nos calculs numériques présentés dans les deux chapitres suivants, on fera le choix d’une seule configuration, pour simplifier, en prenant la dernière :(m_t, m_`, m_t).

On sera amené à résoudre trois types d’équations de Schrödinger relatives aux six ellipsoïdes d’énergie E donnée. Nous pouvons alors définir les fonctions d’ondes par

– ψ<sup>t`</sup>(x, z) associé à une configuration (m<sub>t</sub>, m<sub>t</sub>, m<sub>`</sub>) – ψ<sup>`t</sup>(x, z) associé à une configuration (m<sub>`</sub>, m_t, m_t) – ψ^tt(x, z)associé à une configuration (mt, m`, mt).

Dans le cas de l’Oxyde, m_x, m₁, m₂ sont égaux à m_SiO2. La densité électronique s’obtient à partir de

n = 2n_e(m_t, m_t, m_{`</sub>) + 2n<sub>e</sub>(m<sub>`}, m_t, m_t) + 2n_e(m_t, m_`, m_t).

5.2.2 Modélisation des effets électrostatiques

La densité de charge d’espace est reliée au déséquilibre local existant entre les donneurs ionisés N_D et la densité électronique libre n. On obtient alors

ρ=q(N_D−n),

où q désigne la charge élémentaire. Dans la zone active, le potentiel électrostatique V induit par les charges d’espace est alors solution de l’équation de Poisson

−∇(r∇V) = 1

₀ρ dans Ω0 (5.2.3)

+conditions au bord décrites ci-dessous

où ₀ est la permittivité électrique du vide, et _r est la constante diélectrique relative de chaque matériau semi-conducteur :_{r Si}= 11.9pour le Silicium et_{r SiO2} = 3.9pour l’oxyde.

Dans le problème modèle, nous définissons les conditions aux bords pour le po-tentiel électrostatique sur les bords ∂Ω₀ du type :

– Conditions de Dirichlet homogènes sur la partie notée Γ_GS du bord Γ×(a, b) recouverte par les grilles qui correspondent à la différence tensionVGSappliquée entre les électrodes de la source et la grille de la zone active

– Conditions de Neumann homogène sur le reste du bord noté Γ_N.

– Sur les bords Γ⁺ etΓ⁻, plusieurs options sont possibles. On peut ainsi imposer des conditions de Dirichlet avec un potentiel précalculé dans les guides (voir Chapitre 6), des conditions de Neumann ou une combinaison des deux dans une condition de type Robin-Fourier (voir pour cela [18])

00000000000000000

Afin de modéliser d’une part les interactions électrostatiques entre les électrons et d’autre part les interactions entre les électrons et le cristal semi-conducteur, on définit le potentiel U intervenant dans l’écriture du Hamiltonien (5.2.1) sous la forme :

U(x, z) := −qV(x, z) +qV_Off (5.2.4) oùVOff dépend exclusivement du matériau, qdésigne la charge élémentaire de l’élec-tron, et V est solution de l’équation de Poisson donnée dans le domaine d’étude par (5.2.3).

5.2.3 Calcul de densité

Les électrons sont émis par les réservoirs dans les deux guides d’ondes avec la statistique d’un gaz de fermions, caractérisée par la distribution d’énergie de Fermi-Dirac et du potentiel chimique associé à chacun des réservoirs. En présence d’un mélange statistique d’étatsΨ_E, d’énergieE, la densité électronique pour un potentiel électrostatique donnéV peut s’écrire de manière générale sous la forme d’une somme sur les deux guides de toutes les configurations possibles d’énergie E :

n(x, z) := 2X

+,−

X

{E}

|Ψ_E(x, z)|²f_{F D}(E−qµ^±). (5.2.5)

Ici, |ΨE(x, z)|² est la densité de probabilité de présence de l’électron d’énergie E en(x, z), le coefficient2représente le facteur de spin de l’électron,µ^±est le potentiel chimique associé à la source+ou au drain−. Enfin, la probabilité d’occupation d’un état d’énergie E est donnée, dans le cadre de la thermostatistique de Fermi-Dirac par la distribution de Fermi-Dirac

f_{F D}(E−qµ) = 1

1 + exp((E−qµ)/k_BT) (5.2.6) oùµdésigne le niveau de Fermi, k_B la constante de Boltzmann, etT la température.

Notons enfin que, suivant des différentes configurations d’énergies possibles, la somme sur les énergie E peut se trouver être une somme continue et donc une intégrale sur E.