Le modèle SIDRA 2+

La première version du modèle de SImulation du DRAinage (SIDRA) est due à Lesaffre et Zimmer (1988) et reposait sur l’hypothèse de pseudo-séparation des variables faite initialement par Boussinesq (1904). Comme nous l’avons vu, cette hypothèse permet de fixer la forme de la nappe et simplifie significativement les calculs (les facteurs de forme de nappe A, B et C sont constants). Le modèle SIDRA qui en a dérivé est fondé sur une résolution numérique très simple (Runge-Kutta d’ordre 4) des équations (XXXI) et (XXXII). Ce modèle a permis à ces auteurs de prédire de manière satisfaisante les débits et hauteurs de nappe de systèmes drainés par tuyaux enterrés.

Le modèle SIDRA 2 (Bouarfa, 1995 ; Bouarfa et Zimmer, 2000) a été développé dans le but de fonctionner sans avoir recours à l’hypothèse de pseudo-séparation des variables. Il est fondé sur une résolution numérique de l’équation de Boussinesq, nécessaire pour déterminer l’évolution temporelle des facteurs de formes de nappe. La résolution numérique peut être faite par une méthode aux différences finies ou par une méthode aux éléments finis linéaires. C’est cette dernière technique qui a été initialement utilisée par Bouarfa (1995). Tout comme SIDRA, SIDRA 2 a été conçu pour prédire les hauteurs de nappe et les débits d’une parcelle drainée par tuyaux enterrés ou fossés à niveau constant. Ce modèle ne prend donc pas en compte des niveaux drainant variables (fluctuations du niveau d’eau libre) et sa condition à la limite amont est de type « flux nul » (à l’inter-drain, par symétrie). Introduire ces deux conditions aux limites est l’un des objectifs du modèle SIDRA 2+ mis au point dans le cadre de ce travail.

IV. 1. Présentation de SIDRA 2+.

SIDRA 2+ est une adaptation du modèle SIDRA 2, étendue au fonctionnement de systèmes drainants naturels tels que les zones humides de fond de vallée, avec des conditions aux limites quelconques. Il est fondé sur une résolution numérique de l’équation de Boussinesq (équation ( I )). La méthode numérique utilisée a été initialement les éléments finis linéaires, adaptée par Bouarfa (1995), d’un code résolvant à l’origine l’équation de la chaleur. Plus récemment, nous avons pu disposer d’un code aux différences finies dont la discrétisation spatio-temporelle est faite par le schéma de Preissman (Poirson,

2001). Quel que soit le schéma retenu, la résolution de l’équation de Boussinesq ne pose en général pas de difficultés numériques. Nous avons néanmoins principalement utilisé le code aux différences finies qui – ayant été développé spécifiquement dans le cadre de ce travail - s’est avéré beaucoup plus rapide et souple d’utilisation.

Les différentes conditions aux limites sont prises en compte sous la forme de chronique de recharge de

la nappe (égale à la pluie efficace assimilée à la grandeur (P – ETP)(t)), de débit latéral amont (Qa(t) en

[L.T-2_{]) et de niveau d’eau libre aval (Hw(t)), lues dans un fichier spécifique.}

Les variables calculés à chaque pas de temps sont les hauteurs de nappe en tout point du maillage et les débits drainés par le système. Les débits drainés sont évalués par le calcul de l’équation dynamique de Darcy entre les deux derniers nœuds en aval du système. Les différents termes du débit exprimés par l’équation (XXXII) sont aussi calculés à titre indicatifs.

La prise en compte éventuelle de l’hétérogénéité du sol peut être faite par l’introduction de fonctions µ(H*) et K(z) que le code va discrétiser par interpolation linéaire et intégrer dans le calcul.

IV. 2. Prise en compte de l’évapotranspiration.

Le modèle SIDRA 2+ est fondé sur la résolution de l’équation de Boussinesq et fait donc partie de la classe de modèles dits « saturés ». Il ignore le comportement réel de la zone non-saturée et impose donc une conceptualisation du fonctionnement soit des mécanismes d’infiltration (Kao et al., 1998 ; voir aussi Chapitre 2 du présent mémoire), soit des processus de prélèvements d’eau dans le sol par le biais de l’évapotranspiration.

Compte tenu du contexte d’application retenu dans notre travail (les zones humides de fond de vallon) et en général de la forte saisonalité des processus (excès d’eau essentiellement hivernal), nous avons choisi de gérer la demande évapotanspiratoire de la manière la plus simple possible. Nous avons donc repris l’approche définie par Lesaffre (1988). L’idée générale est que lorsque la nappe est proche de la surface, la demande liée à l’évapotranspiration peut conduire à prélever de l’eau dans la nappe. En revanche, à partir d’une certaine profondeur, la réserve de la zone non-saturée suffit à alimenter

stockage », discuté en particulier par Lesaffre (1988) et Zimmer (1988). Nous serons aussi amené à analyser ces mécanismes dans le cadre du Chapitre 4 consacré à l’application du modèle à des données de terrain.

Ainsi en terme de modélisation, on considère deux types de situations :

• Lorsque pour un x donné, la nappe est au-dessous de la profondeur de stockage (qui est donc un nouveau paramètre du modèle), l’évapotranspiration agit uniquement sur la zone non- saturée, sans influencer le tarissement de la nappe ; la pluie (recharge positive) suivante est censée réhumecter la zone non saturée (qui est donc assimilée à un réservoir que l’on vide et que l’on remplit) avant de recharger la nappe.

• Lorsque la position du toit de la nappe se situe au-dessus de cette profondeur,

l’évapotranspiration contribue au rabattement de la nappe (flux imposé négatif égal à P-ETP1_).

Cette gestion simplifiée de la demande climatique est relativement classique mais aboutit inévitablement à des erreurs, d’autant plus importantes que l’on cherche à utiliser le modèle dans des périodes durant lesquelles l’évapotranspiration est significative. Les mécanismes d’interactions entre la zone non-saturée et la nappe dans ces situations sont très complexes à représenter dans un modèle saturé et des travaux spécifiques sont par ailleurs menés (Bouarfa, 1995 ; Chabot, 2001 ; Brahic, 2001).

Le modèle SIDRA 2+ est capable de prendre en compte des conditions aux limites variées et transitoires qui permettent d’envisager de l’appliquer dans le contexte de systèmes de nappes superficielles alimentées par un versant et drainées par un émissaire à surface libre. En revanche, jusqu’à présent, la position de la surface du sol a été ignorée, la limite supérieure du système étant la surface libre de la nappe. Afin de pouvoir disposer d’un outil utilisable dans le contexte de nappes très proches de la surface nous avons étudié le problème spécifique posé par le phénomène d’affleurement.

1 _{(P - ETP) : on fait implicitement l’hypothèse que l’évapotranspiration réelle (ETR) est assimilable à l’évapotranspiration potentielle}

(ETP). En période hivernale, en conditions non limitantes et sans stress lié à l’excès d’eau, cette hypothèse est raisonnable (Bouarfa, 1995).

IV. 3. Prise en compte du problème de l’affleurement : simulations exploratoires.