Modèle trajectographique

Les logiciels RocFall et Rockyfor3D se basent sur le modèle de Pfeiffer et Bowen (1989) pour les simulations de type lumped-mass avec le coefficient de restitution normal (Rn) pondéré selon la vitesse d’impact normale (vn1). Leurs équations sont donc similaires et sont expliquées en détail dans la documentation respective des logiciels (Rocscience Inc. 2015, adapté de Warren 1998 ; et Dorren 2015). Les vitesses normales (vn2), tangentielles (vt2) et de rotation (vrot2) restituées après impact sont calculées avec les équations suivantes :

RocFall Rockyfor3D 1 _9.144 (3.7) 1 ₉ (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) ; 2 5 (3.12)

Où vt1 et vrot1 sont respectivement les vitesses incidentes tangentielles et de rotation de la particule lors de l’impact ; r et m sont respectivement le rayon moyen et la masse de la particule ; I correspond au moment d’inertie de la particule (considérée sphérique dans le cas de RocFall et non spécifié dans le cas de Rockyfor3D) ; Rt correspond au coefficient de restitution tangentiel ; F1 et F2 sont des fonctions respectives de frottement et de pondération permettant d’ajuster vt2 en fonction de Rt dans le cas de RocFall, et se calculent de la manière suivante :

RocFall 1

6.096 1.2 (3.13)

76.2 1 (3.14)

Dans le cas du modèle de Dorren, les fonctions F1 et F2 sont remplacées par un Rt qui est calculé à partir de la hauteur des obstacles rencontrés (MOH) selon cette équation :

Rockyfor3D 1

1 ⁄ (3.15)

Où Dp correspond à la profondeur de pénétration de la particule lors des impacts. La hauteur des obstacles (MOH) est déterminée à partir des rugosités de surface Rg10, Rg20 et Rg70. Le choix de la rugosité de surface est fait aléatoirement à chaque impact, avec une probabilité de rencontrer Rg10 de 1/10, Rg20 de

2/10 et Rg70 de 7/10. Dp est limité à un maximum correspondant au rayon de la particule et se calcule à l’aide de ces équations :

1 π⁄4 4 1 ⁄ π (3.16) 2 π 1 ⁄ 1 π⁄4 (3.17)

Où k est une constante adimensionnelle de 1.207 liée à la forme de la particule (sphérique) ; d est le diamètre moyen de la particule ; Ie et N sont des fonctions respectives d’impact et de géométrie de la particule et sont définies par les équations suivantes :

(3.18)

2

(3.19)

Où B correspond à une constante adimensionnelle de 1,2 liée à la résistance en compression de la surface impactée ; ρsoil et Ri correspondent respectivement à la masse volumique de la surface impactée et à la résistance au poinçonnement de la surface impactée et sont obtenus à l’aide des équations suivantes :

1200 ln 3300 _(3.20)

55 10 _(3.21)

Mis à part le Rt du modèle de Dorren qui remplace les fonctions F1F2 du logiciel RocFall, les équations pour le calcul des vitesses des deux logiciels sont similaires. Elles tiennent compte de l’effet de la rotation de la particule lors des impacts, et donc en partie de la phase de roulement lorsque la particule n’est pas en contact constant avec la surface. La manière de considérer le déplacement de la particule alors que celle-ci reste en contact continu avec le sol (roulement ou glissement) diffère cependant entre les deux logiciels. Dans Rockyfor3D, cette phase est simplifiée à une succession de petits rebonds et n’est pas expliquée en détail dans Dorren (2015). De plus, les critères pour entrer et sortir de cette phase ne sont pas mentionnés.

Dans RocFall, le déplacement de la particule lorsque celle-ci est en contact constant avec la surface peut être considéré sous forme de glissement (la rotation de la particule n’est pas considérée, mais est restituée à la particule lorsque celle-ci retombe en phases de chutes libres et rebonds). Le critère pour entrer dans cette

phase est simple : la particule doit avoir une vitesse presque nulle lorsqu’elle rencontre la surface. Ni le seuil minimal de vitesse ni le type de vitesse (vt1, vn1, vrot1 ou vitesse totale) ne sont cependant spécifiés dans la documentation. Basé sur l’observation de différents résultats de RocFall, il se pourrait que ce soit la vitesse normale qui soit utilisée comme critère : lorsque de nombreux impacts se produisent à proximité de la surface à cause d’une vitesse normale trop faible, même sur pentes abruptes, le logiciel change des phases de rebonds et chutes libres à la phase de glissement pour éviter que la particule ne reste prise sur la pente. Elle retourne aux phases de chute libre et rebonds lorsqu’un impact est détecté (diminution de la pente) ou qu’elle n’est plus en contact avec la surface (augmentation de la pente).

Pour déterminer la distance (da) que peut parcourir la particule pendant son déplacement en contact avec une surface à pente constante en fonction de sa vitesse tangentielle initiale, ou bien pour déterminer sa vitesse tangentielle juste avant qu’elle n’atteigne un changement de pente après avoir parcouru une distance (dc) en contact avec la surface à pente constante, RocFall utilise ces équations :

RocFall

2 (3.22)

2 _(3.23)

sin cos tan _(3.24)

Où g est la constante d’accélération gravitationnelle (-9,81 m/s2_{) ; θ est l’angle de la pente et φ l’angle de}

frottement. Le signe ± est positif si la particule descend la pente ou si sa vitesse est nulle, il est négatif si la particule remonte la pente.

Les deux logiciels obtiennent des distances de parcours similaires pour un modèle de terrain simple avec les paramètres de terrain suivant : Rn de 0,53, Rt d’environ 0,93 et φ de 15 °, et des particules de diamètre de 0,3 m de 40 kg avec les mêmes conditions initiales (figure 3.19 et figure 3.20). Le terrain simple est constitué d’une pente régulière de 60 ° d’un dénivelé de 90 m avec au pied une pente de 20 ° d’un dénivelé de 10 m puis d’un terrain plat.

Pour Rockyfor3D, la majorité des trajectoires restent à proximité de l’axe central des terrains et s’arrêtent à 125 m de distance horizontale parcourue. L’énergie cinétique moyenne est maximale, avec des valeurs de 40 à 50 kJ, à la base de la pente de 60 °. Elle reste ensuite plutôt constante le long de la pente de 20 °, avec des

valeurs d’environ 35 kJ. Elle diminue ensuite rapidement dans les premiers 10 à 15 m de terrain plat, puis plus graduellement jusqu’à l’arrêt des particules.

Pour RocFall, les trajectoires s’arrêtent aux environs de 125 m de distance horizontale parcourue. L’énergie cinétique moyenne augmente rapidement à mesure que les particules descendent le long de la pente à 60 °. Étrangement, elle se stabilise momentanément après 10 m de distance horizontale parcourue, puis se remet à augmenter rapidement. Ce petit palier irréaliste correspond probablement au changement des phases de chutes libres et rebonds vers la phase de glissement. La particule glisse ensuite sur les 70 m de dénivelé restant de pente à 60 ° tout en prenant de la vitesse (et donc de l’énergie cinétique). L’énergie est maximale, avec des valeurs de 25 à 27 kJ, à la base de la pente de 60 °. La particule entre ensuite en contact avec la pente à 20 °, elle perd alors environ 10 kJ d’énergie cinétique suite au premier impact, puis en perd davantage au centre de la pente où plusieurs autres impacts surviennent, jusqu’à ce qu’il y ait de nouveau probablement un changement de phase vers le glissement. L’énergie cinétique se maintient alors autour de 12 kJ pour le reste de la pente, avec une légère tendance à la hausse. Survient alors un premier impact contre le terrain plat, faisant baisser l’énergie cinétique d’environ 3 kJ. Puis une série d’impacts mène l’énergie cinétique à environ 6 kJ après 6 m de distance sur le terrain plat. La phase semble alors changer vers le glissement, avec une diminution de l’énergie cinétique plus graduelle jusqu’à environ 125 m de distance horizontale parcourue, où la majorité des trajectoires se terminent. Il est intéressant de noter que l’énergie cinétique n’atteint pas zéro. Cela peut s’expliquer par le fait que la rotation de la particule continue d’y contribuer, car celle-ci reste étrangement invariable pendant les phases de glissement.

En comparant les résultats des deux logiciels sur ces terrains simples, on constate qu’ils permettent les deux d’obtenir des distances de parcours et des variations d’énergie cinétique relativement similaires. Cela peut s’expliquer par le fait que les deux utilisent des modèles d’impacts similaires. Le fait que l’énergie cinétique soit plus élevée avec le logiciel Rockyfor3D peut partiellement s’expliquer par les différences qu’ont les deux logiciels à considérer les phases où la particule reste en contact constant avec la surface. Les valeurs plus élevées obtenues avec Rockyfor3D sont plus conservatrices, il faudrait cependant voir si elles sont réalistes. Dans RocFall avec des terrains aussi réguliers, près de la moitié de la distance est parcourue par les particules en glissement, sans que la rotation et les coefficients de restitution ne soient considérés (avec le modèle lumped-mass). L’angle de frottement contrôle alors une bonne proportion de la simulation. La comparaison avec la simulation de Rockyfor3D, qui n’utilise pas d’angle de frottement, est ainsi limitée. Plus de détail sur les critères permettant aux logiciels de passer d’une phase à une autre serait nécessaire pour bien comprendre et comparer leurs simulations.